Les 3 lois de Newton
Introduction :
Ce cours est axé sur le thème du temps, et plus précisément sur les lois de Newton.
Dans un premier temps, la première loi de Newton et ses conséquences sur les référentiels sera étudiée, puis la deuxième loi de Newton et sa conséquence sur des mouvements particuliers. La dernière partie concernera la troisième loi de Newton.
Première loi de Newton
Première loi de Newton
Système isolé ou pseudo-isolé
Système isolé ou pseudo-isolé
Définition
Système :
Un système est l’objet étudié au cours d’un mouvement.
À retenir
Un système est isolé s’il n’est soumis à aucune force extérieure.
Attention
Sur Terre un tel cas est hypothétique.
À retenir
Un système est pseudo-isolé si les forces qui s’exercent sur lui se compensent.
Exemple
Par exemple, quand une personne est assise sur une chaise, c’est un système pseudo-isolé.
Le vecteur quantité de mouvement
Le vecteur quantité de mouvement
Définition
Vecteur quantité de mouvement $\vec p(t)$ :
Le vecteur quantité de mouvement $\vec p(t)$ d’un objet à un instant $t$ est le produit de sa masse $m$ par le vecteur vitesse $\vec v(t)$ de son centre d’inertie :
$\vec p(t)=m\times\vec v(t)$
L’unité de $\vec p$ est en $\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$.
La première loi de Newton ou principe d’inertie
La première loi de Newton ou principe d’inertie
À retenir
Le vecteur quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé est constant.
Réciproquement, si le vecteur quantité de mouvement d’un système est constant alors ce système est isolé ou pseudo-isolé.
Donc, un objet en équilibre reste stable car son vecteur quantité de mouvement est constamment nul. Un objet en mouvement rectiligne uniforme a aussi un vecteur quantité de mouvement constant.
- Sa masse ne pouvant pas varier, sa vitesse est constante.
Référentiel galiléen
Référentiel galiléen
À retenir
Un référentiel est galiléen si la première loi de Newton y est vérifiée.
Les référentiels héliocentrique, géocentrique et terrestres sont galiléens.
A contrario, un référentiel qui tourne, accélère ou ralentit n’est pas galiléen (on ne prendra pas en compte la rotation propre de la Terre, ou on la minimisera).
Deuxième loi de Newton
Deuxième loi de Newton
Forces et quantité de mouvement
Forces et quantité de mouvement
Définition
Résultante des forces :
La résultante des forces exercées sur un système est la somme vectorielle des forces qui s’exercent sur ce système.
D’après la première loi de Newton, si cette résultante est nulle alors son vecteur quantité de mouvement est constant. Sinon, celui-ci varie.
- $\text{Si } \sum \vec {\text F}=\vec 0\ \Leftrightarrow\ \vec p=\text{constant}$
Définition
Première loi de Newton :
Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie d'un système matériel isolé ou pseudo-isolé est soit immobile, soit en mouvement rectiligne uniforme. Son vecteur vitesse est constant.
La réciproque est vraie : si un système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme alors il est isolé ou pseudo isolé.
Énoncé
Énoncé
Si on prend une durée $\Delta t$ infinitésimale, alors on arrive à la deuxième loi de Newton :
Définition
Deuxième loi de Newton :
La deuxième loi de Newton dit que dans un référentiel galiléen, la résultante des forces appliquées à un système est la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement du centre d’inertie de ce système :
$\dfrac{d\vec p(t)}{dt}=\sum \vec {\text F}$
Comme $\vec p(t)=m\cdot \vec v(t)$
- alors $\dfrac{d\vec p(t)}{dt}=m\cdot\dfrac{d\vec v(t)}{dt}$
- donc $\sum\vec{\text F}=m\cdot\vec a(t)$
Les forces sont exprimées en Newton.
Astuce
Pour comprendre cette équation, il faut se rappeler comment fonctionne une dérivée : la dérivée d’une fonction permet de trouver l’équation qui décrit la façon dont elle varie.
La variation de la vitesse dans le temps est tout simplement l’accélération. Donc quand on dit $\sum\vec{\text F}=m$ fois la dérivée de la vitesse, le résultat est aussi égal à $m$ fois le vecteur accélération appelé ici $\vec a(t)$.
Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
À retenir
Au voisinage de la Terre, le champ de pesanteur est considéré uniforme et est décrit par le vecteur $\vec{g}_0$ de direction et de sens vers le centre de la Terre.
Exemple
À l’instant $t_0=0\ \text{s}$, un point matériel $M$ est lancé à une vitesse initiale $\vec{v}_0$, partant d’un point $O$, faisant un angle $\alpha$ avec l’horizontale dans un référentiel orthonormé terrestre.
Dans le référentiel terrestre, on choisit le repère $(O\ ; \vec \imath; \vec \jmath;\vec{k})$, dont les composantes de $\vec{v}_0$ et $\vec{g}_0$ ont pour coordonnées :
$\vec{v}_0 \left\lbrace \begin{aligned} v_{0x}&=v_0 \cos\alpha \\ v_{0y}&=v_0 \sin\alpha \\ v_{0z}&=0 \\ \end{aligned}\right.$
$\vec{g}_0 \left\lbrace \begin{aligned} g_{0x}&=0 \\ g_{0y}&=-g_0 \\ g_{0z}&=0 \\ \end{aligned}\right. $
Si on néglige les actions de frottement de l’air, la seule force qui s’applique sur le boulet est le poids de l’objet : $\vec{P}=m\ \cdot \vec{g}_0$.
