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Sujet bac S - Annale mathématiques 2019 - Corrigé spécialité
Corrigé bac

Corrigés proposés par L’Étudiant.

Vous pouvez également retrouver les sujets probables 2020 ici.

SESSION 2019

ÉPREUVE DU VENDREDI 21 JUIN 2019

MATHÉMATIQUES
– Série S –

Enseignement de spécialité

CORRIGÉ
Éléments de réponse

Exercice 1

Partie A

  • Question 1.a

Nous connaissons les limites de la fonction exponentielle :

limx+ex=+limx+ex=limXeX[en posant X=x]=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^x &= + \infty \ \ \lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^{-x} &= \lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en posant $X=-x$]}}} \ &=0 \end{aligned}

Par somme des limites, nous obtenons :

limx+ex+ex=+\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x + \text{e}^{-x}=+\infty

Finalement, par produit et somme des limites, nous arrivons à :

limx+f(x)=limx+7212(ex+ex)=\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} f(x)&= \lim\limits{x \to +\infty} \dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^x+\text{e}^{-x}) \ &=\boxed{-\infty} \end{aligned}

  • Question 1.b

ff est la somme de fonctions dérivables sur R\mathbb R, elle est dérivable sur R\mathbb R, et donc sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[.

  • Pour tout x[0 ;+[x\in\,[0\ ;\,+\infty[, sa dérivée est égale à :

f(x)=12(exex)[par deˊriveˊe de fonctions composeˊeset car exp=exp]\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= -\dfrac 12(\text{e}^x - \text{e}^{-x}) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par dérivée de fonctions composées}}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{et car $\exp^{\prime} =\exp$]}}} \end{aligned}

Nous voyons que ff^{\prime} s’annule en x=0x=0.
Puis, pour tout x>0x>0, nous avons :

x>xex>ex [car exp est strictement croissante sur R]exex>012(exex)<0f(x)<0\begin{aligned} x>-x &\Leftrightarrow \text{e}^x > \text{e}^{-x}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\exp$ est strictement croissante sur R\mathbb R]}}} \ &\Leftrightarrow \text{e}^x-\text{e}^{-x}>0 \ &\Leftrightarrow -\dfrac 12(\text{e}^x - \text{e}^{-x})<0 \\ &\Leftrightarrow \boxed{f^{\prime} (x) < 0} \end{aligned}

Ainsi, ff^{\prime} s’annule en x=0x=0 et est strictement négative pour tout x>0x>0.

  • ff est strictement décroissante sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[.
  • Question 1.c
  • Nous avons vu que ff est dérivable sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[, elle est donc continue sur cet intervalle.
  • Nous avons prouvé à la question 1.b. que ff est strictement décroissante sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[.
  • En outre, nous avons :

f(0)=7212(e0+e0)=721=52limx+f(x)= [d’apreˋs la question 1.b]\begin{aligned} f(0)&= \dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^0+\text{e}^0) \ &=\dfrac 72-1 \ &=\dfrac 52 \ \ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&= -\infty \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après la question 1.b]}}} \end{aligned}

Et nous voyons que 0] ;52]0\in ]-\infty\ ;\,\frac 52].

  • Nous pouvons appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
  • L’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[.
  • Nous la notons α\alpha.
  • Question 2

Pour tout réel xx, nous voyons :

f(x)=7212(ex+e(x))=7212(ex+ex)=f(x)\begin{aligned} f(-x)&= \dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^{-x}+\text{e}^{-(-x)}) \ &=\dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^{-x}+\text{e}^{x}) \ &=f(x) \end{aligned}

  • Nous remarquons ainsi que, pour tout réel xx, f(x)=f(x)f(-x)=f(x).
  • ff est paire.
  • Donc, comme nous avons vu à la question 1.c. que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[, nous pouvons dire que l’équation f(x)=0f(-x)=0 admet une unique solution sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[.
  • Ce qui revient à dire que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution sur ] ;0]]-\infty\ ;\,0].
  • Nous avons enfin : f(α)=f(α)=0f(-\alpha)=f(\alpha)=0.
  • L’équation f(x)=0f(x)=0 admet donc exactement deux solutions dans R\mathbb R, et ces solutions sont opposées : α\alpha et α-\alpha.

