Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Sujet 2 - enseignement scientifique - corrigé
Fiche annale

ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE
SUJET ZÉRO n° 2

Exercice 1 : Des instruments, des notes et des gammes

PARTIE 1 : Des instruments et des notes

Le la3la3 a pour fréquence associée 441Hz441\,\text{Hz}. Le la4la4 appartient à l’octave au-dessus : il faut donc multiplier la fréquence par 22.
Ainsi, la fréquence du la4la4 est : f=441×2=882Hzf=441\times 2=882\,\text{Hz}

On va démontrer que la période (et donc la fréquence) de chaque signal est différente.

  • Figure 1 :
    Période : 3T=11,5×0,001=0,0115s3T=11,5\times 0,001=0,0115\,\text s, soit T=0,00383sT=0,00383\,\text s
  • Figure 2 :
    Période : 4T=10,2×0,001=0,0102s4T=10,2\times 0,001=0,0102\,\text s, soit T=0,00255sT=0,00255\,\text s

Les périodes et les fréquences des signaux étant effectivement différentes dans les deux cas, les fréquences des signaux le sont aussi. Donc il s’agit bien de deux notes différentes.

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Astuce

Une note correspond à une fréquence précise. Si deux fréquences sont différentes, alors les notes le sont aussi.
De la lecture de la période TT (en secondes) de chaque signal se déduit par calcul la valeur de la fréquence f=1Tf=\dfrac{1}{T} qui s’exprime en hertz.
Pour obtenir une lecture de la période la plus précise possible, il faut lire la durée d’un nombre maximal de périodes sur chaque signal. Ici, on prend trois périodes pour le signal 1 et quatre périodes pour le signal 2.

signaux périodes sujet zéro corrigé

  • Figure 1 : Fréquence : f=1T=10,00383261Hzf=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0,00383}\approx 261\,\text{Hz}
  • Figure 2 : Fréquence : f=1T=10,00255392Hzf=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0,00255}\approx 392\,\text{Hz}

La fréquence associée au signal sonore de la figure 1 est 261Hz261\,\text{Hz}, ce qui correspond à la note do3do3 d’après le document 1.
La fréquence associée au signal sonore de la figure 2 est 392Hz392\,\text{Hz}, ce qui correspond à la note sol3sol3 d’après le document 1.

PARTIE 2 : Des notes et des gammes

  • Premier cas : si 1<f<431
    On multiplie la double inégalité par 32\dfrac{3}{2} :
    32×1<32×f<32×43\dfrac{3}{2}\times 1<\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}, ce qui donne 32<32×f<2\dfrac{3}{2}<\dfrac{3}{2}\times f<2
  • 32×f\dfrac{3}{2}\times f est donc bien compris entre 11 et 22.
  • Deuxième cas : si 43<f<2\dfrac{4}{3}
    On multiplie la double inégalité par 32\dfrac{3}{2} :
    32×43<32×f<32×2\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}<\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}\times 2, ce qui donne 2<32×f<32<\dfrac{3}{2}\times f<3
  • On a donc bien 2<32×f2<\dfrac{3}{2}\times f.

On multiplie ensuite la double inégalité par 12\dfrac{1}{2} :
12×2<12×32×f<12×3\dfrac{1}{2}\times 2<\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{1}{2}\times 3, ce qui donne 1<12×32×f<32<21<\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}<2

  • 12×32×f\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f est donc bien compris entre 11 et 22.

Numéro de la note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fréquence (fraction irréductible) 11 32\dfrac{3}{2} 3223\dfrac{3^2}{2^3} 3324\dfrac{3^3}{2^4} 3426\dfrac{3^4}{2^6} 3527\dfrac{3^5}{2^7} 3629\dfrac{3^6}{2^9} 37211\dfrac{3^7}{2^{11}} 38212\dfrac{3^8}{2^{12}} 39214\dfrac{3^9}{2^{14}} 310215\dfrac{3^{10}}{2^{15}} 311217\dfrac{3^{11}}{2^{17}} 312219\dfrac{3^{12}}{2^{19}}
Fréquence (valeur approchée à 10210^{-2} près) 11 1,501,50 1,131,13 1,691,69 1,271,27 1,901,90 1,421,42 1,071,07 1,601,60 1,201,20 1,801,80 1,351,35 1,011,01
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Astuce

