Étudier l’effet d’un agrandissement et d'une réduction

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Introduction :

L'objectif ici est d'étudier l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les grandeurs géométriques.
Nous commencerons ce cours par un rappel sur les grandeurs des figures planes et des solides. Nous définirons ensuite les termes agrandissement et réduction puis énumèrerons les propriétés relatives aux grandeurs et mesures. Nous terminerons par des applications sur les pyramides et les cônes.

Rappel des grandeurs

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires)

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires) mathématiques troisième

Grandeurs des solides (aires et volumes)

Grandeurs des solides mathématiques troisième

Agrandissement / Réduction

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Définition

Agrandissement et réduction :

Agrandir ou réduire une figure ou un solide, c'est multiplier toutes ses dimensions par un même nombre $k$.

  • Si $k$ est supérieur à $1$, on parle d'agrandissement.
  • Si $k$ est compris entre $0$ et $1$, on parle de réduction.
  • $k$ est appelé rapport ou coefficient d'agrandissement/de réduction.
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Exemple

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires) mathématiques troisième

La figure $F2$ est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure $F1$ par $2$.

  • $F2$ est un agrandissement de $F1$ de rapport $2$.

De la même manière, on peut dire que la figure $F1$ est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure $F2$ par $1/2$.

  • $F1$ est une réduction de $F2$ de rapport $1/2$.
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Propriété

Un agrandissement/une réduction conserve les angles.

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Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, $F2$ est un agrandissement de $F1$ donc on peut écrire :

$\widehat {ABC}=\widehat {HIJ}$

$(EF)//(AG)$ donc $(LM)//(HN)$

$(DE)\bot (EF)$ donc $(KL) \bot (LM)$

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Propriété

Dans un agrandissement/une réduction de rapport $k$ :

  • le périmètre est multiplié par $k$ ;
  • l'aire est multipliée par $k^2$ ;
  • le volume est multiplié par $k^3$.
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Exemple

  • Dans l'exemple ci-dessous, $F2$ est un agrandissement de $F1$ de rapport $2$.

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires) mathématiques troisième

Toutes les longueurs sont multipliées par $2$. Le périmètre est donc lui-même multiplié par $2$.

$1$ carreau représentant $1\ \text{cm}^2$, l'aire de $F1$ est égale à $6\ \text{cm}^2$.

On peut facilement vérifier que l'aire de $F2$ est bien égale à $6 \times 2^2$ soit $24\ \text{cm}^2$.

  • Considérons les pavés droits ci-dessous et calculons le volume de $PV2$.

Étudier l'effet d'un agrandissement et d'une réduction mathématiques troisième

Le pavé droit $PV2$ est un agrandissement du pavé droit $PV1$ de rapport $4$.

  • On peut donc écrire $\text{Volume}_{PV2}=\text{Volume}_{PV1} \times 4^3=\text{Volume}_{PV1} \times 64$
  • Or le volume du pavé droit $PV1$ est $\text{Volume}_{PV1}= 2 \times 1 \times 1=2\ \text{cm}^3$
  • Donc $\text{Volume}_{PV2}=2 \times 64= 128\ \text{cm}^3$

Application à la section d'une pyramide ou d'un cône

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Propriété

La section d'une pyramide (ou d'un cône) par un plan parallèle à la base forme une pyramide (ou un cône) qui est une réduction de la pyramide (ou du cône) initial.

Section d'une pyramide

Soit une pyramide $EABCD$. Soit un plan $P$ parallèle à la base de la pyramide et qui coupe cette pyramide en $FGHI$.

  • Alors la pyramide $EFGHI$ est une réduction de la pyramide $EABCD$.

section d'une pyramide mathématiques troisième

Section d'un cône

Soit un cône $SOA$. Soit un plan $P$ parallèle à la base du cône et qui coupe ce cône en un cercle de centre $O'$ et de rayon $O'B$.

  • Alors le cône $SO'B$ est une réduction du cône $SOA$.

section d'un cône mathématiques troisième

Application directe

Un récipient peut être modélisé par un cône inversé dont les dimensions sont les suivantes : diamètre au plus haut $12\ \text{cm}$ et hauteur $9\ \text{cm}$.

On remplit ce récipient aux $\frac23$ de sa hauteur. On cherche à connaître la quantité de liquide contenue dans le récipient.

Le problème ci-dessus peut être représenté de la manière suivante avec :

  • rayon du récipient $OM = 6\ \text{cm}$
  • hauteur du récipient $OS = 9\ \text{cm}$
  • hauteur du liquide $O'S =\dfrac{2}{3} \times OS = \dfrac{2}{3} \times 9 = 6\ \text{cm}$

Alt texte

D'après la propriété sur la section d'un cône par un plan parallèle à la base, on peut affirmer que le cône $SO'M'$ est une réduction du cône $SOM$. Sachant que $O'S =\dfrac{2}{3} \times OS$, le rapport de cette réduction est $\dfrac{2}{3}$.

On peut donc utiliser la propriété $\text{Volume}_{C2}=k^3 \times \text{Volume}_{C1}$ avec $C2 = SO'M'$, $C1 = SOM$ et $k = \dfrac{2}{3}$.

  • On obtient $\text{Volume}_{SO'M}=\big(\dfrac{2}{3}\big)^3 \times \text{Volume}_{SOM}=\dfrac{8}{27}\times \text{Volume}_{SOM}$
  • La formule du volume d'un cône est $V=\dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$
  • Dans notre problème $r = OM = 6\ \text{cm}$ et $h = OS = 9\ \text{cm}$
  • D'où $\text{Volume}_{SOM} = \dfrac{1}{3} \pi\times 6^2\times 9=108\pi$ soit environ $339,29 \text{cm}^3$
  • D'où $\text{Volume}_{SO'M'}=\dfrac{8}{27} \times 108 \pi=32 \pi$ soit environ $100,53\ \text{cm}^3$

Analyse rapide du résultat :
Bien que le récipient soit rempli aux $\dfrac{2}{3}$, le volume du liquide n'atteint pas le $\dfrac{1}{3}$ de celui du récipient.
En effet, les longueurs sont multipliées par $\dfrac{2}{3}$ (environ $0,667$) mais les volumes sont multipliés par $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}$ soit environ $0, 296$ ce qui est inférieur au $\dfrac{1}{3}$ (environ $0,333$).

Conclusion :

De ce cours, il est important de comprendre les effets d'un agrandissement-réduction sur les grandeurs des figures planes et solides : périmètres, aires et volumes.
Il est également intéressant de savoir appliquer directement les propriétés relatives à ces grandeurs sur des solides tels que les pyramides et les cônes.