Partie B

  • Question 1

D’après le schéma de l’énoncé, la hauteur d’un arceau correspond à f(0)f(0), que nous avons calculé à la question A.1.c. :

f(0)=52=2,5 m\begin{aligned} f(0) &= \dfrac 52 \ &=\boxed{2,5\ \text{m}} \end{aligned}

  • Question 2.a

Dans la question A.1.b., nous avons calculé la dérivée de ff. Pour tout xRx\in \mathbb R :

f(x)=12(exex) f^{\prime}(x) = -\dfrac 12(\text{e}^x - \text{e}^{-x})

  • Nous développons la formule donnée :

1+(f(x))2=1+(exex)24=4+(ex)22+(ex)24 [car (a+b)2=a22ab+b2 et exex=1]=14((ex)2+2+(ex)2)=14((ex)2+2exex+(ex)2)=14(ex+ex)2\begin{aligned} 1 + \big(f^{\prime} (x)\big)^2 &= 1 + \dfrac {{(\text{e}^x - \text{e}^{-x})}^2}4 \ &= \dfrac{4 +{(\text{e}^x)}^2 -2+{(\text{e}^{-x})}^2}4 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $(a+b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $\text e^x \text e^{-x}=1$]}}} \ &= \dfrac14 \left( {(\text{e}^x)}^2 +2+{(\text{e}^{-x})}^2\right) \ &= \dfrac14 \left( {(\text{e}^x)}^2 +2\text e^x\text e^{-x}+{(\text{e}^{-x})}^2\right) \ &= \boxed{\dfrac 14{(\text{e}^x + \text{e}^{-x})}^2} \end{aligned}

  • Question 2.b
  • Nous calculons II en fonction de α\alpha :

I=0α1+(f(x))2dx=0α14(ex+ex)2dx[d’apreˋs la question 2.a.]=0α12(ex+ex)dx[car exp est strictement positive]=12[exex]0α[car une primitive de ueu est eu]=12((eαeα)(e0e0))=12(eαeα)\begin{aligned} I&=\int{0}^{\alpha} \sqrt{1+\big(f^{\prime}(x)\big)^2}\text d x \ &=\int{0}^{\alpha} \sqrt{\dfrac 14{(\text{e}^x + \text{e}^{-x})}^2}\text d x \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la question 2.a.]}}} \ &=\int{0}^{\alpha} \dfrac 12(\text{e}^x + \text{e}^{-x})\text d x \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\exp$ est strictement positive]}}} \ &=\dfrac 12\Big[\text{e}^x - \text{e}^{-x}\Big]0^\alpha \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car une primitive de $u^{\prime} \text e^u$ est $ \text e^u$]}}} \ &=\dfrac 12\big((\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})-(\text e^0-\text e^0)\big) \ &=\boxed{\dfrac 12(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})} \end{aligned}

  • Par définition (indiquée dans l’énoncé), II donne la longueur, en mètre, de C\mathscr C sur [0 ;α][0\ ;\,\alpha].

Or, la longueur d’un arceau est égale à la longueur de C\mathscr C sur [α ;α][-\alpha\ ;\,\alpha].
La fonction ff étant paire, il suffit de multiplier II par 22 :

2I=2×12×(eαeα)=eαeα\begin{aligned} 2I&=2\times\dfrac 12\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha}) \ &=\boxed{\text e^\alpha-\text e^{-\alpha}} \end{aligned}

Partie C

  • Question 1
  • Calculons d’abord la quantité de bâche nécessaire pour la façade nord.

Celle-ci est égale à l’aire sous la courbe entre α-\alpha et α\alpha, soit, en m2\text{m}^2 (1 u.a.=1 m21\ \text{u.a.}=1\ \text{m}^2) :

ααf(x)dx\int_{-\alpha}^\alpha f(x)\text d x

  • Calculons maintenant la quantité de bâche nécessaire pour la façade sud.

