Les suites arithmétiques et géométriques

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Introduction :

Nous avons déjà vu, dans un précédent cours, la définition d’une suite numérique et les différentes expressions possibles, ainsi que les méthodes pour déterminer leur sens de variation. Nous avons également introduit la notion de limite d’une suite.

Dans ce cours, nous allons poursuivre le travail sur les suites : nous parlerons tout d’abord des suites arithmétiques, puis nous aborderons les suites géométriques.

Suites arithmétiques

Définition et propriétés

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Définition

Suite arithmétique :

Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$ : $u_{n+1}=u_n+r$.

Le nombre $r$ est appelé raison de la suite $(u_n).$

première réforme mathématiques suites arithmétiques Suite arithmétique de raison r

  • Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre $r$.
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Propriété

On considère une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0+nr$.

Exemple :
Soit une suite arithmétique de 1er terme $u_0=2$ et de raison $3$.
$u_n=2+n×3=2+3n$, pour tout entier naturel $n$.

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Attention

On ne connaît pas toujours le premier terme.

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Propriété

Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), pour tout $n\in\mathbb N$ et pour tout $p\in\mathbb N$, on a :
$u_n=u_p+(n-p)r$.

Exemple :
Soit une suite arithmétique de raison $5$ et dont on connaît $u_2=3$.
$\begin{aligned}u_n&=u_2+(n-2)×r\\&=3+(n-2)×5\\&=3+5n-10\\&=-7+5n\end{aligned}$

Sens de variation et représentation graphique

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Propriété

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ :

  • si $r>0$, la suite $(u_n)$ est croissante :

première réforme mathématiques suites arithmétiques Représentation graphique d’une suite arithmétique croissante

  • si $r<0$, la suite $(u_n)$ est décroissante :

première réforme mathématiques suites arithmétiques Représentation graphique d’une suite arithmétique décroissante

  • si $r=0$, la suite $(u_n)$ est constante.

Cette propriété est une conséquence immédiate de la définition d’une suite arithmétique, puisque la raison représente la différence entre deux termes consécutifs de la suite : $r=u_{n+1}-u_n$, pour tout entier naturel $n$.

Ainsi, si $r>0,$ cela signifie que $u_{n+1}-u_n>0$ et donc que $u_{n+1}>u_n$. Dans ce cas, chaque terme est plus grand que le précédent, la suite est donc croissante.

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À retenir

Une suite arithmétique de raison $r$ est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$ (représentation graphique d’une fonction affine). On dit alors que la croissance, ou la décroissance, des termes d’une suite arithmétique est linéaire.

Somme de termes consécutifs

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Propriété

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

$S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}{2}$

Exemple :
On cherche à calculer : $S=4+14+24+34+…+284$.
La première étape est de reconnaître les termes d’une suite arithmétique (ici de raison $10$) : $u_0=4\ ;\ u_1=14\ ;\ …\ ;\ u_{28}=284$.
D’après la formule précédente :
$\begin{aligned} S&=(\text{nombre de termes})\ \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}{2} \\ &=29×\dfrac{(4+284)}2 \\ &=29×144\\ \ &=4 176 \end{aligned}$

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Attention

On remarque que le rang du premier terme est $0$ et celui du dernier $28$. Le nombre de termes est donc $29$.

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Propriété

Soit un entier naturel $n$ non nul.

Alors la somme des $n$ premiers entiers non nuls est :
$1+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

  • La somme des $n$ premiers entiers peut aussi être calculée par un algorithme sur la calculatrice (Casio ou TI).
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Démonstration

Posons $S_n=1+2+…+(n-1)+n$, pour tout entier naturel $n$.

Soit un entier naturel $n$. Écrivons $S_n$ de deux façons :
$\begin{aligned}S_n&=1+2+…+(n-1)+n \\ S_n&=n+(n-1)…+3+2+1\end{aligned}$

En additionnant terme à terme les deux sommes, nous obtenons :
$2S_n=(n+1)+…+(n+1)+(n+1)$,
où le terme $n+1$ est présent $n$ fois dans la somme.

Nous obtenons donc :
$\begin{aligned}2S_n&=n(n+1) \\ S_n&=\dfrac{n(n+1)}{2}\end{aligned}$

Suites géométriques

Définition et propriétés

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Définition

Suite géométrique :

Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=u_n\times q$.

Le nombre $q$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique de raison q

  • Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par le nombre $q$.
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Propriété

On considère une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=u_0×q^n$.

