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SESSION 2019
ÉPREUVE DU VENDREDI 21 JUIN 2019
MATHÉMATIQUES
– Série S –
Enseignement de spécialité
CORRIGÉ
Éléments de réponse
Exercice 1
Exercice 1
Partie A
Partie A
- Question 1.a
Nous connaissons les limites de la fonction exponentielle :
Par somme des limites, nous obtenons :
Finalement, par produit et somme des limites, nous arrivons à :
- Question 1.b
est la somme de fonctions dérivables sur , elle est dérivable sur , et donc sur .
- Pour tout , sa dérivée est égale à :
Nous voyons que s’annule en .
Puis, pour tout , nous avons :
Ainsi,
est strictement décroissante surf f .[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[ - Question 1.c
- Nous avons vu que
est dérivable surf f , elle est donc continue sur cet intervalle.[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[ - Nous avons prouvé à la question 1.b. que
est strictement décroissante surf f .[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[ - En outre, nous avons :
Et nous voyons que
- Nous pouvons appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
- L’équation
admet une unique solution surf ( x ) = 0 f(x)=0 .[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[ - Nous la notons
.α \alpha - Question 2
Pour tout réel
- Nous remarquons ainsi que, pour tout réel
,x x .f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) est paire.f f - Donc, comme nous avons vu à la question 1.c. que l’équation
admet une unique solution surf ( x ) = 0 f(x)=0 , nous pouvons dire que l’équation[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[ admet une unique solution surf ( − x ) = 0 f(-x)=0 .[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[ - Ce qui revient à dire que l’équation
admet une unique solution surf ( x ) = 0 f(x)=0 .] − ∞ ; 0 ] ]-\infty\ ;\,0] - Nous avons enfin :
.f ( − α ) = f ( α ) = 0 f(-\alpha)=f(\alpha)=0 - L’équation
admet donc exactement deux solutions dansf ( x ) = 0 f(x)=0 , et ces solutions sont opposées :R \mathbb R etα \alpha .− α -\alpha
Partie B
Partie B
- Question 1
D’après le schéma de l’énoncé, la hauteur d’un arceau correspond à
- Question 2.a
Dans la question A.1.b., nous avons calculé la dérivée de
- Nous développons la formule donnée :
- Question 2.b
- Nous calculons
en fonction deI I :α \alpha
- Par définition (indiquée dans l’énoncé),
donne la longueur, en mètre, deI I surC \mathscr C .[ 0 ; α ] [0\ ;\,\alpha]
Or, la longueur d’un arceau est égale à la longueur de
La fonction
Partie C
Partie C
- Question 1
- Calculons d’abord la quantité de bâche nécessaire pour la façade nord.
Celle-ci est égale à l’aire sous la courbe entre
- Calculons maintenant la quantité de bâche nécessaire pour la façade sud.
Celle-ci est égale à l’aire de la façade nord, à laquelle on soustrait l’aire du rectangle
- La quantité de bâche nécessaire pour les deux façades est ainsi égale à :
- Question 2
- Le dessus de la serre a pour aire celle d’un rectangle de côtés :
- la longueur de la courbe
entreC \mathscr C et− α -\alpha , calculée à la question B.2.b ;α \alpha - la longueur entre deux arceaux (
) multipliée par1 , 5 m 1,5\ \text{m} (car il y a3 3 arceaux).4 4 - Nous obtenons ainsi la quantité de bâche nécessaire pour le dessus de la serre :
- Nous calculons maintenant l’aire
de bâche nécessaire en ajoutant l’aire des deux façades (avec le résultat trouvé à la question 1) :A tot \mathcal A_\text{tot}
Exercice 2
Exercice 2
Partie A
Partie A
- Question 1.a
La variable aléatoire
- Nous calculons ainsi la durée moyenne d’une partie de type A :
- Question 1.b
La variable aléatoire
Nous voyons sur la représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale qu’elle est symétrique par rapport à la droite d’équation
- La durée moyenne d’une partie de type B est
.17 min \boxed{17\ \text{min}} - Question 2
- Pour
, qui suit une loi uniforme, nous avons :X A X_\text{A}
- Pour
, qui suit une loi normale de moyenneX B X\text{B} et d’écart typeμ B = 17 \mu\text{B}=17 , nous calculons :σ B = 3 \sigma_\text{B}=3
- Le choix du type de jeu se faisant de manière équiprobable, nous avons :
Partie B
Partie B
- Question 1.a
En traduisant l’énoncé en termes de probabilités, nous obtenons :
a n = p ( A n ) an=p(An) b n = p ( B n ) = 1 − a n bn=p(Bn)=\red{1-a_n} ;p A n ( A n + 1 ) = 0 , 8 p{An}(A_{n+1})= \red{0,8} ;p A n ( B n + 1 ) = 1 − 0 , 8 = 0 , 2 p{An}(B_{n+1})= 1-0,8=\red{0,2} ;p B n ( B n + 1 ) = 0 , 7 p{Bn}(B_{n+1})=\red{0,7} .p B n ( A n + 1 ) = 1 − 0 , 7 = 0 , 3 p{Bn}(A_{n+1})= 1-0,7=\red{0,3} - Nous complétons ainsi l’arbre pondéré donné :
- Question 1.b
Soit
- En utilisant la formule des probabilités totales et avec l’arbre pondéré de la question 1.a, nous avons :
- Question 2.a
Nous souhaitons démontrer par récurrence que, pour tout
- Notons
la proposition et montrons qu’elle est vraie pour toutP n P_n .n ≥ 1 n\geq1 - Initialisation
est vraie.P 1 P_1 - Hérédité
Supposons que
- Nous avons l’hypothèse de récurrence :
.0 ≤ a k ≤ 0 , 6 0\leq a_k\leq 0,6
Montrons que, alors,
- C’est-à-dire que
.0 ≤ a k + 1 ≤ 0 , 6 0\leq a_{k+1}\leq 0,6
Nous avons, par hypothèse de récurrence :
est vraie : nous avons montré que l’hypothèse de récurrence était héréditaire.P k + 1 P_{k+1} - Conclusion
Ainsi, pour tout
- Pour tout
,n ≥ 1 n\geq 1 est vraie et :P n P_n
- Question 2.b
Étudions le signe de
- Nous avons, pour tout
:n ≥ 1 n\geq 1
Nous avons montré dans la question 1.b que, pour tout
- Nous en déduisons :
.a n − 0 , 6 ≤ 0 a_n - 0,6\leq0
Nous obtenons ainsi :
- La suite
est croissante.( a n ) (a_n) - Question 2.c
Le terme général de la suite
- Comme fonction affine,
est continue sur $\mathbb R$.f f
La limite
- Résolvons-la.