Celle-ci est égale à l’aire de la façade nord, à laquelle on soustrait l’aire du rectangle ABCDABCD :

ααf(x)dx2\int_{-\alpha}^\alpha f(x)\text d x - 2

  • La quantité de bâche nécessaire pour les deux façades est ainsi égale à :

A=2ααf(x)dx2=2×20αf(x)dx2[par symeˊtrie, f eˊtant paire]=40αf(x)dx2\begin{aligned} \mathcal A&=2\int{-\alpha}^\alpha f(x)\text d x - 2 \ &=2\times2\int0^\alpha f(x)\text d x - 2 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par symétrie, ff étant paire]}}} \ &=\boxed{4\int_0^\alpha f(x)\text d x - 2} \end{aligned}

  • Question 2
  • Le dessus de la serre a pour aire celle d’un rectangle de côtés :
  • la longueur de la courbe C\mathscr C entre α-\alpha et α\alpha, calculée à la question B.2.b ;
  • la longueur entre deux arceaux (1,5 m1,5\ \text{m}) multipliée par 33 (car il y a 44 arceaux).
  • Nous obtenons ainsi la quantité de bâche nécessaire pour le dessus de la serre :

3×1,5×(eαeα)=4,5×(eαeα)3\times1,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha}) = 4,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})

  • Nous calculons maintenant l’aire Atot\mathcal A_\text{tot} de bâche nécessaire en ajoutant l’aire des deux façades (avec le résultat trouvé à la question 1) :

Atot=4,5×(eαeα)+40αf(x)dx2=4,5×(eαeα)+4×[72x12(exex)]0α2=4,5×(eαeα)+4×(72α12(eαeα))2=2,5×(eαeα)+14α242 m2 [avec α1,92 m]\begin{aligned} \mathcal A\text{tot}&=4,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})+4\int0^\alpha f(x)\text d x - 2 \ &=4,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})+4\times\left[\dfrac 72 x- \dfrac 12(\text{e}^x-\text{e}^{-x})\right]_0^\alpha -2 \ &=4,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})+4\times \left(\dfrac 72 \alpha-\dfrac 12(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})\right)-2 \ &=2,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})+14\alpha-2 \ &\approx \boxed{42\ \text m^2}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $\alpha\approx 1,92$ m]}}} \end{aligned}

Exercice 2

Partie A

  • Question 1.a

La variable aléatoire XAX_\text{A}, modélisant la durée des parties de type A, suit une loi uniforme sur [9 ;25][9\ ;\,25].

  • Nous calculons ainsi la durée moyenne d’une partie de type A :

9+252=17 min\dfrac{9+25}2=\boxed{17\ \text{min}}

  • Question 1.b

La variable aléatoire XBX_\text{B}, modélisant la durée des parties de type B, suit une loi normale.
Nous voyons sur la représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale qu’elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x=17x=17.

  • La durée moyenne d’une partie de type B est 17 min\boxed{17\ \text{min}}.
  • Question 2
  • Pour XAX_\text{A}, qui suit une loi uniforme, nous avons :

p(XA<20)=p(9<XA<20)=209259=1116\begin{aligned} p(X\text{A}<20)&=p(9\text{A}<20) \ &=\dfrac{20-9}{25-9} \ &=\dfrac{11}{16} \end{aligned}

  • Pour XBX\text{B}, qui suit une loi normale de moyenne μB=17\mu\text{B}=17 et d’écart type σB=3\sigma_\text{B}=3, nous calculons :

p(XB<20)=p(XB<17)+p(17<XB<20)0,5+0,340,84\begin{aligned} p(X\text{B}<20)&=p(X\text{B}<17) + p(17