Exemple :
Soit une suite géométrique de 1er terme $u_0=2$ et de raison $3$.
$u_n=2×3^n$, pour tout entier naturel $n$.

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Propriété

Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), on a pour tout $n\in\mathbb N$ et pour tout $p\in\mathbb N$ :
$u_n=u_p×q^{n-p}$.

Exemple :
Soit une suite géométrique de raison $5$ et dont on connaît $u_2=3$. $u_n=u_2×q^{n-2}=3×5^{n-2}$, pour tout entier naturel $n$.

Sens de variation et représentation graphique

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Propriété

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme non nul et de raison $q$. Il y a plusieurs cas possibles :

  • Si $q>1$ :
  • Si $u_0>0$, la suite $(u_n)$ est croissante :

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique croissante

  • Si $u_0<0$, la suite $(u_n)$ est décroissante :

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique décroissante

  • Si $q=1$, la suite $(u_n)$ est constante.
  • Si $0<q<1$
  • Si $u_0>0$, la suite $(u_n)$ est décroissante.

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique décroissante

  • Si $u_0<0$, la suite $(u_n)$ est croissante.

première réforme mathématiques suites géométriques Suite géométrique croissante

  • Si $q=0$, la suite $(u_n)$ est constante et vaut $0$ à partir du deuxième terme.
  • Si $q<0$, la suite $(u_n)$ n’a pas de variations régulières ; on dit qu’elle n’est pas monotone.
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À retenir

Une suite géométrique croissante ou décroissante (voir les cas des 4 graphiques précédents) est représentée graphiquement par des points appartenant à une fonction de type exponentiel. Dans ces cas, on dit que la croissance (ou la décroissance) des termes d’une suite géométrique est exponentielle.

Somme de termes consécutifs

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Propriété

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq1$.

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

$S=(\text{premier terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$

Exemple :
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=256$ et de raison $\dfrac{3}{4}$.
On cherche à calculer : $S_{10}=u_0+u_1+u_2+…+u_{10}$.

D’après la formule précédente :
$\begin{aligned} S&=(\text{premier terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q} \\ &=256\times\dfrac{1-(\frac{3}{4})^{11}}{1-\frac{3}{4}} \\ &=256\times\dfrac{1-(\frac{3}{4})^{11}}{\frac{1}{4}} \\ &=256\times4\times\bigg(1-\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{11}\bigg) \\ &=1024\times\bigg(1-\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{11}\bigg) \\ \end{aligned}$

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Attention

On remarque que le rang du premier terme est $0$ et celui du dernier $10$. Le nombre de termes est donc $11$.

De la première propriété, il est facile d’en déduire une seconde, qui permettra de calculer directement la somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ :

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Propriété

Soit un entier naturel $n$ non nul et $q$ un réel différent de $1$.

Alors :
$1+q+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

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Démonstration

Posons $S_n = 1+q+q^2+q^3+…+q^n$, pour tout entier naturel $n$.

En multipliant par $q$ cette relation, nous obtenons : $qS_n=q+q^2+q^3+q^4+…+q^{n+1}$

En soustrayant les expressions de $S_n$ et de $q S_n$, nous obtenons : $\begin{aligned} S_n-qS_n&=1+q+q^2+q^3+…+q^n-(q+q^2+q^3+q^4+…+q^{n+1}) \\ (1-q)S_n&=1-q^{n+1}\end{aligned}$
(car les autres termes se simplifient).

Nous obtenons donc :
$S_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
car $q\neq1$.

Limite de $q^n$

Le théorème sur la limite de $q^n$ permet d’étudier la limite de n’importe quelle suite géométrique.

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Théorème

Soit $q$ un réel différent de $1$ :

  • Si $q>1$, la suite $(q^n)$ diverge vers $+\infty$.
  • Si $-1<q<1$, la suite $(q^n)$ converge vers $0$.
  • Si $q\leq-1$, la suite $(q^n)$ diverge et n’admet pas de limite.
  • De ce théorème, nous pouvons déduire la limite de toute suite géométrique de raison $q\neq1$ et telle que $u_0\neq0$.
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Propriété

Propriétés :

  • Si $q >1$ :
  • si $u_0>0$, la suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ ;
  • si $u_0<0$, la suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$.
  • Si $-1<q<1$, la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
  • Si $q\leq-1$, la suite $(u_n)$ diverge et n’admet pas de limite.