Cours : Connaître et utiliser les triangles (suite)

Rappel

Quand on cherche la distance entre un point et une droite (ou un segment), on prend toujours le chemin le plus court. Pour cela :

• on trace la perpendiculaire à la droite (ou au segment) passant par le point ;
• on mesure la distance entre le point et l’intersection de la droite (ou du segment) et de la perpendiculaire.

Les médiatrices

Définition

Médiatrice d’un segment :

La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.

On peut tracer la médiatrice de tout segment. Par conséquent, un triangle possède trois médiatrices.

Méthodologie pour tracer une médiatrice

• On prend un écartement de compas, que l’on conservera ensuite, ni trop grand (pour que la figure ne soit pas trop grande) ni trop petit (pour que les arcs de cercle que l’on tracera se croisent).
• Il faut que cet écartement soit strictement supérieur à la moitié de la longueur du segment (on peut choisir de prendre la longueur du segment, s’il n’est pas trop long).
• On place la pointe du compas sur une extrémité du segment et on trace un arc de cercle au-dessus et au-dessous du segment.
• On fait de même à l’autre extrémité du segment, sans changer l’écartement du compas.
• Les arcs de cercles se croisent une fois au dessus du segment et une fois au dessous, cela détermine deux points distincts.
• On tracer la droite joignant ces deux points.
• Cette droite est la médiatrice du segment.

Activité

On trace la médiatrice d’un segment $[AB]$. On place sur cette médiatrice un point $M$, puis on mesure les distances $AM$ et $BM$ : elles sont égales.

• On constate que la distance entre un point situé sur la médiatrice d’un segment et chacune des extrémités de celui-ci est la même.

On en déduit la propriété suivante.

Propriété

Un point situé sur la médiatrice d’un segment se trouve à équidistance de ses extrémités.

On trace à présent un triangle et toutes ses médiatrices.

• On constate que toutes les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point.
  On dit qu’elles sont concourantes.

On note $O$ le point d’intersection des médiatrices du triangle.
On trace ensuite un cercle de centre $O$ et de rayon $[OA]$ :

• On constate que le cercle tracé passe par les trois sommets du triangle.
  Il est appelé cercle circonscrit au triangle.

$[OA]$, $[OB]$ et $[OC]$ sont trois rayons du cercle de centre $O$, donc $OA=OB=OC$.

Propriété

Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois sommets. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Les hauteurs d’un triangle

Définition

Hauteur d’un triangle  :

La hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Pour tracer une hauteur, on place l’équerre à la perpendiculaire de la base et on trace la droite reliant la base au sommet opposé.

Sur la figure ci-dessus, on a tracé la hauteur issue de $A$.

Activité

On trace maintenant les trois hauteurs du triangle $ABC$.

• On constate que les hauteurs du triangle se coupent en un même point, que l’on note $H$.
  $H$ est appelé orthocentre du triangle $ABC$.

Propriété

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.

Approfondissements

Les médianes d’un triangle

Définition

Médiane d’un triangle :

La médiane d’un triangle est la droite joignant un de ses sommets au milieu du côté opposé à ce sommet.

Dans un triangle $ABC$, pour tracer la médiane issue de $C$, on marque le milieu du côté $[AB]$ et on trace la droite le reliant au sommet $C$.

Activité

On trace maintenant les deux autres médianes, celle issue de $A$, qui passe par le milieu de $[BC]$, et celle issue de $B$, qui passe par le milieu de $[AC]$.

• On constate qu’elles se coupent toutes en un même point, que l’on note $G$.
  $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.

Propriété

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.

Les bissectrices

Définition

Bissectrice d’un angle :

La bissectrice d’un angle est une droite qui le partage en deux angles de même mesure.

Un triangle possède donc trois bissectrices.

Activité

• On place un point $D$ sur la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$, puis on trace la perpendiculaire à $[OB]$ passant par $D$, elle coupe ce segment en $C$.
• On trace ensuite la perpendiculaire à $[OA]$ passant par $D$, elle coupe ce segment en $F$.
• On mesure les distances $DC$ et $DF$.
• On constate qu’elles sont égales.

On en déduit la propriété suivante.

Propriété

Les points situés sur la bissectrice d’un angle sont à équidistance des deux segments formant cet angle.

On peut tracer, dans un triangle, la bissectrice de chacun de ses trois angles.

Img-09 Bissectrices des angles d’un triangle

Propriété

Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes en un point.

Le point d’intersection des trois bissectrices est le centre d’un cercle dit inscrit dans le triangle : il est entièrement à l’intérieur du triangle et il « touche » en un seul point chacun de ses côtés.

Méthodologie pour tracer une bissectrice

Soit un angle $\widehat{AOB}$.

• On place un point $N$ sur $[OB]$.
• On prend l’écartement $ON$ sur un compas. On place sa pointe sur $O$ et on trace un arc de cercle qui coupe $[OA]$ en un point $M$.
• On place maintenant la pointe du compas sur $M$ et on trace un arc de cercle à l’intérieur de l’angle.
• On fait de même en plaçant la pointe du compas sur le point $N$, sans changer l’écartement du compas.
• L’intersection de ces deux arcs de cercle représente le point $E$.
• On trace la droite passant par $O$ et $E$.
• Cette droite est la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$.