Mathématiques 2017 |
Exercice 4
Exercice 4
Partie A
D’après le théorème de Pythagore :
( ; ) définit un TRPI
( ; ) définit un TRPI
( ; ) définit un TRPI
Si , donc .
On sait que est positif donc , n’est pas un entier naturel.
Si , donc qui n’est pas un carré.
On sait que est positif donc , n’est pas un entier naturel.
Si , donc
donc définit un TRPI et c’est celui qui a les plus petits côtés non nuls
a. Montrons le résultat en raisonnant par l’absurde.
Soit un entier naturel et supposons que est impair.
Supposons que est pair, c'est-à-dire que où est un entier.
On aurait alors qui est un nombre pair. Ce qui est impossible.
est donc impair.
On a donc :
est impair impair.
b. Soit ( ; ) un couple d’entiers définissant un TRPI.
On a alors qui est un nombre impair car est un nombre entier.
D’après le résultat de la question précédente, est donc un nombre impair.
( ; ) définit un TRPI .
.
.
avec .
D’après le théorème de Bezout, les nombres et sont premiers entre eux.
Théorème de Bezout Deux nombres entiers et sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux nombres entiers et tels que .
Partie B
Soit les nombres entiers , , et qui vérifient :
On a donc :
On a donc :
.
a. Calculons :
.
b. Supposons que le couple ( ; ) définisse un TRPI.
D’après la question 1. de la partie A, on a : .
D’après la question précédente, on a :
D’après la question 1. de la partie A, le couple ( ; ) définit aussi un TRPI.
Si le couple ( ; ) définit un TRPI, alors le couple ( ; ) définit aussi un TRPI.
Montrons le résultat par récurrence.
Initialisation :
Le couple définit un TRPI d’après la question 2. de la partie A.
Le résultat est vrai au rang .
Hypothèse de récurrence :
Soit tel que le couple ( ; ) définisse un TRPI.
Montrons que le couple ( ; ) définit un TRPI.
D’après les questions 1. a. et 1. b. de la partie B, le couple ( ; ) tel que :
définit un TRPI.
La propriété est vraie au rang .
Pour tout , le couple ( ; ) définit un TRPI.
Consulter la fiche : Savoir mener un raisonnement par récurrence
D’après la question 1. a. de la partie B, on a :
.
.
.
.
Le premier TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à est le couple ( ; ).
On vérifie que .