  • Le choix du type de jeu se faisant de manière équiprobable, nous avons :

p(X<20)=12p(XA<20)+12p(XB<20)12×1116+12×0,840,76\begin{aligned} p(X<20)&=\dfrac 12 p(X\text{A}<20) + \dfrac 12 p(X\text{B}<20) \ &\approx \dfrac 12\times\dfrac{11}{16} + \dfrac 12 \times 0,84 \ &\approx \boxed{0,76} \end{aligned}

Partie B

  • Question 1.a

En traduisant l’énoncé en termes de probabilités, nous obtenons :

  • an=p(An)an=p(An)
  • bn=p(Bn)=1anbn=p(Bn)=\red{1-a_n}
  • pAn(An+1)=0,8p{An}(A_{n+1})= \red{0,8} ;
  • pAn(Bn+1)=10,8=0,2p{An}(B_{n+1})= 1-0,8=\red{0,2} ;
  • pBn(Bn+1)=0,7p{Bn}(B_{n+1})=\red{0,7} ;
  • pBn(An+1)=10,7=0,3p{Bn}(A_{n+1})= 1-0,7=\red{0,3}.
  • Nous complétons ainsi l’arbre pondéré donné :

Mathématiques terminale S corrigé sujet bac 2019

  • Question 1.b

Soit nNn\in\mathbb N^*.

  • En utilisant la formule des probabilités totales et avec l’arbre pondéré de la question 1.a, nous avons :

an+1=p(An+1)=p(AnAn+1)+p(BnAn+1)=an×0,8+(1an)×0,3=0,8an0,3an+0,3=0,5an+0,3\begin{aligned} a{n+1}&=p(A{n+1}) \ &=p(An \cap A{n+1}) + p(Bn \cap A{n+1}) \ &=an\times 0,8 + (1-an) \times 0,3 \ &=0,8an-0,3an+0,3 \ &=\boxed{0,5a_n+0,3} \end{aligned}

  • Question 2.a

Nous souhaitons démontrer par récurrence que, pour tout nNn\in \mathbb N^*, nous avons 0an0,60\leq a_n\leq 0,6.

  • Notons PnP_n la proposition et montrons qu’elle est vraie pour tout n1n\geq1.
  • Initialisation

a1=a=0,5a1=a=0,5. Donc, 0a10,60\leq a1\leq 0,6

  • P1P_1 est vraie.
  • Hérédité

Supposons que PkP_k est vraie pour un entier k1k\geq 1.

  • Nous avons l’hypothèse de récurrence : 0ak0,60\leq a_k\leq 0,6.

Montrons que, alors, Pk+1P_{k+1} est vraie.

  • C’est-à-dire que 0ak+10,60\leq a_{k+1}\leq 0,6.

Nous avons, par hypothèse de récurrence :

0ak0,60,5×0+0,30,5ak+0,30,5×0,6+0,30,30,5ak+0,30,60,3ak+10,6[par deˊfinition de la suite vue aˋ la question 1.b]0ak+10,6\begin{aligned} 0\leq ak\leq 0,6 &\Leftrightarrow 0,5\times 0 + 0,3\leq 0,5 ak + 0,3 \leq 0,5\times 0,6+0,3 \ &\Leftrightarrow 0,3\leq 0,5 ak + 0,3\leq 0,6 \ &\Leftrightarrow 0,3\leq a{k+1}\leq 0,6 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par définition de la suite vue à la question 1.b]}}} \ &\Leftrightarrow 0\leq a_{k+1}\leq 0,6 \ \end{aligned}

  • Pk+1P_{k+1} est vraie : nous avons montré que l’hypothèse de récurrence était héréditaire.
  • Conclusion

Ainsi, pour tout n1n\geq 1, notre proposition a été initialisée et est héréditaire.

  • Pour tout n1n\geq 1, PnP_n est vraie et :

0an0,6 \boxed{0\leq a_n\leq 0,6}

  • Question 2.b

Étudions le signe de an+1ana{n+1}-an.

  • Nous avons, pour tout n1n\geq 1 :

an+1an=0,5an+0,3an=0,5(an0,6)\begin{aligned} a{n+1} - an &= 0,5an +0 ,3 - an \ &= - 0,5(a_n - 0,6) \end{aligned}

Nous avons montré dans la question 1.b que, pour tout n1n\geq 1, 0an0,60\leq a_n\leq 0,6.

