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Géométrie repérée

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Colinéarité de deux vecteurs

  • Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls :
  • u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel kk, coefficient de colinéarité, tel que v=ku\vec v=k\vec u ;
  • deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.
  • Par convention, 0\vec 0 (le vecteur nul) est colinéaire à tout vecteur.
  • Soit u(xy)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec v\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé du plan :
  • u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si xyyx=0xy'-yx'=0.
  • Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  • Trois points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC{\overrightarrow{AC}} sont colinéaires.

Vecteur directeur d’une droite et vecteur normal à une droite

  • Soit D\mathscr D une droite et u\vec u un vecteur non nul du plan :
  • u\vec u est un vecteur directeur de D\mathscr D s’il existe deux points AA et BB de D\mathscr D tels que u=AB\vec u={\overrightarrow{AB}}.
  • Soit u\vec u un vecteur directeur d’une droite D\mathscr D :
  • v\vec v est un vecteur directeur de la droite D\mathscr D si et seulement si v\vec v est non nul et colinéaire à u\vec u.
  • Soit D\mathscr D et D\mathscr D' deux droites de vecteurs directeurs respectivement u\vec u et v\vec v :
  • D\mathscr D et D\mathscr D' sont parallèles si et seulement si u\vec u et v\vec v sont colinéaires.
  • Soit AA un point du plan, u\vec u un vecteur non nul et D\mathscr D la droite passant par AA de vecteur directeur u\vec u :
  • un point MM appartient à la droite D\mathscr D si et seulement si les vecteurs u\vec u et AM\overrightarrow{AM} sont colinéaires.
  • Soit n\vec n un vecteur non nul et D\mathscr D une droite :
  • n\vec n est un vecteur normal à D\mathscr D si n\vec n est orthogonal à un vecteur directeur de D\mathscr D.

Équations cartésiennes

Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O ;ı ;ȷ)(O\ ;\,\vec\imath\ ;\,\vec\jmath\,).

  • Une droite D\mathscr D a pour équation cartésienne une équation de la forme : ax+by+c=0ax+by+c=0, où aa, bb et cc sont des réels, avec (a ;b)(0 ;0)(a\ ;\,b)\neq(0\ ;\,0).
  • Le vecteur u(ba)\vec u \begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite D\mathscr D.
  • Le vecteur n(ab)\vec n \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix} est un vecteur normal à cette droite.

Réciproquement, pour aa et bb deux réels, (a ;b)(0 ;0)(a\ ;\,b)\neq(0\ ;\,0), si une droite D\mathscr D a pour vecteur directeur u(ba)\vec u \begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix} ou pour vecteur normal n(ab)\vec n \begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}, alors elle admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0, où cc est un nombre réel à déterminer.

  • Un cercle C\mathscr C de centre Ω(xΩ ;yΩ)\Omega\,(x\Omega\ ;\,y\Omega) et de rayon RR a pour équation cartésienne une équation de la forme : (xxΩ)2+(yyΩ)2=R2(x-x\Omega)^2+(y-y\Omega)^2=R^2.

Réciproquement, (xxΩ)2+(yyΩ)2=R2(x-x\Omega)^2+(y-y\Omega)^2=R^2 est l’équation d’un cercle de centre Ω (xΩ ;yΩ)\Omega\ (x\Omega\ ;\,y\Omega) et de rayon RR.

  • Une parabole a pour équation cartésienne une équation de la forme : y=ax2+bx+cy = ax^2+bx+c avec a0a\neq 0, bb et cc trois nombres réels.