Cours : Intervalle de fluctuation, prise de décision et estimation

Le pourcentage de personnes obèses en France est de 12,4 %. On cherche à déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des personnes obèses dans une entreprise de $1400$ salariés :

• au seuil de 80 % tout d’abord ;
• au seuil de 99 % ensuite.

On arrondira les bornes de l’intervalle à $10^{-3}$ près.

• Vérification des conditions :

$n = 1400 \geq 30$

$np = 1400 \times 0,124= 173,6 \geq 5$

$n(1-p) = 1400 \times(1-0,124)=1226,4 \geq 5$

• Recherche de l’intervalle de fluctuation au seuil de 80 % :

$1-\alpha = 0,80$ donc $\alpha = 0,20$

Il faut donc déterminer $u_{0,20}$ tel que $P(-u_{0,20} \leq Y \leq u_{0,20}) = 0,80$ où $Y$ suit la loi normale centrée réduite.

Or, on sait que : $P(-u_{0,20} \leq Y \leq u_{0,20}) = 2 P(Y\leq u_{0,20}) - 1$.

On a donc : $2P(Y \leq u_{0,20}) -1=0,80 \,\, \Leftrightarrow \,\, P(Y \leq u_{0,20})=0,90$.

Avec la calculatrice :

• TI : 2de $\rightarrow$ distrib $\rightarrow$ FracNormale(0,90)
• CASIO : OPTN $\rightarrow$ STAT $\rightarrow$ DIST $\rightarrow$ NORM $\rightarrow$ InvN(0,90)
• On obtient $u_{0,20} \approx 1,28$.

Finalement, on utilise la formule suivante : $\small {\left[p-u_{0,20}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u_{0,20}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]}$

$\small = \left[0,124-1,28\dfrac{\sqrt{0,124(1-0,124)}}{\sqrt{1400}};0,124+1,28\dfrac{\sqrt{0,124(1-0,124)}}{\sqrt{1400}} \right]$

$= \left[ 0,112\ ; 0,136 \right]$, en arrondissant toujours la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès.

Cela veut dire que la fréquence des gens obèses dans l’entreprise est comprise entre 11,2 % et 13,6 %, avec un risque de 20 % de se tromper.

• Recherche de l’intervalle de fluctuation au seuil de 99 % :

$1-\alpha = 0,99$ donc $\alpha = 0,01$.

Il faut donc déterminer $u_{0,01}$ tel que $P(-u_{0,01} \leq Y \leq u_{0,01}) = 0,80$ où $Y$ suit la loi normale centrée réduite.

En utilisant la même méthode, on obtient $u_{0,01} \approx 2,58$

Finalement, on utilise la formule suivante : $\small \left[p-u_{0,01}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u_{0,01}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$

$\small = \left[0,124-2,58\dfrac{\sqrt{0,124(1-0,124)}}{\sqrt{1400}};0,124+2,58\dfrac{\sqrt{0,124(1-0,124)}}{\sqrt{1400}} \right]$

$= \left[ 0,101\ ; 0,147 \right]$, en arrondissant toujours la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès.

Cela veut dire que la fréquence des gens obèses dans l’entreprise est comprise entre 10,1 % et 14,7 %, avec un risque de 1 % de se tromper.

Selon la théorie de Mendel, certaines cosses de petits pois devraient fournir des petits pois jaunes et verts dans les proportions respectives de 75 % et 25 %. On souhaite tester l’hypothèse selon laquelle la proportion des pois jaunes est $p=0,75$ en mettant en place une expérience sur 224 petits pois considérés comme un échantillon aléatoire. L’expérience a permis d’obtenir 176 pois jaunes et 48 pois verts.

• Vérification des conditions :
• $n = 224 \geq 30$
• $np = 224 \times 0,75= 168 \geq 5$
• $n(1-p) = 224 \times(1-0,75)=56 \geq 5$
• Recherche de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % :

$\small \begin{aligned}I &= \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \\ &= \left[0,75-1.96\dfrac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{224}};0,75+1,96\dfrac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{224}} \right] \\&= \left[ 0,693 \, ; 0,807 \right]\end{aligned}$

• Calcul de la fréquence d’apparition des pois jaunes dans l’échantillon :

$f = \dfrac{176}{224} \approx 0,786$

• Application de la règle de décision :

$0,786 \in \left[0,693\ ; 0,807 \right]$, on accepte donc l’hypothèse avec un risque de 5 % de se tromper.

On dispose d’une urne contenant un très grand nombre de boules rouges et bleues. On ignore quelle est la proportion $p$ de boules rouges dans l’urne et rien ne permet de faire une hypothèse sur la valeur de $p$.

On procède donc à une estimation de $p$ en réalisant un tirage de $100$ boules. Lors de ce tirage, on obtient $59$ boules rouges et $41$ bleues.

• Calcul de la fréquence d’apparition du rouge :

$f = \dfrac{59}{100} = 0,59$.

• Recherche de l’intervalle de confiance :

$\begin{aligned} I &= \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}};f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] \\ &= \left[0,59 - \dfrac{1}{\sqrt{100}};0,59 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right] \\ &= \left[ 0,49\ ;0,69 \right]\end{aligned}$

$ \left[ 0,49\ ;0,69 \right]$ est donc un intervalle de confiance à $0,95$ de la proportion de boules rouges dans l’urne.

• Ceci signifie qu’il y a 95 % de chances pour que la proportion de boules rouges dans l’urne appartienne à cet intervalle.

Précision d’une estimation et taille de l’échantillon

À l’occasion d’une élection, on réalise un sondage sur un échantillon de $n$ personnes afin de connaître le pourcentage d’électeurs qui souhaitent voter pour un candidat donné. On suppose la population suffisamment importante pour que ce sondage soit assimilé à un tirage avec remise.

Le but est de trouver la taille minimale de l’échantillon afin que l’intervalle de confiance de cette proportion donne celle-ci à 1 % près avec une probabilité au moins égale à 0,95 %.

On sait que l’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau 95 % est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ et pour avoir une précision à 1 % près, soit à $0,01$ près, on doit avoir un intervalle de confiance d’amplitude $0,02$.

On cherche donc $n$ tel que :

$\begin{aligned}&\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,02 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{n} \geq\dfrac{2}{0,02} \\ &\Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 100\\ &\Leftrightarrow n \geq 10 \,000\end{aligned}$

• On doit donc interroger au moins $10 000$ personnes.