  • Nous en déduisons : an0,60a_n - 0,6\leq0.

Nous obtenons ainsi : an+1an=0,5(an0,6)0a{n+1} - an = - 0,5(a_n - 0,6) \geq 0.

  • La suite (an)(a_n) est croissante.
  • Question 2.c

Le terme général de la suite (an)(an) vérifie an+1=f(an)a{n+1}=f(a_n), avec f:x0,5x+0,3f:\,x\mapsto 0,5x+0,3.

  • Comme fonction affine, ff est continue sur $\mathbb R$.

La limite ll de (an)(a_n), si elle existe, est donc à chercher dans les solutions de l’équation f(l)=lf(l)=l.

  • Résolvons-la.

f(l)=l0,5l+0,3=ll=0,6\begin{aligned} f(l)=l &\Leftrightarrow 0,5l+0,3=l \ &\Leftrightarrow l=0,6 \end{aligned}

Nous savons par ailleurs que (an)(a_n) est croissante (question 2.b) et majorée par 0,60,6 (question 2.a.).

  • La suite est donc convergente et sa limite est l=0,6l=0,6.
  • Question 3.a

En reprenant la définition de la suite (un)(u_n), nous avons :

un+1=an+10,6=0,5an+0,30,6=0,5an0,3=0,5(an0,6)=0,5un\begin{aligned} u{n+1} &= a{n +1} - 0,6 \ &= 0,5an + 0,3 - 0,6 \ &= 0,5an - 0,3 \ &= 0,5(an - 0,6) \ &= 0,5 un \end{aligned}

  • (un)(un) est donc une suite géométrique de raison q=0,5q=0,5 et de premier terme u1=a0,6u1 = a - 0,6.
  • Question 3.b

À partir de la conclusion de la question 3.a, nous pouvons donner la formule explicite de la suite (un)(u_n), pour tout n1n\geq 1 :

un=u1×qn1=(a0,6)×0,5n1\begin{aligned} un&=u1\times q^{n-1} \ &=(a-0,6)\times 0,5^{n-1} \end{aligned}

Nous savons que un=an0,6an=un+0,6 un = an - 0,6 \Leftrightarrow an=un+0,6.

  • Nous pouvons conclure :

an=un+0,6=(a0,6)×0,5n1+0,6\begin{aligned} an&=un+0,6 \ &=\boxed{(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6} \end{aligned}

  • Question 3.c

Calculons la limite de la suite (an)(a_n) :

limn+an=limn+(a0,6)×0,5n1+0,6=0+0,6[car 1<0,5<1 et donc limn+0,5n1=0]=0,6\begin{aligned} \lim\limits{n \to +\infty} an &= \lim\limits_{n \to +\infty} (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6 \ &=0+0,6 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $-1<0,5<1$ et donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^{n-1}=0$]}}} \ &=\boxed{0,6} \end{aligned}

  • Cette limite ne dépend pas de aa.
  • Question 3.d

Notons bnbn la probabilité de l’événement BnBn pour tout n1n\geq 1.

  • Nous définissons ainsi la suite (bn)(bn) et, pour tout n1n\geq 1, bn=1anbn = 1- a_n.

Calculons sa limite :

limn+bn=1limn+an=10,6 [d’apreˋs la question 3.b]=0,4<limn+an\begin{aligned} \lim\limits{n \to +\infty} bn &=1- \lim\limits{n \to +\infty} an \ &=1-0,6 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après la question 3.b]}}} \ &=0,4 \ &<\lim\limits{n \to +\infty} an \end{aligned}

  • Ainsi, un joueur qui joue intensivement verra plus souvent la publicité insérée au début des parties de type A.

Exercice 3

Affirmation 1 : « Le triangle OABOAB est équilatéral »

Résolvons l’équation : z223z+4=0z^2-2\sqrt 3 z+4=0.

