Sujet bac S - Annale mathématiques 2019 - Corrigé spécialité

Exercice 1

Partie A

• Question 1.a

Nous connaissons les limites de la fonction exponentielle :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^x &= + \infty \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} &= \lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en posant $X=-x$]}}} \\ &=0 \end{aligned}$$

Par somme des limites, nous obtenons :

$$\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x + \text{e}^{-x}=+\infty$$

Finalement, par produit et somme des limites, nous arrivons à :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^x+\text{e}^{-x}) \\ &=\boxed{-\infty} \end{aligned}$$

• Question 1.b

$f$ est la somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, elle est dérivable sur $\mathbb R$, et donc sur $[0\ ;\,+\infty[$.

• Pour tout $x\in\,[0\ ;\,+\infty[$, sa dérivée est égale à :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= -\dfrac 12(\text{e}^x - \text{e}^{-x}) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par dérivée de fonctions composées}}} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{et car $\exp^{\prime} =\exp$]}}} \end{aligned}$$

Nous voyons que $f^{\prime}$ s’annule en $x=0$.
Puis, pour tout $x>0$, nous avons :

$$\begin{aligned} x>-x &\Leftrightarrow \text{e}^x > \text{e}^{-x}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb R$]}}} \\ &\Leftrightarrow \text{e}^x-\text{e}^{-x}>0 \\ &\Leftrightarrow -\dfrac 12(\text{e}^x - \text{e}^{-x})<0 \\ &\Leftrightarrow \boxed{f^{\prime} (x) < 0} \end{aligned}$$

Ainsi, $f^{\prime}$ s’annule en $x=0$ et est strictement négative pour tout $x>0$.

• $f$ est strictement décroissante sur $[0\ ;\,+\infty[$.
• Question 1.c
• Nous avons vu que $f$ est dérivable sur $[0\ ;\,+\infty[$, elle est donc continue sur cet intervalle.
• Nous avons prouvé à la question 1.b. que $f$ est strictement décroissante sur $[0\ ;\,+\infty[$.
• En outre, nous avons :

$$\begin{aligned} f(0)&= \dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^0+\text{e}^0) \\ &=\dfrac 72-1 \\ &=\dfrac 52 \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&= -\infty \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après la question 1.b]}}} \end{aligned}$$

Et nous voyons que $0\in ]-\infty\ ;\,\frac 52]$.

• Nous pouvons appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
• L’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[0\ ;\,+\infty[$.
• Nous la notons $\alpha$.
• Question 2

Pour tout réel $x$, nous voyons :

$$\begin{aligned} f(-x)&= \dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^{-x}+\text{e}^{-(-x)}) \\ &=\dfrac 72-\dfrac 12(\text{e}^{-x}+\text{e}^{x}) \\ &=f(x) \end{aligned}$$

• Nous remarquons ainsi que, pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$.
• $f$ est paire.
• Donc, comme nous avons vu à la question 1.c. que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[0\ ;\,+\infty[$, nous pouvons dire que l’équation $f(-x)=0$ admet une unique solution sur $[0\ ;\,+\infty[$.
• Ce qui revient à dire que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]-\infty\ ;\,0]$.
• Nous avons enfin : $f(-\alpha)=f(\alpha)=0$.
• L’équation $f(x)=0$ admet donc exactement deux solutions dans $\mathbb R$, et ces solutions sont opposées : $\alpha$ et $-\alpha$.

Partie B

• Question 1

D’après le schéma de l’énoncé, la hauteur d’un arceau correspond à $f(0)$, que nous avons calculé à la question A.1.c. :

$$\begin{aligned} f(0) &= \dfrac 52 \\ &=\boxed{2,5\ \text{m}} \end{aligned}$$

• Question 2.a

Dans la question A.1.b., nous avons calculé la dérivée de $f$. Pour tout $x\in \mathbb R$ :

$$ f^{\prime}(x) = -\dfrac 12(\text{e}^x - \text{e}^{-x})$$

• Nous développons la formule donnée :

