Cours : Les différents types de quadrilatères

Définition du quadrilatère

Définition

Quadrilatère :

Un quadrilatère est un polygone particulier possédant quatre côtés et donc quatre sommets.

Rappel

Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par des segments.

Propriété

Dans un quadrilatère, la somme des angles vaut $360\degree$.

Exemple

De la théorie à la pratique

Si on essaye de tracer un quadrilatère tel que :

• $\widehat{ABC}=30\degree$
• $\widehat{BCD}=60\degree$
• $\widehat{BAD}=40\degree$
• $\widehat{ADC}=110\degree$

On constate qu’il est impossible de le tracer. En effet, si on calcule la somme des angles, elle vaut $240\degree$ et non $360\degree$. Pour pouvoir construire un quadrilatère, la somme de ses angles doit être égale à $360\degree$.

À retenir

La diagonale d’un quadrilatère est le segment joignant deux angles opposés non successif.

Voyons maintenant les différents types de quadrilatères particuliers.

Les différents types de quadrilatères

Le parallélogramme

Définition

Parallélogramme :

Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède des côtés opposés parallèles et égaux deux à deux. Cela signifie que les côtés qui sont en face l’un de l’autre sont parallèles et de même mesure.

Méthodologie pour tracer un parallélogramme

Pour tracer un parallélogramme, on a besoin de la mesure de deux côtés consécutifs ainsi que de la mesure d’un angle.

Soit un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB = 3\ \text{cm}$ ; $BC = 6\ \text{cm}$ et $\widehat{ABC}= 45\degree$.
On a donc $AB = CD$ et $AD = BC$ car ce sont des côtés opposés du parallélogramme.
Ainsi $CD = 3\ \text{cm}$ et $AD = 6\ \text{cm}$.

• On trace un segment $[AB]$ mesurant $3 \text{ cm}$. Puis, on trace l’angle $\widehat{ABC}$ de $45\degree$ et on place le point $C$ tel que $BC = 6\ \text{cm}$.
• On écarte son compas de $3 \text{ cm}$ (soit la longueur du segment $[CD]$), on place la pointe du compas sur $C$ et on trace un arc de cercle. On écarte ensuite le compas de $6 \text{ cm}$ (soit la longueur du segment $[AD]$), on place la pointe du compas sur $A$ et on trace un arc de cercle. On place le point $D$ à l’intersection des deux arcs de cercle et on relie le point $D$ aux points $A$ et $C$.
• On a tracé un parallélogramme.

À retenir

La longueur d’un parallélogramme est son côté le plus long.
La largeur d’un parallélogramme est son côté le plus court.

Le rectangle

Définition

Rectangle :

Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés consécutifs sont perpendiculaires. Il possède également des côtés opposés parallèles et égaux deux à deux.

Méthodologie pour tracer un rectangle

Pour tracer un rectangle, on a besoin de la mesure de deux côtés consécutifs.

Soit un rectangle $ABCD$ tel que $AB = 5\text{ cm}$ et $BC = 8\text{ cm}$.
On a donc $AB = CD$ et $AD = BC$ car ce sont les côtés opposés du rectangle.
Ainsi, $CD = 5\text{ cm}$ et $AD = 8\text{ cm}$.

• On trace un segment $[AB]$ mesurant $5\text{ cm}$ et on trace la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par $B$. On place le point $C$ sur cette droite tel que $BC = 8\text{ cm}$.
• On écarte le compas de $5\text{ cm}$ (soit la longueur du segment $[CD]$), on place la pointe du compas sur $C$ et on trace un arc de cercle ;
• On écarte son compas de $8\text{ cm}$ (soit la longueur du segment $[AD]$), on place la pointe du compas sur $A$ et on trace un arc de cercle.
• Le point $D$ se situe à l’intersection des deux arcs de cercle. On relie le point $D$ aux points $A$ et $C$. On obtient un rectangle $ABCD$.

Le carré

Définition

Carré :

Un carré est un quadrilatère possédant quatre angles droits, quatre côtés de même mesure et dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.