Nous savons par ailleurs que
- La suite est donc convergente et sa limite est
.l = 0 , 6 l=0,6 - Question 3.a
En reprenant la définition de la suite
est donc une suite géométrique de raison( u n ) (un) et de premier termeq = 0 , 5 q=0,5 .u 1 = a − 0 , 6 u1 = a - 0,6 - Question 3.b
À partir de la conclusion de la question 3.a, nous pouvons donner la formule explicite de la suite
Nous savons que
- Nous pouvons conclure :
- Question 3.c
Calculons la limite de la suite
- Cette limite ne dépend pas de
.a a - Question 3.d
Notons
- Nous définissons ainsi la suite
et, pour tout( b n ) (bn) ,n ≥ 1 n\geq 1 .b n = 1 − a n bn = 1- a_n
Calculons sa limite :
- Ainsi, un joueur qui joue intensivement verra plus souvent la publicité insérée au début des parties de type A.
Exercice 3
Exercice 3
Affirmation 1 : « Le triangle O A B OAB est équilatéral »
Affirmation 1 : « Le triangle
Résolvons l’équation :
Le discriminant
- Les solutions de l’équation sont :
.O B = 2 OB=2
Enfin, pour
Ainsi :
- L’affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 : « u 2 019 + u ˉ 2 019 = 2 2 019 u^{2\,019}+\bar u^{2\,019}=2^{2\,019} »
Affirmation 2 : «
Nous avons un nombre complexe élevé à une puissance.
- L’écriture exponentielle sera plus simple à manipuler.
- Intéressons-nous d’abord à
, avec doncu = 3 + i u=\sqrt 3 + \text{i} .∣ u ∣ = 2 \vert u\vert=2
- Élevons-le à la puissance demandée, en utilisant notamment les propriétés algébriques de l’exponentielle :
- Calculons le conjugué de
:u u
Finalement, nous obtenons :
- L’affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3 : « Pour tout entier naturel n ≥ 1 n \geq 1 , la fonction f n f_n admet un maximum »
Affirmation 3 : « Pour tout entier naturel
est dérivable surf n f_n comme produit de fonctions dérivables sur[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[ . Pour tout[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[ :x ∈ [ 0 ; + ∞ [ x\in [0\ ;\,+\infty[
- Étudions le signe de
surf n ′ f^{\prime}_n .[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\,+\infty[
- elle est strictement positive sur
;[ 0 ; 1 n [ \left[0\ ;\,\frac 1n\right[ - elle est strictement négative sur
.] 1 n ; + ∞ [ \left]\frac 1n\ ;\,+\infty\right[
Sur
- L’affirmation 3 est vraie.
Affirmation 4 : « La courbe C \mathcal C admet une asymptote en + ∞ +\infty »
Affirmation 4 : « La courbe
Pour tout réel
Nous connaissons la limite des deux fonctions qui « encadrent » $f$ :
En appliquant le théorème des gendarmes, nous obtenons :
- L’affirmation 4 est vraie.
Affirmation 5 : « 15 ln ( 2 ) ≤ ln ( A ) ≤ 16 ln ( 2 ) 15\ln{(2)}\leq \ln{(A)}\leq 16\ln{(2)} »
Affirmation 5 : «
Nous en déduisons donc :
- L’affirmation 5 est fausse.
Exercice 4 : spécialité
Exercice 4 : spécialité
Partie A
1. Comme :
2. On doit obtenir :
3.a. Équation diophantienne. On trouve :
b. Comme on veut :
Partie B
1. Relation de Bézout.
2.a.
b.
c. Si on calcule la formule demandée pour
3.a. Pour obtenir
b.
Donc
De même,
Donc
- Ainsi
.D = D ′ D = D^{\prime}
4. Ces suites sont engendrées par une matrice de