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Les racines carrées

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Rappel

  • Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.
  • Carrés parfaits :

$1^2=1\times1=1$
$2^2=2\times2=4$
$3^2=3\times3=9$
$4^2=4\times4=16$
$5^2=5\times5=25$
$6^2=6\times6=36$

$7^2=7\times7=49$
$8^2=8\times8=64$
$9^2=9\times9=81$
$10^2=10\times10=100$
$11^2=11\times11=121$
$12^2=12\times12=144$

Racine carrée d’un nombre positif

  • Soit $a$ un nombre positif. On appelle racine carrée de $a$ le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On note ce nombre $\sqrt{a}$ et on le lit « racine carrée de $a$ ». Le symbole « $\sqrt{\ }$ » est appelé radical.
  • Autrement dit : $\sqrt a\geq0$ et $\left(\sqrt a\right)^2=a$
  • La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
  • Cas particuliers :
  • $\sqrt0=0$
  • $\sqrt1=1$
  • Pour tout nombre positif $a$ : $$\left(\sqrt a\right)^2=a$$ $$\sqrt {a^2}= a$$
  • $\sqrt{(-3)^2}\neq(-3)$
    En effet, $(-3)$ n’est pas un nombre positif.
    Comme $(-3)^2=3^2$, alors $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{3^2}=3$

Calculs avec les racines carrées

  • Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres. Pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ : $$\sqrt a\times \sqrt b=\sqrt {a\times b}$$
  • Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres. Ainsi, pour tous les nombres positifs $a$ et $b$ avec $b \neq 0$ on a : $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$
  • Il n’existe pas de règle similaire concernant l’addition ou la soustraction de racines carrées.
    En général : $$\sqrt a+\sqrt b\neq\sqrt {a+b}$$