Calcul matriciel

Les matrices

Définition : matrice

Une matrice de format ou dimension $(n\ ; p)$ est un tableau rectangulaire de nombres comportant $n$ lignes et $p$ colonnes. Ces nombres sont appelés les coefficients ou les termes de la matrice.

Le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ est noté $a_{ij}$.

Le premier indice est toujours le numéro de la ligne et le deuxième celui de la colonne.

Définition : égalité de deux matrices

Deux matrices sont considérées égales si elles ont le même format et si elles ont les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.

Définitions : opérations sur les matrices

• On appelle somme de deux matrices de même format la matrice obtenue en additionnant les coefficients de même emplacement.
• On appelle produit d’une matrice par un nombre réel la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients par ce nombre.
• On appelle opposé de $\text M$ la matrice $(-1)\text M$, notée $-\text M$, et on note $\text A-\text B$ la matrice $\text A+(-\text B)$.
• Le produit de la matrice ligne $\text A=\begin{pmatrix}a_1&a_2& …& a_p\end{pmatrix}$ par la matrice colonne $\text B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\⋮\\b_p\end{pmatrix}$ est le nombre $\text{AB}=a_1b_1+a_2b_2+…+a_pb_p$.

Règles de calculs

Addition :

Il n’y a pas d’ordre dans l’addition de matrices donc $A+B=B+A$ et

$\begin{aligned}A+(B+C)&=(A+B)+C\\&=A+B+C\end{aligned}$

Multiplication de matrices par un réel :

• $0×\text M=\text 0$ avec $\text 0$ la matrice nulle
• $1×\text M=\text M$
• Si $\text M$ et $\text M'$ sont deux matrices de même forme et $∝$ et $β$ sont deux nombres alors :

$(∝+β)\text M=∝\text M+β\text M$ et $∝(\text M+\text M')=∝\text M+∝\text M'$

Multiplication de matrices :

• La multiplication de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonne de la première matrice est égale au nombre de ligne de la deuxième matrice. En schématisant que si les matrices sont de la forme $(n\ ;p)×(p\ ;q)$
• Le produit d’une matrice $\text A=(a_{ij})$ de format $(n\ ;\ p)$ par une matrice $\text B=(b_{ij})$ de format $(p\ ;\ q)$ est la matrice, notée $\text {AB}$, de format $(n\ ;\ q)$ dont le coefficient $c_{ij}$ est le produit de la matrice ligne $i$ de $\text A$ par la matrice colonne $j$ de $\text B$ : $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{ip}b_{pj}$
• $\text {A, B et C}$ sont des matrices dont les formats autorisent les calculs indiqués.

$\begin{aligned} \text A(\text {BC}) &= (\text {AB})\ \text C = \text{ABC}\\ \text A(\text B+\text C) &= \text {AB}+\text {AC}\\ (\text A+\text B)\text C &= \text {AC}+\text {BC}\\ (k\text A)\text B&=k(\text {AB})=\text A(k\text B)\text{ avec }k\text{ un nombre}\end{aligned}$

Matrices carrées

Définition : matrice carrée

$D$ est un entier naturel non nul.

On appelle matrice carrée d’ordre $d$ toute matrice de format $(d\ ; d)$.

On appelle matrice unité d’ordre d la matrice $I$, carrée d’ordre $d$, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à $1$.

Théorèmes : matrice unité

• Pour toute matrice $\text M$ carrée d’ordre $d$, $\text{IM}=\text{MI} =\text M$
• Pout toute matrice colonne $\text C$ de format $(d\ ; 1)$, $\text{IC} =\text C$
• Pour toute matrice ligne $\text L$ de format $(1\ ;\ d)$, $\text{LI} =\text L$

Propriété : puissance d’une matrice carrée

$n$ est un entier naturel non nul et $\text A$ est une matrice carrée. La $n$-ième puissance de la matrice $\text A$, notée $\text A_n$, est la matrice définie par $\text A^n=\underbrace{\text A\ \text A…\text A}_{n\text{ fois}}$. Par convention, $A^0=\text I$.

Théorème : puissance d’une matrice carrée

Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tous nombres $a$ et $b$, $\begin{pmatrix} a&0\\0&b \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix} a^n&0\\0&b^n \end{pmatrix}$

Propriétés : inverse d’une matrice carrée

• $\text A$ est une matrice carrée d’ordre $d$. On dit qu’une matrice $\text B$, carrée d’ordre $d$, est inverse de $\text A$ si elle vérifie $\text{AB} =\text I$ et $\text{BA} =\text{ I}$.

• Si la matrice carrée $\text A$ admet une matrice inverse, celle-ci est unique. On la note $\text A^{-1}$

Propriété : trouver une matrice inverse

$\text A =\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ est une matrice carrée d’ordre $2$.

Si $ad - bc ≠ 0$, $\text A$ admet une inverse $\text A^{-1}= \dfrac{1}{ad-bc}×\begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}$

Si $ad - bc =0$, $\text A$ n’a pas d’inverse.​

Écriture matricielle de systèmes linéaires

Théorème : écriture matricielle de systèmes linéaires

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme :

$\mathscr S \bigg \lbrace \begin{aligned} ax+by&=e\\ cx+dy&=f \end{aligned} \bigg \rbrace$ où $a,\ b,\ c,\ d,\ e\text{ et }f$ sont des nombres.

Les solutions de ce système sont les couples $(x\ ;\ y)$ vérifiant simultanément ces deux équations.

En considérant les matrices $\text A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ et $\text B=\begin{pmatrix} e\\f \end{pmatrix}$, le système $\mathscr S$ s’écrit $\text AX =\text B$.

Dans cette écriture matricielle, $\text A$ est la matrice associée au système $\mathscr S$.

Les deux équations linéaires se sont transformées en une seule équation matricielle, d’inconnue $X$.

Théorème :

Si $\text A$ est inversible, alors $\mathscr S$ admet un unique couple solution défini par $X =\text A^{-1}\text B$.

Propriété (admise) :

Si la matrice associée au système n’est pas inversible, alors :

• soit l’ensemble des solutions est vide
• soit il contient une infinité de solutions.