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Marianne

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Le raisonnement par récurrence

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Question

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(un)(un) est la suite définie par u0=3 u0=3 et pour tout nombre entier naturel nn, on a : un+1=0,3un+1 u{n+1}=0,3un+1.
On souhaite démontrer par récurrence que la suite (un)(u_n) est décroissante et minorée par 11.
On a montré l’initialisation, comment faut-il procéder ensuite ?

On suppose que, pour un certain rang k0k\geq0, on a ukuk+11uk\geq u{k+1}\geq1 et l’on montre que uk+1uk+21u{k+1}\geq u{k+2}\geq1

On suppose que, pour un certain rang k0k\geq0, on a uk+1=0,3uk+1u{k+1}=0,3uk+1 et l’on montre que uk+2=0,3uk+1+1u{k+2}=0,3u{k+1}+1

On a montré que u0u11u0\geq u1\geq 1 donc on en conclut que, pour tout nNn\in N, on a unun+11un \geq u{n+1} \geq1