Le discriminant Δ\Delta est égal à (22)-(2^2).

  • Les solutions de l’équation sont :

zA=3+izB=3i\begin{aligned} zA&=\sqrt3 + \text{i} \ zB&=\sqrt3 - \text{i} \end{aligned}

OAOA est égal au module de zAz_A :

OA=zA=32+12=2\begin{aligned} OA&=\vert z_A\vert \ &= \sqrt{\sqrt3^2+1^2} \ &=2 \end{aligned}

zBzB est le conjugué de zAzA, leurs modules sont donc égaux.

  • OB=2OB=2.

Enfin, pour ABAB, nous avons :

AB=zBzA=2i=2\begin{aligned} AB&=\vert zB-zA \vert \ &=\vert -2i \vert \ &=2 \end{aligned}

Ainsi : OA=OB=ABOA=OB=AB, et OABOAB est équilatéral.

  • L’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : « u2019+uˉ2019=22019u^{2\,019}+\bar u^{2\,019}=2^{2\,019} »

bannière astuce

Astuce

Nous avons un nombre complexe élevé à une puissance.

  • L’écriture exponentielle sera plus simple à manipuler.
  • Intéressons-nous d’abord à u=3+iu=\sqrt 3 + \text{i}, avec donc u=2\vert u\vert=2.

u=2(32+12i)=2(cos(π6)+sin(π6)i)=2eiπ6\begin{aligned} u&= 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}2+\dfrac 12 \text{i}\right) \ &=2\bigg(\cos\left(\dfrac\pi 6\right)+\sin\left(\dfrac\pi 6\right) \text{i}\bigg) \ &=2\text{e}^{\text{i}\frac \pi 6} \end{aligned}

  • Élevons-le à la puissance demandée, en utilisant notamment les propriétés algébriques de l’exponentielle :

u2019=(2eiπ6)2019=22019ei2019π6=22019ei(336×6+3)π6[pour faire apparaıˆtre π et π2]=22019(eiπ)336eiπ2=22019(1)336i[car eiπ=1 et eiπ2=i]=22019i\begin{aligned} u^{2\,019}&= \left(2\text{e}^{\text{i}\frac \pi 6}\right)^{2\,019} \ &=2^{2\,019}\text{e}^{\text{i}\,2\,019\frac \pi 6} \ &=2^{2\,019}\text{e}^{\text{i}(336\times6+3)\frac \pi 6} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[pour faire apparaître $\pi$ et $\frac \pi 2$]}}} \ &=2^{2\,019}{(\text{e}^{\text{i}\pi})}^{336}\text e^{i\frac \pi 2} \ &=2^{2\,019}(-1)^{336}\, \text i \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\text e^{\text i\pi}=-1$ et $\text e^{\text i\frac\pi2}=$i]}}} \ &=2^{2\,019}\,\text i \end{aligned}

  • Calculons le conjugué de uu :

uˉ=22019i=22019i\begin{aligned} \bar u&=\overline{2^{2\,019}\,\text i} \ &=-2^{2\,019}\,\text i \end{aligned}

Finalement, nous obtenons :

u2019+uˉ2019=22019i22019i=0\begin{aligned} u^{2\,019}+\bar u^{2\,019} &= 2^{2\,019}\,\text i - 2^{2\,019}\,\text i \ &=0 \end{aligned}

  • L’affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3 : « Pour tout entier naturel n1n \geq 1, la fonction fnf_n admet un maximum »

  • fnf_n est dérivable sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[ comme produit de fonctions dérivables sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[. Pour tout x[0 ;+[x\in [0\ ;\,+\infty[ :

fn(x)=enx+1nenx+1[par deˊriveˊe d’un produit]=enx+1(1nx)\begin{aligned} f^{\prime}_n(x)&=\text{e}^{-nx+1}-n\text{e}^{-nx+1} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par dérivée d’un produit]}}} \ &=\text{e}^{-nx+1}(1-nx) \end{aligned}

  • Étudions le signe de fnf^{\prime}_n sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[.