D’après la deuxième loi de Newton : $\vec{P}=m\cdot \vec{a} =m\cdot\vec{g}_0$
- Donc $\vec{a}=\vec{g}_0$, pour un objet placé dans un champ de pesanteur uniforme.
Les coordonnées du vecteur accélération sont :
$\vec{a}(t) \left\lbrace \begin{aligned} a_x(t)&=0 \\ a_y(t)&=-g_0 \\ a_z(t)&=0\end{aligned} \right. $
Sachant que $\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$, par intégration nous obtenons les coordonnées du vecteur vitesse, d’après le $\vec{v}_0$ (vitesse initiale) :
$\vec{v}(t) \left\lbrace \begin{aligned} v_x(t)&=v_0 \cos\alpha \\ v_y(t)&=-g_0\,t+v_0 \sin\alpha \\ v_z(t)&=0\end{aligned}\right.$
Ainsi, d’après les conditions initiales sur $\overrightarrow{OM}$, par intégration nous pouvons trouver le vecteur position :
$\overrightarrow{OM}(t) \left\lbrace \begin{aligned} x(t) &=(v_0 \cos\alpha)t \\ y(t)&=-\dfrac{1}{2}\,g_0\,t^2+(v_0\sin\alpha) t \\ z(t)&=0\\ \end{aligned}\right. $
Définition
Équation horaire du mouvement du centre d’inertie d’un objet :
L’équation horaire du mouvement du centre d’inertie d’un objet est l’évolution de ces coordonnées de position au cours du temps.
Astuce
On peut déterminer la trajectoire par la courbe d’équation $ y = f(x) $ en éliminant la variable $t$.
$x(t) = (v_0 \cos\alpha) t$, d’où $t=\dfrac{x(t)}{v_0 \cos\alpha} $ et si on le remplace dans $y(t)$ alors :
$y(t)=-\dfrac{1}{2} g_0 \left(\dfrac{x}{v_0 \cos\alpha}\right)^2+x (\tan\alpha)$
À retenir
$y(t)=-\dfrac{1}{2} g_0 \left(\dfrac{x}{v_0 \cos\alpha}\right)^2+x (\tan\alpha)$ est l’équation d’une parabole.
La portée maximale est obtenue pour $α = 45\degree$.
Comme c’est une parabole, on peut connaître la valeur de $α$ pour la portée maximale et la valeur du sommet de la parabole.
Mouvement dans un champ électrostatique uniforme
Mouvement dans un champ électrostatique uniforme
On va considérer une particule de charge $q$ et de masse $m$ qui pénètre avec une vitesse $\vec{v}_0$ dans un champ électrostatique uniforme $\vec{E}$ perpendiculaire aux armatures d’un condensateur plan.
On fait l’étude dans un repère galiléen orthonormé $(O\ ; \vec \imath; \vec \jmath;\vec{k})$.
La particule n’est soumise qu’à la force électrostatique : $\vec{F}=q\cdot\vec{E}$.
À retenir
D’après la deuxième loi de Newton : $\vec{F}=m \cdot \vec{a}=q \cdot \vec{E}$ d’où $\vec{a}=\dfrac{q}{m} \cdot \vec{E}$. Le vecteur accélération est colinéaire au vecteur champ électrique.
En prenant en compte les données précédentes on a :
$\vec{a}(t) \left\lbrace \begin{aligned} a_x(t)&=0 \\ a_y(t)&=\dfrac{q}{m} \times E \\ a_z(t)&=0\\ \end{aligned} \right.$
et
$\;$ $\vec{v}(t) \left\lbrace \begin{aligned} v_x(t)&=v_0 \cos\alpha \\ v_y(t)&=-\dfrac{q}{m} \times E\times t+v_0 \sin \alpha \\ v_z(t)&=0\\ \end{aligned}\right.$
Et enfin :
$\overrightarrow{OM}(t) \left\lbrace \begin{aligned} x(t)&=(v_0 \cos\alpha) t \\ y(t)&=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{q}{m} \times E \times t^2+(v_0 \sin \alpha)t \\ z(t)&=0\\ \end{aligned}\right.$
Astuce
On peut déterminer la trajectoire par la courbe d’équation $y = f(x)$ en éliminant le temps $t$.
$x(t) = (v_0 \cos\alpha) t$ d’où $t=\dfrac{x(t)}{v_0\cos\alpha}$ et si on le remplace dans $y(t)$ alors :
$y(t)=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{q}{m} \times E \left(\dfrac{x}{v_0 \cos\alpha}\right)^2+x(\tan\alpha)$
- C’est l’équation d’une parabole. La portée maximale est obtenue pour $α = 45\degree$.
Troisième loi de Newton
Troisième loi de Newton
Définition
Troisième loi de Newton :
Si un objet $A$ exerce une force sur un objet $B$, $\stackrel{→}{F}_{A/B}$, alors l’objet $B$ exerce une force sur $A$ : $\vec{F}_{B/A}$
Ces deux forces sont d’intensité égale, de même direction mais de sens opposé : $\stackrel{→}{F}_{A/B}=-\stackrel{→}{F}_{B/A}$
Exemple
Dans cet exemple, un livre de physique posé sur une table exerce une force sur la table, qui lui répond par une force identique.