Formes trigonométriques et exponentielles

Introduction :

Dans les cours précédents nous avons étudié les nombres complexes sous la forme $z=a+ib$. Nous allons maintenant étudier deux nouvelles formes : la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

Rappel

Cercle trigonométrique :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.

Si $M$ est un point du cercle trigonométrique et si $\alpha$ est un nombre réel tel qu’une mesure de l’angle $(\vec{i},\vec{OM})$ soit égale à $\alpha$ radians, alors :

le cosinus de l’angle $\alpha$ est l’abcisse du point $M$ et se note $\text{cos}{(\alpha)}$ ;
le sinus de l’angle $\alpha$ est l’ordonnée du point $M$ et se note $\text{sin}{(\alpha)}$.

Cercle trigonométrique, sinus et cosinus - maths - tle

Quelques valeurs particulières des cosinus et sinus sont à retenir :

Valeurs particulières des sinus et cosinus - maths - tle

Forme trigonométrique

Argument d’un nombre complexe

Rappel

Le module d’un nombre complexe $z=a+ib$ est le nombre réel $r=\sqrt{(a^2+b^2)}$.

Définition

Argument d’un nombre complexe :

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul et $M$ le point d’affixe $z$.

Un argument de $z$ noté $\theta=\arg{(z)}$ est une mesure de l’angle orienté $(\vec{u},\vec{OM})$ en radians.

Argument d’un nombre complexe - maths - tle

Un nombre complexe $z$ possède ainsi une infinité d’arguments ; $\theta$ étant la mesure principale de l’angle, les autres étant de la forme $\theta=2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

On note $\arg{z}=\theta\ [2\pi]$.

Exemple

Si $z$ est un réel strictement positif (c’est-à-dire si $M$ est placé sur la partie positive de l’axe des abscisses) alors un argument de $z$ est égal à $0$.
Si $z$ est un réel strictement négatif (c’est-à-dire si $M$ est placé sur la partie négative de l’axe des abscisses) alors un argument de $z$ est égal à $\pi$.
Si $z$ est un imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive (c’est-à-dire si $M$ est placé sur la partie positive de l’axe des ordonnées), alors un argument de $z$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$
Si $z$ est un imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative (c’est-à-dire si $M$ est placé sur la partie négative de l’axe des ordonnées), alors un argument de $z$ est égal à $-\dfrac{\pi}{2}$

Propriété

Soit $A$, $B$ , $C$ et $D$ quatre points distincts d’affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. On a alors :

$(\vec{u},\vec{AB})=\arg{(z_B-z_A)}$

$(\vec{AB},\vec{CD})=\arg{\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)}$

Propriété

$\arg{(-z)}=-\arg{(z)} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
$\arg{\overline{z}}=-\arg{z} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
$\arg{(zz')}=\arg{(z)} +\arg{(z')}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
$\arg{(z^n)}=n\arg{(z)} +2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$
$\arg{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\arg{(z)} - \arg{(z')}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$

Écriture trigonométrique

Définition

Forme trigonométrique d’un nombre complexe :

Pour tout nombre complexe $z$ non nul, $z=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})$ avec $r=|z|$ et $\theta=\arg{(z)}$.

Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.

Exemple

Écrire sous forme trigonométrique les complexes $z=i$ et $z=-5$.

$z=i$ : $\left\lbrace \begin{aligned} |i|&=1 \\ \arg{(i)}&=\dfrac{\pi}{2}\end{aligned} \Leftrightarrow z=1\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin {\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}\right)\right.$

$z=-5$ : $\bigg\lbrace \begin{aligned} |-5|&=5 \\ \arg{(-5)}&=\pi \ \end{aligned} \Leftrightarrow z=5(\text{cos}{(\pi)}+i\text{sin}{(\pi}))$

Propriété

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

$z=a+ib=r(\text{cos}{(\theta)}+i\text{sin}{(\theta)})\Rightarrow\bigg\lbrace \begin{array}{rcr} a=r\text{cos}{(\theta)} \\ b=r\text{sin}{(\theta)} \ \end{array}$

Exemple

Soit $z=1-i\sqrt{3}$, écrire $z$ sous forme trigonométrique.

Calcul du module :

$r=|z|=\sqrt{(1^2+3)}=\sqrt{4}=2$

Calcul de l’argument :

$\left\lbrace \begin{aligned} \cos(\theta)&=\dfrac{a}{r}=\dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta)&=\dfrac{b}{r}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \ \end{aligned} \Leftrightarrow \theta=-\dfrac{\pi}{3} \right.$

Astuce

On peut s’aider d’un cercle trigonométrique.

Écriture de la forme trigonométrique :

$z=r\left(\text{cos}{\left(\theta\right)}+i\text{sin}{\left(\theta\right)}\right)=2\left(\text{cos}{\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}+i\text{sin}{\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}\right)$

Exemple

Soit $z=6\left(\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\right)$, écrire $z$ sous forme algébrique.

$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{sin}{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \end{array}\right.$ d’où $z=6\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}i $

Notation exponentielle

Définition

Notation exponentielle :

Pour tout réel $\theta$, on pose $e^{i\theta}=\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)}$.

Exemple

$e^{i0}=1$
$e^{i\frac{\pi}{2}}=i$
$e^{i\pi}=-1$
$e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i$

Ainsi tout complexe de module $r$ et d’argument $\theta$ s’écrit : $z=re^{i\theta}:$ c’est l’écriture exponentielle du complexe $z$.

Exemple

$z=6\left(\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\right)=6e\scriptsize^{i\frac{\pi}{4}}$

Propriété

$e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$
$(e^{i\theta})^n=e^{ni\theta}$
$\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
$\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$
$\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$

Formules d’Euler :

$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \text{cos}{(\theta)}&=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \\ \text{sin}{(\theta)}&=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\end{array} \right.$

Cours : Formes trigonométriques et exponentielles

Forme trigonométrique

Argument d’un nombre complexe

Écriture trigonométrique

Notation exponentielle