$$\begin{aligned} 1 + \big(f^{\prime} (x)\big)^2 &= 1 + \dfrac {{(\text{e}^x - \text{e}^{-x})}^2}4 \\ &= \dfrac{4 +{(\text{e}^x)}^2 -2+{(\text{e}^{-x})}^2}4 \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $(a+b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $\text e^x \text e^{-x}=1$]}}} \\ &= \dfrac14 \left( {(\text{e}^x)}^2 +2+{(\text{e}^{-x})}^2\right) \\ &= \dfrac14 \left( {(\text{e}^x)}^2 +2\text e^x\text e^{-x}+{(\text{e}^{-x})}^2\right) \\ &= \boxed{\dfrac 14{(\text{e}^x + \text{e}^{-x})}^2} \end{aligned}$$

• Question 2.b
• Nous calculons $I$ en fonction de $\alpha$ :

$$\begin{aligned} I&=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\big(f^{\prime}(x)\big)^2}\text d x \\ &=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{\dfrac 14{(\text{e}^x + \text{e}^{-x})}^2}\text d x \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la question 2.a.]}}} \\ &=\int_{0}^{\alpha} \dfrac 12(\text{e}^x + \text{e}^{-x})\text d x \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\exp$ est strictement positive]}}} \\ &=\dfrac 12\Big[\text{e}^x - \text{e}^{-x}\Big]_0^\alpha \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car une primitive de $u^{\prime} \text e^u$ est $ \text e^u$]}}} \\ &=\dfrac 12\big((\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})-(\text e^0-\text e^0)\big) \\ &=\boxed{\dfrac 12(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})} \end{aligned}$$

• Par définition (indiquée dans l’énoncé), $I$ donne la longueur, en mètre, de $\mathscr C$ sur $[0\ ;\,\alpha]$.

Or, la longueur d’un arceau est égale à la longueur de $\mathscr C$ sur $[-\alpha\ ;\,\alpha]$.
La fonction $f$ étant paire, il suffit de multiplier $I$ par $2$ :

$$\begin{aligned} 2I&=2\times\dfrac 12\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha}) \\ &=\boxed{\text e^\alpha-\text e^{-\alpha}} \end{aligned}$$

Partie C

• Question 1
• Calculons d’abord la quantité de bâche nécessaire pour la façade nord.

Celle-ci est égale à l’aire sous la courbe entre $-\alpha$ et $\alpha$, soit, en $\text{m}^2$ ($1\ \text{u.a.}=1\ \text{m}^2$) :

$$\int_{-\alpha}^\alpha f(x)\text d x$$

• Calculons maintenant la quantité de bâche nécessaire pour la façade sud.

Celle-ci est égale à l’aire de la façade nord, à laquelle on soustrait l’aire du rectangle $ABCD$ :

$$\int_{-\alpha}^\alpha f(x)\text d x - 2$$

• La quantité de bâche nécessaire pour les deux façades est ainsi égale à :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=2\int_{-\alpha}^\alpha f(x)\text d x - 2 \\ &=2\times2\int_0^\alpha f(x)\text d x - 2 \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par symétrie, $f$ étant paire]}}} \\ &=\boxed{4\int_0^\alpha f(x)\text d x - 2} \end{aligned}$$

• Question 2
• Le dessus de la serre a pour aire celle d’un rectangle de côtés :
• la longueur de la courbe $\mathscr C$ entre $-\alpha$ et $\alpha$, calculée à la question B.2.b ;
• la longueur entre deux arceaux ($1,5\ \text{m}$) multipliée par $3$ (car il y a $4$ arceaux).
• Nous obtenons ainsi la quantité de bâche nécessaire pour le dessus de la serre :

$$3\times1,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha}) = 4,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})$$

• Nous calculons maintenant l’aire $\mathcal A_\text{tot}$ de bâche nécessaire en ajoutant l’aire des deux façades (avec le résultat trouvé à la question 1) :

$$\begin{aligned} \mathcal A_\text{tot}&=4,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})+4\int_0^\alpha f(x)\text d x - 2 \\ &=4,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})+4\times\left[\dfrac 72 x- \dfrac 12(\text{e}^x-\text{e}^{-x})\right]_0^\alpha -2 \\ &=4,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})+4\times \left(\dfrac 72 \alpha-\dfrac 12(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})\right)-2 \\ &=2,5\times(\text e^\alpha-\text e^{-\alpha})+14\alpha-2 \\ &\approx \boxed{42\ \text m^2}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $\alpha\approx 1,92$ m]}}} \end{aligned}$$

Exercice 2

Partie A

• Question 1.a

La variable aléatoire $X_\text{A}$, modélisant la durée des parties de type A, suit une loi uniforme sur $[9\ ;\,25]$.