fn(x)=01nx=0[car exp est strictement positive]x=1nfn(x)<01nx<0x>1n [car n>0]fn(x)>01nx>0x<1n\begin{aligned} f^{\prime}n(x)=0 &\Leftrightarrow 1-nx=0 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\exp$ est strictement positive]}}} \ &\Leftrightarrow x=\dfrac 1n \ \ f^{\prime}n(x) < 0 &\Leftrightarrow 1-nx < 0 \ &\Leftrightarrow x > \dfrac 1n \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $n > 0$]}}}\ \ f^{\prime}_n(x) > 0 &\Leftrightarrow 1-nx > 0 \ &\Leftrightarrow x < \dfrac 1n \end{aligned}

fnf^{\prime}_n s’annule en x=1nx=\frac1n et change de signe :

  • elle est strictement positive sur [0 ;1n[\left[0\ ;\,\frac 1n\right[ ;
  • elle est strictement négative sur ]1n ;+[\left]\frac 1n\ ;\,+\infty\right[.

Sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[, elle admet donc un maximum, égal à f(1n)=1nf\left(\frac 1n\right)=\frac 1n, avec n1n\geq1.

  • L’affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4 : « La courbe C\mathcal C admet une asymptote en ++\infty »

Pour tout réel xx, nous avons :

1cos(x)1excos(x)exex[car exp est strictement positive]exf(x)ex\begin{aligned} -1\leq\cos{(x)}\leq1 &\Leftrightarrow -\text{e}^{-x}\leq\cos{(x)} \text{e}^{-x}\leq\text{e}^{-x} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\exp$ est strictement positive]}}} \ &\Leftrightarrow -\text{e}^{-x}\leq f(x)\leq\text{e}^{-x} \end{aligned}

Nous connaissons la limite des deux fonctions qui « encadrent » $f$ :

limx+ex=limx+ex=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} -\text{e}^{-x} &= \lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^{-x} \ &=0 \end{aligned}

En appliquant le théorème des gendarmes, nous obtenons :

limx+f(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0

C\mathcal C admet donc une asymptote en ++\infty, qui est la droite d’équation y=0y=0.

  • L’affirmation 4 est vraie.

Affirmation 5 : « 15ln(2)ln(A)16ln(2)15\ln{(2)}\leq \ln{(A)}\leq 16\ln{(2)} »

II contient 1515 en fin d’exécution de l’algorithme.
Nous en déduisons donc :

214A<215ln(214)ln(A)<ln(215) [car ln est strictement croissante]14ln(2)ln(A)<15ln(2)\begin{aligned} 2^{14}\leq A < 2^{15} &\Leftrightarrow \ln\left(2^{14}\right) \leq \ln{(A)} < \ln \left(2^{15}\right) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln$ est strictement croissante]}}} \ &\Leftrightarrow 14\ln{(2)}\leq \ln{(A)} < 15\ln{(2)} \end{aligned}

  • L’affirmation 5 est fausse.

Exercice 4 : spécialité

Partie A

1. Comme : 6×(4)5×(5)=16\times(-4) -5\times(-5) = 1, AA appartient à SS.

2. On doit obtenir : ad6=1ad - 6 = 1, soit ad=7ad = 7, donc, en nombres entiers, on a : (1 ;7)(1\ ;\,7) ou (1 ;7)(-1\ ;\,-7) ou (7 ;1)(7\ ;\,1) ou (7 ;1)(-7\ ;\,-1), soit quatre solutions.

3.a. Équation diophantienne. On trouve :

{x=1+2ky=2+5k  k entier\begin{cases} x = 1 + 2k \ y = 2 + 5k \end{cases} \ \ k \text{ entier}

b. Comme on veut : 5a2b=15a -2b = 1, on retrouve l’équation précédente qui a une infinité de solutions.

Partie B

1. Relation de Bézout.

2.a. AB=IAB = I.
b. AA est inversible d’inverse BB (par définition).
c. Si on calcule la formule demandée pour BB, on a dabcda - bc