Méthodologie pour tracer un carré

Pour tracer un carré, il suffit de connaître la mesure d’un côté.

En effet, le carré possédant quatre côtés de même mesure, si on connait la longueur d’un côté, on connait par conséquent la longueur des trois autres.

Soit un carré $ABCD$ de $2\text{ cm}$ de côté.

• On trace un segment $[AB]$ mesurant $2\text{ cm}$, puis la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par $B$. On place le point $C$ sur cette droite tel que $BC = 2\text{ cm}$.
• On écarte son compas de $2\text{ cm}$ (soit la longueur du segment $[CD]$), on place la pointe du compas sur $C$ et on trace un arc de cercle.
• On écarte le compas de $2\text{ cm}$ (soit la longueur du segment $[AD]$), on place la pointe du compas sur $A$ et on trace un arc de cercle.
• Le point $D$ se situe à l’intersection des deux arcs de cercle. On relie le point $D$ aux points $A$ et $C$. On a tracé le carré $ABCD$.

Le losange

Définition

Losange :

Un losange est un quadrilatère possédant quatre côtés de même mesure et ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux.

Méthodologie pour tracer un losange

Pour tracer un losange, on a besoin de la longueur d’un de ses côtés ainsi que de la mesure d’un angle.

En effet, le losange possédant quatre côtés de même mesure, si on connaît la longueur d’un côté, on connaît la longueur des trois autres.

Soit un losange $ABCD$ de $4\text{ cm}$ de côté avec $\widehat{ABC} = 30\degree$.

• On trace un segment $[AB]$ mesurant $4\text{ cm}$, puis on trace l’angle $\widehat{ABC}$ de $30\degree$. On place le point $C$ tel que $BC = 4\text{ cm}$.
• On écarte le compas de $4\text{ cm}$ (soit la longueur du segment $[CD]$), on place la pointe du compas sur $C$ et on trace un arc de cercle.
• On écarte son compas de $4\text{ cm}$ (soit la longueur du segment $[AD]$), on place la pointe du compas sur $A$ et on trace un arc de cercle.
• Le point $D$ se situe à l’intersection des deux arcs de cercle. On relie le point $D$ aux points $A$ et $C$. On a tracé le losange $ABCD$.

Le trapèze

Définition

Trapèze :

Un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles.

Attention

Les deux autres côtés ne sont pas forcément parallèles.

Méthodologie pour tracer un trapèze

Pour tracer un trapèze, on a besoin de la longueur de trois de ses côtés ainsi que de la mesure de deux de ses angles.

Soit un trapèze $ABCD$ tel que $BC = 3\text{ cm}$, $AD = 2,5\text{ cm}$, $DC = 5\text{ cm}$, $\widehat{CDA}= 70\degree$ et $\widehat{DCB}= 51\degree$.

• On trace un segment $[DC]$ mesurant $5\text{ cm}$. On trace l’angle $\widehat{CDA}$ de $70\degree$.
• On place le point $A$ tel que $AD = 2,5\text{ cm}$. On trace l’angle $\widehat{DCB}$ de $51\degree$.
• On place le point $B$ tel que $BC =3\text{ cm}$ et on trace le segment $[AB]$ qui mesurera ainsi $3\text{ cm}$.

À retenir

Les deux côtés parallèles du trapèze s’appellent les bases du trapèze. Celui ayant la plus grande mesure sera nommé la « grande base » et l’autre la « petite base ».

La hauteur du trapèze est le segment reliant les deux bases perpendiculairement. On s’intéresse principalement à sa mesure et non à sa position dans le trapèze. Ainsi, il y a plusieurs hauteurs pour un même trapèze mais elles ont toutes la même mesure puisque les bases sont parallèles.

Deux trapèzes particuliers

Définition

Trapèze rectangle :

Le trapèze rectangle est un trapèze possédant exactement deux angles droits.

Un trapèze rectangle

Définition

Trapèze isocèle :

Le trapèze isocèle est un trapèze possédant des côtés non parallèles de même longueur.

Un trapèze isocèle