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Calcul matriciel
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Les matrices
Définition : matrice
Une matrice de format ou dimension est un tableau rectangulaire de nombres comportant lignes et colonnes. Ces nombres sont appelés les coefficients ou les termes de la matrice.
Le coefficient de la ligne et de la colonne est noté .
Le premier indice est toujours le numéro de la ligne et le deuxième celui de la colonne.
Définition : égalité de deux matrices
Deux matrices sont considérées égales si elles ont le même format et si elles ont les mêmes coefficients aux mêmes emplacements.
Définitions : opérations sur les matrices
Règles de calculs
Addition :
Il n’y a pas d’ordre dans l’addition de matrices donc et
Multiplication de matrices par un réel :
et
Multiplication de matrices :
Matrices carrées
Définition : matrice carrée
est un entier naturel non nul.
On appelle matrice carrée d’ordre toute matrice de format .
On appelle matrice unité d’ordre d la matrice , carrée d’ordre , dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à .
Théorèmes : matrice unité
Propriété : puissance d’une matrice carrée
est un entier naturel non nul et est une matrice carrée. La -ième puissance de la matrice , notée , est la matrice définie par . Par convention, .
Théorème : puissance d’une matrice carrée
Pour tout entier naturel non nul et pour tous nombres et ,
Propriétés : inverse d’une matrice carrée
est une matrice carrée d’ordre . On dit qu’une matrice , carrée d’ordre , est inverse de si elle vérifie et .
Si la matrice carrée admet une matrice inverse, celle-ci est unique. On la note
Propriété : trouver une matrice inverse
est une matrice carrée d’ordre .
Si , admet une inverse
Si , n’a pas d’inverse.
Écriture matricielle de systèmes linéaires
Théorème : écriture matricielle de systèmes linéaires
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues et est de la forme :
où sont des nombres.
Les solutions de ce système sont les couples vérifiant simultanément ces deux équations.
En considérant les matrices , et , le système s’écrit .
Dans cette écriture matricielle, est la matrice associée au système .
Les deux équations linéaires se sont transformées en une seule équation matricielle, d’inconnue .
Théorème :
Si est inversible, alors admet un unique couple solution défini par .
Propriété (admise) :
Si la matrice associée au système n’est pas inversible, alors :