• Nous calculons ainsi la durée moyenne d’une partie de type A :

$$\dfrac{9+25}2=\boxed{17\ \text{min}}$$

• Question 1.b

La variable aléatoire $X_\text{B}$, modélisant la durée des parties de type B, suit une loi normale.
Nous voyons sur la représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale qu’elle est symétrique par rapport à la droite d’équation $x=17$.

• La durée moyenne d’une partie de type B est $\boxed{17\ \text{min}}$.
• Question 2
• Pour $X_\text{A}$, qui suit une loi uniforme, nous avons :

$$\begin{aligned} p(X_\text{A}<20)&=p(9<X_\text{A}<20) \\ &=\dfrac{20-9}{25-9} \\ &=\dfrac{11}{16} \end{aligned}$$

• Pour $X_\text{B}$, qui suit une loi normale de moyenne $\mu_\text{B}=17$ et d’écart type $\sigma_\text{B}=3$, nous calculons :

$$\begin{aligned} p(X_\text{B}<20)&=p(X_\text{B}<17) + p(17<X_\text{B}<20) \\ &\approx 0,5 + 0,34 \\ &\approx 0,84 \end{aligned}$$

• Le choix du type de jeu se faisant de manière équiprobable, nous avons :

$$\begin{aligned} p(X<20)&=\dfrac 12 p(X_\text{A}<20) + \dfrac 12 p(X_\text{B}<20) \\ &\approx \dfrac 12\times\dfrac{11}{16} + \dfrac 12 \times 0,84 \\ &\approx \boxed{0,76} \end{aligned}$$

Partie B

• Question 1.a

En traduisant l’énoncé en termes de probabilités, nous obtenons :

• $a_n=p(A_n)$
• $b_n=p(B_n)=\red{1-a_n}$
• $p_{A_n}(A_{n+1})= \red{0,8}$ ;
• $p_{A_n}(B_{n+1})= 1-0,8=\red{0,2}$ ;
• $p_{B_n}(B_{n+1})=\red{0,7}$ ;
• $p_{B_n}(A_{n+1})= 1-0,7=\red{0,3}$.
• Nous complétons ainsi l’arbre pondéré donné :

• Question 1.b

Soit $n\in\mathbb N^*$.

• En utilisant la formule des probabilités totales et avec l’arbre pondéré de la question 1.a, nous avons :

$$\begin{aligned} a_{n+1}&=p(A_{n+1}) \\ &=p(A_n \cap A_{n+1}) + p(B_n \cap A_{n+1}) \\ &=a_n\times 0,8 + (1-a_n) \times 0,3 \\ &=0,8a_n-0,3a_n+0,3 \\ &=\boxed{0,5a_n+0,3} \end{aligned}$$

• Question 2.a

Nous souhaitons démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb N^*$, nous avons $0\leq a_n\leq 0,6$.

• Notons $P_n$ la proposition et montrons qu’elle est vraie pour tout $n\geq1$.
• Initialisation

$a_1=a=0,5$. Donc, $0\leq a_1\leq 0,6$

• $P_1$ est vraie.
• Hérédité

Supposons que $P_k$ est vraie pour un entier $k\geq 1$.

• Nous avons l’hypothèse de récurrence : $0\leq a_k\leq 0,6$.

Montrons que, alors, $P_{k+1}$ est vraie.

• C’est-à-dire que $0\leq a_{k+1}\leq 0,6$.

