Fiche de révision : Puissance d'un nombre

Puissances d’un nombre avec un exposant entier relatif

• Puissance de $a$ exposant $n$
• $a$ étant un nombre relatif et $n$ étant un nombre entier supérieur à 1, le produit de $n$ facteurs égaux à se note $a^n$.
  $$a^ n = \underbrace{ a \times a \times … \times a}_{ {n\ \text{facteurs}}}$$
• $a^n$ est la puissance d’exposant $n$ du nombre $a$.
• Cas particuliers :
• $a^ 0=1$ (avec $ a\neq 0$)
• $a^1= a$
• $ a^2= a\times a$ (se lit $a$ au carré)
• $a^3= a\times a\times a$ ( se lit $a$ au cube)
• Puissance de $a$ exposant $-n$
• $a$ étant un nombre relatif non nul et $n$ un nombre entier positif, le nombre $a^{-n}$ est l’inverse du nombre $a^n$. $$a^{- n}=\dfrac{1}{a^ n}=\underbrace{\dfrac{1}{ a\times a\times…\times a}}_{ {n facteurs}}$$

$$ a^{-1}=\frac1a$$

• $a^{-n}$ est la puissance d’exposant $-n$ du nombre $a$.

Signe d’une puissance

• Une puissance d’un nombre positif est un nombre positif : si $a\geq 0$ alors $a^n\geq 0$ et $a^{-n}\geq 0$
• Une puissance d’exposant pair d’un nombre négatif est un nombre positif.
• Une puissance d’exposant impair d’un nombre négatif est un nombre négatif.
• Si $a$ est un nombre strictement négatif et $n$ un nombre impair, alors $a^n$ et $a^{-n}$ sont négatifs.

Opérations sur les puissances

• $a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}$
• $\dfrac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n-p}$
• $\left(a^{n}\right)^{p}=a^{n \times p}$
• $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$

Puissances de $10$

Pour tout entier positif $n$ non nul :

• l’écriture décimale de $10^{n}$ comporte $n$ zéros après le $1$ : $$\begin{aligned}10^{n} &= 1\underbrace{00…0} \\ &n \text{ zéros après le 1} \end{aligned}$$
• l’écriture décimale de $10^{-n}$ comporte $n$ zéros avant le $1$ : $$\begin{aligned}10^{-n} &= \underbrace{0,0…0}1 \\ &n\text{ zéros avant le 1} \end{aligned}$$

Opérations sur les puissances de $10$

$n$ et $p$ étant deux nombres entiers relatifs :

• $10^{n} \times 10^{p} = 10^{n+p}$
• $\dfrac {10^{ n}}{10^{p}} =10^{n- p}$
• $\left(10^{n}\right)^{p} = 10^{n\times p}$

L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique forme $a\times 10^{n}$ dans laquelle le nombre $a$ possède un seul chiffre non nul avant la virgule.