Il est important de bien lire l’algorithme pour le comprendre :

Algorithme Description de l’algorithme
f1f\leftarrow 1 On affecte la valeur 11 à ff
f32×ff\leftarrow\dfrac{3}{2}\times f On multiplie ff par 32\dfrac{3}{2}
n1n\leftarrow 1 On affecte la valeur 11 à nn
Tant que f1f\ne 1 faire

nn+1n\leftarrow n+1

ff×32f\leftarrow f\times\dfrac{3}{2}

Tant que f1f\ne 1, ajouter 11 à nn et multiplier ff par 32\dfrac{3}{2}
Si f2f\geq 2 alors ff×12f\leftarrow f\times\dfrac{1}{2} Si la nouvelle valeur de ff est supérieure ou égale à 22, alors diviser la nouvelle valeur de ff par 12\dfrac{1}{2}
Fin Si

Fin Tant que

Si f=1f=1, alors arrêter l’algorithme

Cet algorithme permet de donner les valeurs exactes des fréquences des 12 premières quintes. On remarque que toutes les fréquences sont comprises entre 11 et 22.

Ainsi, pour passer de la note 0 à la note 1, on multiplie donc par 32\dfrac{3}{2}  ; pour passer de la note 1 à la note 2, on multiplie par 32\dfrac{3}{2} puis par 12\dfrac{1}{2}, pour passer de la note 2 à la note 3, on multiplie par 32\dfrac{3}{2}, etc.

L’algorithme se termine si f=1f =1 exactement. On remarque qu’aucune fréquence du tableau est égale à 11.

Résoudre l’équation 3m2n=1\dfrac{3^m}{2^n}=1 avec mm et nn entiers naturels non nuls est équivalent à résoudre 3m=2n3^m=2^n avec mm et nn entiers naturels non nuls.

  • 33 est un nombre impair, donc 3m3^m est une multiplication de nombres impairs qui donne un résultat impair.
  • 22 est un nombre pair donc 2n2^n est une multiplication de nombres pairs qui donne un résultat pair.
  • Un nombre pair ne peut être égal à un nombre impair : l’égalité 3m=2n3^m=2^n est impossible. Il n’existe donc pas d’entier naturels mm et nn non nuls, tels que 3m2n=1\dfrac{3^m}{2^n}=1.
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Astuce

Il faut bien faire attention aux conditions de résolution d’une telle équation. L’égalité 3m=2n3^m=2^n est possible si m=n=0m=n=0, mais ici mm et nn sont déterminés comme des entiers naturels non nuls, ce qui est contradictoire.

L’algorithme ne s’arrête pas, puisque la condition d’arrêt qui est f=3m2n=1f=\dfrac{3^m}{2^n}=1 n’est jamais vérifiée.

D’après le tableau de la question 4, on remarque que la fréquence du numéro 12 (qui est la 13e note) a pour valeur approchée 1,011,01, ce qui est très proche de 11. On peut donc considérer qu’au bout de la 13e note, on retourne à la note de départ.
On peut ainsi construire une suite finie de notes (12 notes) réparties dans une octave (une gamme).

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Astuce

Faire attention au tableau de valeurs.

Numéro de la note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fréquence (fraction irréductible) 11 32\dfrac{3}{2} 3223\dfrac{3^2}{2^3} 3324\dfrac{3^3}{2^4} 3426\dfrac{3^4}{2^6} 3527\dfrac{3^5}{2^7} 3629\dfrac{3^6}{2^9} 37211\dfrac{3^7}{2^{11}} 38212\dfrac{3^8}{2^{12}} 39214\dfrac{3^9}{2^{14}} 310215\dfrac{3^{10}}{2^{15}} 311217\dfrac{3^{11}}{2^{17}} 312219\dfrac{3^{12}}{2^{19}}
Fréquence (valeur approchée à 10210^{-2} près) 11 1,501,50 1,131,13 1,691,69 1,271,27 1,901,90 1,421,42 1,071,07 1,601,60 1,201,20 1,801,80 1,351,35 1,011,01

Même si les numéros de la quinte sont dans l’ordre croissant, les valeurs approchées des fréquences ne le sont pas : on a bien douze notes de qu’il faudra ensuite ranger dans l’ordre croissant pour obtenir la gamme.