Nous avons, par hypothèse de récurrence :

$$\begin{aligned} 0\leq a_k\leq 0,6 &\Leftrightarrow 0,5\times 0 + 0,3\leq 0,5 a_k + 0,3 \leq 0,5\times 0,6+0,3 \\ &\Leftrightarrow 0,3\leq 0,5 a_k + 0,3\leq 0,6 \\ &\Leftrightarrow 0,3\leq a_{k+1}\leq 0,6 \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par définition de la suite vue à la question 1.b]}}} \\ &\Leftrightarrow 0\leq a_{k+1}\leq 0,6 \\ \end{aligned}$$

• $P_{k+1}$ est vraie : nous avons montré que l’hypothèse de récurrence était héréditaire.
• Conclusion

Ainsi, pour tout $n\geq 1$, notre proposition a été initialisée et est héréditaire.

• Pour tout $n\geq 1$, $P_n$ est vraie et :

$$ \boxed{0\leq a_n\leq 0,6}$$

• Question 2.b

Étudions le signe de $a_{n+1}-a_n$.

• Nous avons, pour tout $n\geq 1$ :

$$\begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= 0,5a_n +0 ,3 - a_n \\ &= - 0,5(a_n - 0,6) \end{aligned}$$

Nous avons montré dans la question 1.b que, pour tout $n\geq 1$, $0\leq a_n\leq 0,6$.

• Nous en déduisons : $a_n - 0,6\leq0$.

Nous obtenons ainsi : $a_{n+1} - a_n = - 0,5(a_n - 0,6) \geq 0$.

• La suite $(a_n)$ est croissante.
• Question 2.c

Le terme général de la suite $(a_n)$ vérifie $a_{n+1}=f(a_n)$, avec $f:\,x\mapsto 0,5x+0,3$.

• Comme fonction affine, $f$ est continue sur $\mathbb R$.

La limite $l$ de $(a_n)$, si elle existe, est donc à chercher dans les solutions de l’équation $f(l)=l$.

• Résolvons-la.

$$\begin{aligned} f(l)=l &\Leftrightarrow 0,5l+0,3=l \\ &\Leftrightarrow l=0,6 \end{aligned}$$

Nous savons par ailleurs que $(a_n)$ est croissante (question 2.b) et majorée par $0,6$ (question 2.a.).

• La suite est donc convergente et sa limite est $l=0,6$.
• Question 3.a

En reprenant la définition de la suite $(u_n)$, nous avons :

$$\begin{aligned} u_{n+1} &= a_{n +1} - 0,6 \\ &= 0,5a_n + 0,3 - 0,6 \\ &= 0,5a_n - 0,3 \\ &= 0,5(a_n - 0,6) \\ &= 0,5 u_n \end{aligned}$$

• $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $u_1 = a - 0,6$.
• Question 3.b

À partir de la conclusion de la question 3.a, nous pouvons donner la formule explicite de la suite $(u_n)$, pour tout $n\geq 1$ :

$$\begin{aligned} u_n&=u_1\times q^{n-1} \\ &=(a-0,6)\times 0,5^{n-1} \end{aligned}$$

Nous savons que $ u_n = a_n - 0,6 \Leftrightarrow a_n=u_n+0,6$.

• Nous pouvons conclure :

$$\begin{aligned} a_n&=u_n+0,6 \\ &=\boxed{(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6} \end{aligned}$$

• Question 3.c

Calculons la limite de la suite $(a_n)$ :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{n \to +\infty} a_n &= \lim\limits_{n \to +\infty} (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6 \\ &=0+0,6 \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $-1<0,5<1$ et donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^{n-1}=0$]}}} \\ &=\boxed{0,6} \end{aligned}$$

• Cette limite ne dépend pas de $a$.
• Question 3.d

Notons $b_n$ la probabilité de l’événement $B_n$ pour tout $n\geq 1$.

• Nous définissons ainsi la suite $(b_n)$ et, pour tout $n\geq 1$, $b_n = 1- a_n$.

Calculons sa limite :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{n \to +\infty} b_n &=1- \lim\limits_{n \to +\infty} a_n \\ &=1-0,6 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après la question 3.b]}}} \\ &=0,4 \\ &<\lim\limits_{n \to +\infty} a_n \end{aligned}$$

• Ainsi, un joueur qui joue intensivement verra plus souvent la publicité insérée au début des parties de type A.

