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Les probabilités : bases et vocabulaire

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Expérience aléatoire et probabilité

  • Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat qui se produira effectivement.
  • Une issue est un résultat possible d'une expérience.
  • Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) d'une expérience.
  • La probabilité d'un événement est la proportion de chance que cet événement se réalise. Elle s'exprime sous forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.
  • Soit AA un événement d'une expérience aléatoire, on note p(A)p(A) la probabilité que cet événement se réalise.
  • La probabilité d'un événement est une proportion, c’est un nombre compris entre 00 et 11.

Événements particuliers et propriétés

  • Un événement élémentaire est un événement qui ne peut être réalisé que par une seule issue.
  • La somme des probabilités de tous les événements élémentaires (issues) d'une expérience aléatoire est égale à 11.
  • Un événement certain est un événement réalisé par toutes les issues.
    Autrement dit, il est sûr de se produire.
  • La probabilité d'un événement certain est égale à 11.
  • Un événement impossible n'est réalisé par aucune issue.
    Autrement dit, il ne peut pas se produire.
  • La probabilité d'un événement impossible est égale à 00.
  • Deux événements sont contraires si chacun d'entre eux est sûr de se réaliser lorsque l'autre ne se réalise pas.
    Soit AA un événement d'une expérience aléatoire, on note A\overline A (ou non A\text{non } A) son événement contraire.
  • La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est égale à 11 :

p(A)+p(A)=1p(A) + p(\overline A) = 1

  • Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.
    Lorsque deux événements sont incompatibles :
  • la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité ;
  • la probabilité pour que l'un et l'autre se réalisent est nulle.
  • Soient AA et BB deux événements incompatibles :

p(A ou B)=p(A)+p(B)p(A\text{ ou }B) = p(A) + p(B)

et

p(A et B)=0p(A \text{ et } B) = 0

Arbre de probabilités

  • L'arbre de probabilités d'une expérience aléatoire indique chacune des issues de l'expérience en spécifiant sur chaque branche la probabilité correspondante.
bannière exemple

Exemple

Prenons un jeu de cartes de 3232, gardons uniquement les ♥︎ et rajoutons-y 44 jokers.
Nous disposons donc d'un jeu 1212 cartes.

Les issues de notre expérience sont « 77 de ♥︎ », « 88 de ♥︎ », « 99 de ♥︎ », « 1010 de ♥︎ », « valet de ♥︎ », « dame de ♥︎ », « roi de ♥︎ », « as de ♥︎ » et « joker ».

Chacune des 88 issues « ♥︎ » a une probabilité de 112\dfrac{1}{12}.

L'issue « joker » a une probabilité de 412\dfrac{4}{12} (puisqu'il y a 44 jokers identiques parmi les 1212 cartes) soit 13\dfrac 13.

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Astuce

Nous laissons volontairement ces nombres sous forme de fractions, ils seront plus faciles à manipuler par la suite.

  • Cette expérience peut être représentée par l'arbre de probabilités suivant :

arbre de probabilité mathématiques quatrième

Fréquence et probabilité

  • Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d'un événement se rapproche d'une fréquence théorique appelée « probabilité ».
  • Cette propriété permet d'estimer la probabilité d'une issue d'une expérience lorsque cette dernière ne peut pas se déterminer de façon intuitive.