Fiche de révision : Les racines carrées

Rappel

• Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.
• Carrés parfaits :

Racine carrée d’un nombre positif

• Soit $a$ un nombre positif. On appelle racine carrée de $a$ le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On note ce nombre $\sqrt{a}$ et on le lit « racine carrée de $a$ ». Le symbole « $\sqrt{\ }$ » est appelé radical.
• Autrement dit : $\sqrt a\geq0$ et $\left(\sqrt a\right)^2=a$
• La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
• Cas particuliers :
• $\sqrt0=0$
• $\sqrt1=1$
• Pour tout nombre positif $a$ : $$\left(\sqrt a\right)^2=a$$ $$\sqrt {a^2}= a$$
• $\sqrt{(-3)^2}\neq(-3)$
  En effet, $(-3)$ n’est pas un nombre positif.
  Comme $(-3)^2=3^2$, alors $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{3^2}=3$

Calculs avec les racines carrées

• Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres. Pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ : $$\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}$$
• Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres. Ainsi, pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ avec $b \neq 0$ on a : $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$
• Il n’existe pas de règle similaire concernant l’addition ou la soustraction de racines carrées.
  En général : $$\sqrt a+\sqrt b\neq\sqrt {a+b}$$