Les probabilités

Expérience aléatoire et probabilité

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat qui se produira effectivement.
• Une issue est un résultat possible d'une expérience.
• Un événement est une condition qui peut être réalisée par plusieurs issues d'une expérience.
• La probabilité d'un événement est la proportion de chance que cet événement se réalise. Elle s'exprime sous forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.
• Soit $A$ un événement d'une expérience aléatoire, on note $p(A)$ la probabilité que cet événement se réalise.
• La probabilité d'un événement est une proportion, c’est un nombre compris entre $0$ et $1$.

Événements particuliers et propriétés

• Un événement élémentaire est un événement qui ne peut être réalisé que par une seule issue.
• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires (issues) d'une expérience aléatoire est égale à $1$.
• Un événement certain est un événement réalisé par toutes les issues.
  Autrement dit, il est sûr de se produire.
• La probabilité d'un événement certain est égale à $1$.
• Un événement impossible n'est réalisé par aucune issue.
  Autrement dit, il ne peut pas se produire.
• La probabilité d'un événement impossible est égale à $0$.
• Deux événements sont contraires si chacun d'entre eux est sûr de se réaliser lorsque l'autre ne se réalise pas.
  Soit $A$ un événement d'une expérience aléatoire, on note $\overline A$ (ou $\text{non } A$) son événement contraire.
• La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est égale à $1$ :

$p(A) + p(\overline A) = 1$

• Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.
  Lorsque deux événements sont incompatibles :
• la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité ;
• la probabilité pour que l'un et l'autre se réalisent est nulle.
• Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles :

$p(A\text{ ou }B) = p(A) + p(B)$

$p(A \text{ et } B) = 0$

Arbre de probabilités

• L'arbre de probabilités d'une expérience aléatoire indique chacune des issues de l'expérience en spécifiant sur chaque branche la probabilité correspondante.

Exemple

Prenons un jeu de cartes de $32$, gardons uniquement les ♥︎ et rajoutons-y $4$ jokers.
Nous disposons donc d'un jeu $12$ cartes.

Les issues de notre expérience sont « $7$ de ♥︎ », « $8$ de ♥︎ », « $9$ de ♥︎ », « $10$ de ♥︎ », « valet de ♥︎ », « dame de ♥︎ », « roi de ♥︎ », « as de ♥︎ » et « joker ».

Chacune des $8$ issues « ♥︎ » a une probabilité de $\dfrac{1}{12}$.

L'issue « joker » a une probabilité de $\dfrac{4}{12}$ (puisqu'il y a $4$ jokers identiques parmi les $12$ cartes) soit $\dfrac 13$.

Astuce

Nous laissons volontairement ces nombres sous forme de fractions, ils seront plus faciles à manipuler par la suite.

• Cette expérience peut être représentée par l'arbre de probabilités suivant :

Fréquence et probabilité

• Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d'un événement se rapproche d'une fréquence théorique appelée « probabilité ».
• Cette propriété permet d'estimer la probabilité d'une issue d'une expérience lorsque cette dernière ne peut pas se déterminer de façon intuitive.