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Les racines carrées

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Rappel

  • Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.
  • Carrés parfaits :

12=1×1=11^2=1\times1=1
22=2×2=42^2=2\times2=4
32=3×3=93^2=3\times3=9
42=4×4=164^2=4\times4=16
52=5×5=255^2=5\times5=25
62=6×6=366^2=6\times6=36

72=7×7=497^2=7\times7=49
82=8×8=648^2=8\times8=64
92=9×9=819^2=9\times9=81
102=10×10=10010^2=10\times10=100
112=11×11=12111^2=11\times11=121
122=12×12=14412^2=12\times12=144

Racine carrée d’un nombre positif

  • Soit aa un nombre positif. On appelle racine carrée de aa le nombre positif dont le carré est égal à aa. On note ce nombre a\sqrt{a} et on le lit « racine carrée de aa ». Le symbole «  \sqrt{\ } » est appelé radical.
  • Autrement dit : a0\sqrt a\geq0 et (a)2=a\left(\sqrt a\right)^2=a
  • La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
  • Cas particuliers :
  • 0=0\sqrt0=0
  • 1=1\sqrt1=1
  • Pour tout nombre positif aa : (a)2=a\left(\sqrt a\right)^2=a a2=a\sqrt {a^2}= a
  • (3)2(3)\sqrt{(-3)^2}\neq(-3)
    En effet, (3)(-3) n’est pas un nombre positif.
    Comme (3)2=32(-3)^2=3^2, alors (3)2=32=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{3^2}=3

Calculs avec les racines carrées

  • Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres. Pour tous les nombres positifs aa et bb : a×b=a×b\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}
  • Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres. Ainsi, pour tous les nombres positifs aa et bb avec b0b \neq 0 on a : ab=ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}
  • Il n’existe pas de règle similaire concernant l’addition ou la soustraction de racines carrées.
    En général : a+ba+b\sqrt a+\sqrt b\neq\sqrt {a+b}