Exercice 3

Affirmation 1 : « Le triangle $OAB$ est équilatéral »

Résolvons l’équation : $z^2-2\sqrt 3 z+4=0$.

Le discriminant $\Delta$ est égal à $-(2^2)$.

• Les solutions de l’équation sont :

$$\begin{aligned} z_A&=\sqrt3 + \text{i} \\ z_B&=\sqrt3 - \text{i} \end{aligned}$$

$OA$ est égal au module de $z_A$ :

$$\begin{aligned} OA&=\vert z_A\vert \\ &= \sqrt{\sqrt3^2+1^2} \\ &=2 \end{aligned}$$

$z_B$ est le conjugué de $z_A$, leurs modules sont donc égaux.

• $OB=2$.

Enfin, pour $AB$, nous avons :

$$\begin{aligned} AB&=\vert z_B-z_A \vert \\ &=\vert -2i \vert \\ &=2 \end{aligned}$$

Ainsi : $OA=OB=AB$, et $OAB$ est équilatéral.

• L’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : « $u^{2\,019}+\bar u^{2\,019}=2^{2\,019}$ »

• Intéressons-nous d’abord à $u=\sqrt 3 + \text{i}$, avec donc $\vert u\vert=2$.

$$\begin{aligned} u&= 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}2+\dfrac 12 \text{i}\right) \\ &=2\bigg(\cos\left(\dfrac\pi 6\right)+\sin\left(\dfrac\pi 6\right) \text{i}\bigg) \\ &=2\text{e}^{\text{i}\frac \pi 6} \end{aligned}$$

• Élevons-le à la puissance demandée, en utilisant notamment les propriétés algébriques de l’exponentielle :

$$\begin{aligned} u^{2\,019}&= \left(2\text{e}^{\text{i}\frac \pi 6}\right)^{2\,019} \\ &=2^{2\,019}\text{e}^{\text{i}\,2\,019\frac \pi 6} \\ &=2^{2\,019}\text{e}^{\text{i}(336\times6+3)\frac \pi 6} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[pour faire apparaître $\pi$ et $\frac \pi 2$]}}} \\ &=2^{2\,019}{(\text{e}^{\text{i}\pi})}^{336}\text e^{i\frac \pi 2} \\ &=2^{2\,019}(-1)^{336}\, \text i \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\text e^{\text i\pi}=-1$ et $\text e^{\text i\frac\pi2}=$i]}}} \\ &=2^{2\,019}\,\text i \end{aligned}$$

• Calculons le conjugué de $u$ :

$$\begin{aligned} \bar u&=\overline{2^{2\,019}\,\text i} \\ &=-2^{2\,019}\,\text i \end{aligned}$$

Finalement, nous obtenons :

$$\begin{aligned} u^{2\,019}+\bar u^{2\,019} &= 2^{2\,019}\,\text i - 2^{2\,019}\,\text i \\ &=0 \end{aligned}$$

• L’affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3 : « Pour tout entier naturel $n \geq 1$, la fonction $f_n$ admet un maximum »

• $f_n$ est dérivable sur $[0\ ;\,+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur $[0\ ;\,+\infty[$. Pour tout $x\in [0\ ;\,+\infty[$ :

$$\begin{aligned} f^{\prime}_n(x)&=\text{e}^{-nx+1}-n\text{e}^{-nx+1} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par dérivée d’un produit]}}} \\ &=\text{e}^{-nx+1}(1-nx) \end{aligned}$$

• Étudions le signe de $f^{\prime}_n$ sur $[0\ ;\,+\infty[$.

$$\begin{aligned} f^{\prime}_n(x)=0 &\Leftrightarrow 1-nx=0 \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\exp$ est strictement positive]}}} \\ &\Leftrightarrow x=\dfrac 1n \\ \\ f^{\prime}_n(x) < 0 &\Leftrightarrow 1-nx < 0 \\ &\Leftrightarrow x > \dfrac 1n \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $n > 0$]}}}\\ \\ f^{\prime}_n(x) > 0 &\Leftrightarrow 1-nx > 0 \\ &\Leftrightarrow x < \dfrac 1n \end{aligned}$$

$f^{\prime}_n$ s’annule en $x=\frac1n$ et change de signe :

• elle est strictement positive sur $\left[0\ ;\,\frac 1n\right[$ ;
• elle est strictement négative sur $\left]\frac 1n\ ;\,+\infty\right[$.

