Les probabilités : bases et vocabulaire
Expérience aléatoire et probabilité
Expérience aléatoire et probabilité
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat qui se produira effectivement.
- Une issue est un résultat possible d'une expérience.
- Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) d'une expérience.
- La probabilité d'un événement est la proportion de chance que cet événement se réalise. Elle s'exprime sous forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.
- Soit $A$ un événement d'une expérience aléatoire, on note $p(A)$ la probabilité que cet événement se réalise.
- La probabilité d'un événement est une proportion, c’est un nombre compris entre $0$ et $1$.
Événements particuliers et propriétés
Événements particuliers et propriétés
- Un événement élémentaire est un événement qui ne peut être réalisé que par une seule issue.
- La somme des probabilités de tous les événements élémentaires (issues) d'une expérience aléatoire est égale à $1$.
- Un événement certain est un événement réalisé par toutes les issues.
Autrement dit, il est sûr de se produire. - La probabilité d'un événement certain est égale à $1$.
- Un événement impossible n'est réalisé par aucune issue.
Autrement dit, il ne peut pas se produire. - La probabilité d'un événement impossible est égale à $0$.
- Deux événements sont contraires si chacun d'entre eux est sûr de se réaliser lorsque l'autre ne se réalise pas.
Soit $A$ un événement d'une expérience aléatoire, on note $\overline A$ (ou $\text{non } A$) son événement contraire. - La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est égale à $1$ :
$$p(A) + p(\overline A) = 1$$
- Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.
Lorsque deux événements sont incompatibles : - la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité ;
- la probabilité pour que l'un et l'autre se réalisent est nulle.
- Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles :
$$p(A\text{ ou }B) = p(A) + p(B)$$
et
$$p(A \text{ et } B) = 0$$
Arbre de probabilités
Arbre de probabilités
- L'arbre de probabilités d'une expérience aléatoire indique chacune des issues de l'expérience en spécifiant sur chaque branche la probabilité correspondante.
Prenons un jeu de cartes de $32$, gardons uniquement les ♥︎ et rajoutons-y $4$ jokers.
Nous disposons donc d'un jeu $12$ cartes.
Les issues de notre expérience sont « $7$ de ♥︎ », « $8$ de ♥︎ », « $9$ de ♥︎ », « $10$ de ♥︎ », « valet de ♥︎ », « dame de ♥︎ », « roi de ♥︎ », « as de ♥︎ » et « joker ».
Chacune des $8$ issues « ♥︎ » a une probabilité de $\dfrac{1}{12}$.
L'issue « joker » a une probabilité de $\dfrac{4}{12}$ (puisqu'il y a $4$ jokers identiques parmi les $12$ cartes) soit $\dfrac 13$.
Nous laissons volontairement ces nombres sous forme de fractions, ils seront plus faciles à manipuler par la suite.
- Cette expérience peut être représentée par l'arbre de probabilités suivant :
Fréquence et probabilité
Fréquence et probabilité
- Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d'un événement se rapproche d'une fréquence théorique appelée « probabilité ».
- Cette propriété permet d'estimer la probabilité d'une issue d'une expérience lorsque cette dernière ne peut pas se déterminer de façon intuitive.