Cours : Grandeurs composées

On considère une boîte de conserve cylindrique. Il est possible d’étudier :

• sa hauteur : pour cela, on mesure une longueur exprimée par exemple en centimètres (cm) ;
• sa surface latérale : pour cela, on mesure une aire par exemple exprimée en centimètres carrés (cm²) ;
• son poids : pour cela, on mesure une masse par exemple exprimée en grammes (g) ;
• son volume, son diamètre…

Voici quelques exemples de grandeurs simples :

• les longueurs (que l’on peut exprimer en centimètres, mètres, kilomètres…) ;
• les masses (que l’on peut exprimer en grammes, kilogrammes, tonnes…) ;
• les durées (que l’on peut exprimer en secondes, minutes, heures…) ;
• les températures (que l’on peut exprimer en degrés Celsius, en Kelvin…) ;
• les prix (que l’on peut exprimer en euros, en dollars…).

Voici quelques exemples de grandeurs composées :

• les aires (que l’on peut exprimer en centimètres carrés, en mètres carrés…) ;
• les volumes (que l’on peut exprimer en mètres cubes, en millimètres cubes…) ;
• les vitesses (que l’on peut exprimer en kilomètres par heure, en mètres par seconde…).

Le volume est une grandeur produit puisqu’il s’obtient en multipliant une longueur par une aire.

Le volume peut s’exprimer en $\text{m}\times \text{m}^2$, c’est-à-dire en $\text{m}^3$.

L’énergie E donnée par la formule $E=P\times t$ est également une grandeur produit.

Si la puissance de l’appareil est exprimée en watts ($\text{W}$) et la durée en heures ($\text{h}$), alors l’énergie électrique est exprimée en watts-heure ($\text{Wh}$).

Par exemple, on sait que la puissance d’un four électrique en mode nettoyage est $2000\,\text{W}$ et on veut connaître l’énergie consommée par ce four pendant $2\,\text{h}$ de nettoyage.

On utilise la formule précédente  :

$\begin{aligned}E&=P\times t\\&=2000\times 2\\&=4000\;\text{Wh}\end{aligned}$

Par exemple, la densité de population d’une région est le quotient de la population de cette région par sa superficie.

Si la population est exprimée en habitants ($\text{hab}$) et la superficie en kilomètres carrés ($\text{km}^2$), alors la densité de la région est exprimée en habitants par kilomètre carré ($\text{hab/km}^2$).

La vitesse moyenne v donnée par la formule : $v=\dfrac{d}{t}$ est également une grandeur quotient.

Si la distance parcourue est exprimée en kilomètres ($\text{km}$) et la durée en heures ($\text{h}$), alors la vitesse moyenne est exprimée en kilomètres par heure ($\text{km/h}$ ou $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$).

Par exemple, on sait que Paul est parti en vacances à $230\,\text{km}$ de chez lui et qu’il a mis $2\,\text{h}$ à arriver sur son lieu de vacances. On cherche à savoir à quelle vitesse moyenne il a roulé.

On utilise la formule précédente :

$\begin{aligned}v&=\dfrac{d}{t}\\&=\dfrac{230}{2}\\&=115\;\text{km/h}\end{aligned}$

Transformons $90\,\text{km/h}$ en $\text{m/s}$ :

• on transforme $90\,\text{km}=90 000\,\text{m}$ ;
• on transforme ensuite $1\,\text{h}=3 600\,\text{s}$ ;
• puis on fait le quotient de ces deux nouvelles grandeurs :

• Ainsi, on a $90\,\text{km/h}=25\,\text{m/s}$.