Sur $[0\ ;\,+\infty[$, elle admet donc un maximum, égal à $f\left(\frac 1n\right)=\frac 1n$, avec $n\geq1$.

• L’affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4 : « La courbe $\mathcal C$ admet une asymptote en $+\infty$ »

Pour tout réel $x$, nous avons :

$$\begin{aligned} -1\leq\cos{(x)}\leq1 &\Leftrightarrow -\text{e}^{-x}\leq\cos{(x)} \text{e}^{-x}\leq\text{e}^{-x} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\exp$ est strictement positive]}}} \\ &\Leftrightarrow -\text{e}^{-x}\leq f(x)\leq\text{e}^{-x} \end{aligned}$$

Nous connaissons la limite des deux fonctions qui « encadrent » $f$ :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to +\infty} -\text{e}^{-x} &= \lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} \\ &=0 \end{aligned}$$

En appliquant le théorème des gendarmes, nous obtenons :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$$

$\mathcal C$ admet donc une asymptote en $+\infty$, qui est la droite d’équation $y=0$.

• L’affirmation 4 est vraie.

Affirmation 5 : « $15\ln{(2)}\leq \ln{(A)}\leq 16\ln{(2)}$ »

$I$ contient $15$ en fin d’exécution de l’algorithme.
Nous en déduisons donc :

$$\begin{aligned} 2^{14}\leq A < 2^{15} &\Leftrightarrow \ln\left(2^{14}\right) \leq \ln{(A)} < \ln \left(2^{15}\right) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln$ est strictement croissante]}}} \\ &\Leftrightarrow 14\ln{(2)}\leq \ln{(A)} < 15\ln{(2)} \end{aligned}$$

• L’affirmation 5 est fausse.

Exercice 4 : spécialité

1. Comme : $6\times(-4) -5\times(-5) = 1$, $A$ appartient à $S$.

2. On doit obtenir : $ad - 6 = 1$, soit $ad = 7$, donc, en nombres entiers, on a : $(1\ ;\,7)$ ou $(-1\ ;\,-7)$ ou $(7\ ;\,1)$ ou $(-7\ ;\,-1)$, soit quatre solutions.

3.a. Équation diophantienne. On trouve :

$\begin{cases} x = 1 + 2k \\ y = 2 + 5k \end{cases} \ \ k \text{ entier}$

b. Comme on veut : $5a -2b = 1$, on retrouve l’équation précédente qui a une infinité de solutions.

1. Relation de Bézout.

2.a. $AB = I$.
b. $A$ est inversible d’inverse $B$ (par définition).
c. Si on calcule la formule demandée pour $B$, on a $da - bc$ qui vaut $ad -bc$, donc $1$, car $A$ appartient à $S$.

3.a. Pour obtenir $\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$, il suffit de calculer le produit :

$$A^{-1}\begin{pmatrix}x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}$$

b. $D$, $\text{PGCD}$ de $x$ et $y$, divise $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ (comme combinaisons de $x$ et de $y$).
Donc $D^{\prime} \leq D$ car $D^{\prime}$ est le $\text{PGCD}$ (donc le plus petit diviseur) de $x^{\prime}$ et de $y^{\prime}$.

De même, $D^{\prime}$, $\text{PGCD}$ de $x^{\prime}$ et de $y^{\prime}$, divise $x$ et $y$ (comme combinaisons de $x^{\prime}$ et de $y^{\prime}$).
Donc $D \leq D^{\prime}$.

• Ainsi $D = D^{\prime}$.

4. Ces suites sont engendrées par une matrice de $S$, donc on cherche le $\text{PGCD}$ de $2\,019$ et $673$, qui vaut $673$.