Fonctions de référence
Rappels sur les fonctions de référence déjà étudiées
Rappels sur les fonctions de référence déjà étudiées
Les fonctions affines
Les fonctions affines
Définition :
$a$ et $b$ désignent deux nombres réels fixés. Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $R$ par la relation $f(x)=ax+b$.
Propriété :
Soit la fonction affine $f$ définie sur $R$ par $f(x)=ax+b$.
La représentation graphique de $f$ dans un repère est la droite d’équation $y=ax+b,$ qui passe par le point de coordonnées $(0 ; b)$ :
- $a$ est le coefficient directeur de la droite $(d)$ ;
- $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(d)$.
Propriété :
Le sens de variation d’une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur $a$.
- Si $a > 0$, la fonction est croissante, la droite « monte ».
- Si $a=0$, la fonction est constante, la droite est horizontale.
- Si $a < 0$, la fonction est décroissante, la droite « descend ».
La fonction carré
La fonction carré
Définition :
La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x)=x^2$
Propriétés :
- La courbe représentative de la fonction carré s’appelle une parabole.
- Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- L’origine du repère est le sommet de cette parabole.
La fonction carré est décroissante sur l’intervalle $]-\infty ;0]$ puis croissante sur $[0\ ; +\infty[$
La fonction inverse
La fonction inverse
Définition :
La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $R$ \ {$0$} par $f(x)=\dfrac{1}{x}$
Propriété :
- La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole.
- Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l’origine.
- La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe jamais l’axe des abscisses.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$
Nouvelles fonctions de référence
Nouvelles fonctions de référence
Fonction racine carrée
Fonction racine carrée
Définition :
La fonction racine carrée est la fonction f définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=x$.
Propriétés :
Pour tout $x$ $\epsilon$ $\mathbb{R}^+$, on a :
- $\sqrt x\geq0$
- $(\sqrt x)^2=x$
- $\sqrt{x^2}=x$
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ ;
Les racines carrées de deux nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces deux nombres.
Si $a$ et $b$ sont deux réels positifs, alors $a < b$ équivaut à $\sqrt {a} < \sqrt {b}$
Positions relatives de trois courbes
Positions relatives de trois courbes
Théorème :
Positions relatives de trois courbes sur $[0 ; +\infty[$
- Pour tout $x$ $\epsilon$ $]0 ;1[$ on a $x^2 < x < \sqrt{x}$
- Pour $x=0$ et $x=1$, on a $x^2=x=\sqrt{x}$
- Pour tout $x$ $\epsilon$ $]1 ; +\infty[$ on a $\sqrt{x} < x < x^2$
Fonction valeur absolue
Fonction valeur absolue
Définition :
- La valeur absolue d’un nombre réel positif est le nombre lui-même.
- La valeur absolue d’un nombre négatif est l’opposé de ce nombre.
Autrement dit, la valeur absolue du nombre $x$, notée $|x|$, est :
- $|x|=-x$ si $x \leq 0$
- $|x|=x$ si $x\geq0$
Propriétés :
Pour tout réel $x$, on a :
- $|x|\geq0$
- $|x|=|-x|$
- $x^2=|x|$
La fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[.$
Tableau de variation :
La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites. Dans un repère orthogonal, cette courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Fonctions associées $u+\lambda$ ; $\lambda u$ ; $\sqrt u$ ; $\dfrac{1}{u}$
Fonctions associées $u+\lambda$ ; $\lambda u$ ; $\sqrt u$ ; $\dfrac{1}{u}$
La fonction $u+\lambda$
La fonction $u+\lambda$
Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$ et soit $\lambda$ un réel.
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=u(x)+\lambda$ a le même sens de variation que $u$ sur $I$.
Le plan est muni d’un repère orthogonal $(O\ ; i\ ; j)$ La courbe représentative de la fonction $u+\lambda$ est l’image de la courbe représentative de la fonction $u$ par la translation de vecteur $\lambda\vec\jmath$
La fonction $\lambda u$
La fonction $\lambda u$
Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$ et soit $\lambda$ un réel.
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\lambda u(x)$ a le même sens de variation que $u$ si $\lambda > 0$ et le sens de variation contraire à celui de $u$ si $\lambda < 0$
La fonction $\sqrt u$
La fonction $\sqrt u$
Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$.
Si, pour tout $x$ de $I$, $u(x)\geq 0$, alors la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\sqrt u (x)$ a le même sens de variation que $u$ sur $I$.
La fonction $\dfrac{1}{u}$
La fonction $\dfrac{1}{u}$
Soit $u$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$.
La fonction $f$ telle que $f(x)=\frac{1}{u(x)}$ est définie en tout $x$ de $I$ tel que $u(x)\neq0$.
Dans ce cas, la fonction $\dfrac{1}{u}$ a le sens de variation contraire à celui de $u$ sur $I$.