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Puissance d'un nombre

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Puissances d’un nombre avec un exposant entier relatif

  • Puissance de aa exposant nn
  • aa étant un nombre relatif et nn étant un nombre entier supérieur à 1, le produit de nn facteurs égaux à se note ana^n.
    an=a×a××an facteurs\underbrace{ a^ n = a \times a \times … \times a}_{ {n\ \text{facteurs}}}
  • ana^n est la puissance d’exposant nn du nombre aa.
  • Cas particuliers :
  • a0=1a^ 0=1 (avec a0 a\neq 0)
  • a1=aa^1= a
  • a2=a×a a^2= a\times a (se lit aa au carré)
  • a3=a×a×aa^3= a\times a\times a ( se lit aa au cube)
  • Puissance de aa exposant n-n
  • aa étant un nombre relatif non nul et nn un nombre entier positif, le nombre ana^{-n} est l’inverse du nombre ana^n. an=1an=1a×a×...×anfacteursa^{- n}=\dfrac{1}{a^ n}=\underbrace{\dfrac{1}{ a\times a\times…\times a}}_{ {n facteurs}}

et

a1=1a a^{-1}=\frac1a

  • ana^{-n} est la puissance d’exposant n-n du nombre aa.

Signe d’une puissance

  • Une puissance d’un nombre positif est un nombre positif : si a0a\geq 0 alors an0a^n\geq 0 et an0a^{-n}\geq 0
  • Une puissance d’exposant pair d’un nombre négatif est un nombre positif.
  • Une puissance d’exposant impair d’un nombre négatif est un nombre négatif.
  • Si aa est un nombre strictement négatif et nn un nombre impair, alors ana^n et ana^{-n} sont négatifs.

Opérations sur les puissances

  • an×ap=an+pa^{n} \times a^{p} = a^{n+p}
  • anap=anp\dfrac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n-p} *(an)p=an+p\left(a^{n}\right)^{p}=a^{n + p}
  • anbn=(ab)n\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}

Puissances de 1010

Pour tout entier positif nn non nul :

  • l’écriture décimale de 10n10^{n} comporte nn zéros après le 11 : 10n=100…0n zeˊros apreˋs le 1\begin{aligned}10^{n} &= 1\underbrace{00…0} \ &n \text{ zéros après le 1} \end{aligned}
  • l’écriture décimale de 10n10^{-n} comporte nn zéros avant le 11 : 10n=0,0…01n zeˊros avant le 1\begin{aligned}10^{-n} &= 0,\underbrace{0…01} \ &n\text{ zéros avant le 1} \end{aligned}

Opérations sur les puissances de 1010

nn et pp étant deux nombres entiers relatifs :

  • 10n×10p=10n+p10^{n} \times 10^{p} = 10^{n+p}
  • 10n10p=10np\dfrac {10^{ n}}{10^{p}} =10^{n- p}
  • (10n)p=10n×p\left(10^{n}\right)^{p} = 10^{n\times p}

L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique forme a×10na\times 10^{n} dans laquelle le nombre aa possède un seul chiffre non nul avant la virgule.