Note dodo dodo\sharp reˊ reˊré\sharp mimi fafa fafa\sharp solsol solsol\sharp lala lala\sharp sisi
Gamme de Pythagore 262262 280280 295295 315315 332332 354354 373373 393393 420420 442442 472472 497497
Piano 262262 278278 294294 312312 330330 350350 371371 393393 416416 441441 495495 524524

Globalement, les fréquences de la gamme de Pythagore diffèrent des fréquences du piano, même si dans deux cas elles sont identiques (la fréquence fondamentale de la note dodo et le solsol).
Il ne s’agit donc pas de la même gamme.

On calcule les rapports suivants à partir de la gamme de Pythagore :
dodo=280262=1,07\dfrac{do\sharp}{do}=\dfrac{280}{262}=1,07 et reˊdo=295280=1,05\dfrac{ré}{do\sharp}=\dfrac{295}{280}=1,05

On constate que les rapports sont différents : il n’y a pas de suite logique (suite géométrique) entre les valeurs des trois notes dodo, dodo\sharp et reˊré\sharp de la gamme de Pythagore.

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Astuce

Calculer le ou les coefficients multiplicateurs entre trois termes consécutifs revient à chercher une relation entre eux, à savoir déterminer si les termes sont associés à une suite géométrique. Dans ce cas, on obtiendra une gamme dite tempérée, sinon on a une gamme de Pythagore.
Dans la gamme de Pythagore, les intervalles entre les notes ne sont pas parfaitement égaux : cette différence de rapport entre les notes est nommée comma pythagoricien.

On calcule les rapports suivants à partir de la gamme du piano :
dodo=278262=1,06\dfrac{do\sharp}{do}=\dfrac{278}{262}=1,06 et reˊdo=294278=1,06\dfrac{ré}{do\sharp}=\dfrac{294}{278}=1,06

On constate que les rapports sont identiques au centième près : il y a une suite logique (suite géométrique) entre les valeurs des trois notes dodo, dodo\sharp et reˊré\sharp de la gamme du piano.

La gamme utilisée est la gamme tempérée.
Dans la gamme tempérée, l’intervalle séparant deux notes successives, appelé demi-ton, est toujours le même et vaut 21122^{\frac{1}{12}}, soit environ 1,061,06.

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Astuce

La gamme tempérée a pour but de résoudre le problème posé par le comma pythagoricien en élaborant des intervalles constants entre les notes.
Il a fallu attendre la fin du XVIIe siècle pour qu’une gamme comportant 12 intervalles égaux soit pensée et élaborée par le mathématicien Andreas Werckmeister.

Exercice 2 : Différentes méthodes de datation au service de la géologie

PARTIE 1 : L’histoire de la détermination de l’âge de la Terre

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Astuce

Vous pouvez choisir ici l’argument parmi plusieurs de vos connaissances, qu’il soit biologique ou géologique. On peut donc par exemple prendre au choix l’un des arguments suivants présentés (un argument géologique, un argument biologique).
Il est toujours intéressant de pouvoir citer des dates ou des noms.

Au XVIIIe siècle, Edmund Halley donne un âge de la Terre supérieur à 3600036\,000 ans grâce à l’étude de la teneur en sel des océans. Il se base sur le fait que le sel est issu de l’érosion des continents et il tient compte du débit des fleuves transportant ces particules.

OU

Vers 1850, la découverte du phénomène de fossilisation, mécanisme lent, et des fossiles humains par James Hutton permet d’étudier la succession des fossiles et leur datation. De cette manière, Hutton prouve qu’il est inconcevable que la Terre n’ait que 60006\,000 ans, comme le stipulait le modèle créationniste du Moyen Âge et de la Renaissance.

Pour Buffon, la Terre, qui était une boule de feu à son origine, a refroidi pour donner le globe actuel. Pour lui, ce refroidissement se poursuit. Si, comme un boulet incandescent, la Terre refroidit jusqu’à devenir totalement froide, les températures terrestres ne seront plus suffisantes pour que la vie se maintienne sur la planète.

PARTIE 2 : La datation des peintures rupestres de la grotte Chauvet par le carbone 14 (14C^{14}\text{C})

D’après le document 2, les oxydes minéraux sont constitués des atomes Fe\text{Fe}, O\text{O} et Mn\text{Mn}, alors que, d’après le document 3, le charbon de bois contient de la cellulose, composée des atomes C\text{C}, H\text{H} et O\text{O}.
Or, la méthode de datation au carbone 14 s’appuie sur la désintégration des éléments carbone (C\text{C}) dans un matériau. Donc, seuls les éléments contenant cet atome peuvent faire l’objet d’une datation, en l’occurrence ici le charbon de bois.

Le mécanisme biologique qui permet la synthèse de glucose s’appelle la photosynthèse. Voici son équation :
6CO2+6H2OC6H12O6+6O26\text{CO}2+6\text{H}2\text{O}\rightarrow\text{C}6\text{H}{12}\text{O}6+6\text{O}2
Soit, dioxyde de carbone+eauglucose+oxygeˋne\text{dioxyde de carbone}+\text{eau}\rightarrow\text{glucose}+\text{oxygène}

La photosynthèse se déroule dans les parties vertes des feuilles.
Le CO2\text{CO}_2 est absorbé par les feuilles, l’eau est absorbée par les racines et remonte dans les vaisseaux de la plante vers les feuilles. Grâce à la lumière et la chlorophylle, la réaction chimique de la photosynthèse se réalise et du glucose est synthétisé. L’oxygène produit en même temps est rejeté par les feuilles.

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Astuce

Il faut bien vérifier que les coefficients stœchiométriques sont exacts, c’est-à-dire qu’il faut équilibrer l’équation, en comptant le nombre d’atomes de part et d’autre de l’équation. Ce nombre doit donc être équivalent des deux côtés : « Rien ne se perd, rien ne se créé, tout se transforme ».

  • La date de désintégration d’un noyau individuel de 14C^{14}\text C dont on connaît la date de création (prise comme origine) est :

aléatoire égale à 5730ans5\,730\,\text{ans} prévisible comprise avec certitude entre 100100 et 10000ans10\,000\,\text{ans}
  • La durée nécessaire à la désintégration radioactive de la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon dépend :

du nombre initial de noyaux de la nature chimique des noyaux du volume de l’échantillon de la température

La demi-vie d’un élément radioactif est la durée pour laquelle la moitié des noyaux radioactifs auront subi une désintégration.
Dans le graphique, je constate que 50%50\,\% des noyaux sont encore présents au bout de 57005\,700 ans. Donc la demi-vie du carbone 14 est d’environ 57005\,700 ans.

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Attention

Il ne faut pas oublier que l’annexe est à rendre avec la copie : il faut donc exploiter le graphique donné en annexe.

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Astuce

Il ne s’agit pas de donner une valeur précise, mais une estimation. Pour donner une estimation la plus juste possible, il faut bien lire le graphique donné en annexe et tracer les traits de construction de la lecture graphique qui justifieront la réponse donnée.

Alt texte

Dans l’énoncé de la question 5, il est précisé que les traits réalisés avec des fragments de charbon de bois prélevés sur les peintures ont des valeurs P/P0\text{P}/\text{P}0 comprises entre 1,5%1,5\,\% et 2,5%2,5\,\%. Les mouchages de torche réalisé ont des valeurs comprises entre 3,5%3,5\,\% et 4,5%4,5\,\%. En plaçant ces valeurs sur le graphique, je conclue que les dessins réalisés avec les charbons de bois peuvent être datés d’un âge compris entre 3050030\,500 et 3450034\,500 ans environ, alors que ceux réalisés avec le mouchage de torche ont un âge compris entre 2550025\,500 et 3450034\,500 ans environ.

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Astuce

Il faut penser à tracer les traits de lecture sur le zoom du graphique en partant des valeurs données par l’énoncé et en les plaçant sur l’axe des ordonnées, puis en notant la valeur xx à laquelle elles correspondent suivant la courbe :

Alt texte