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Sujet bac ES/L - Annale mathématiques 2017 - Corrigé
Fiche annale

Mathématiques 2017
Corrigé bac S

Exercice 1

Partie A

Pour tout réel positif xx, h(x)=xex=xex=1exxh(x) = x {\mathrm{e}}^{-x} = \dfrac{x}{{\mathrm{e}}^x}= \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}.
limx+exx=+\lim\limits{x\to +\infty} \dfrac{{\mathrm{e}}^x}{x} = +\infty d’après les croissances comparées en ++\infty.
Nous avons donc limx+1exx=0\lim\limits
{x\to +\infty}\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}=0 d’après les opérations sur les limites.
limx+h(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty} h(x) = 0.

bannière astuce

Astuce

limx+1x=0\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0

Pour tout réel positif xx, h(x)=xexh(x) = \dfrac{x}{{\mathrm{e}}^x}.
La fonction hh est dérivable sur [0 ; +][0~;~+\infty] en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle et car la fonctione exponentielle ne s’annule pas sur cet intervalle.
Pour tout réel positif xx,
h(x)=ex×1x×ex(ex)2=(1x)ex(ex)2h'(x) = \dfrac{{\mathrm{e}}^x \times 1 - x \times {\mathrm{e}}^x}{{({\mathrm{e}}^x)}^2}= \dfrac{(1 - x){\mathrm{e}}^x}{{({\mathrm{e}}^x)}^2}
h(x)=1xexh'(x) = \dfrac{1 - x}{{\mathrm{e}}^x}.

bannière astuce

Astuce

  • Pour uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II, et vv qui ne s’annule pas sur cet intervalle, on a : (uv)=v×uu×vv2(\dfrac{u}{v})' = \dfrac{v\times u' - u\times v'}{v^2}.
  • La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle [0 ; +][0~;~+\infty] donc le signe de hh' sur cet intervalle est celui de 1x1 - x.
Sur l’intervalle [0 ; +][0~;~+\infty] :
h(x)>0    1x>0    1>x    0x<1h'(x) > 0 \ \ \textcolor{blue}{\Leftrightarrow}\ \ 1 - x > 0 \ \ \textcolor{blue}{\Leftrightarrow}\ \ 1 > x \ \ \textcolor{blue}{\Leftrightarrow} \ \ 0 \leq x < 1.

h(x)<0    1x<0    1<x    x>1h'(x) < 0 \ \ \textcolor{blue}{\Leftrightarrow}\ \ 1 - x < 0 \ \ \textcolor{blue}{\Leftrightarrow}\ \ 1 < x \ \ \textcolor{blue}{\Leftrightarrow}\ \ x > 1.

h(x)=0    x=1h'(x) = 0 \ \ \textcolor{blue}{\Leftrightarrow}\ \ x = 1.

La fonction hh est donc strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 1][0~;~1] et strictement décroissante sur l’intervalle [1 ; +][1~;~+\infty].
h(0)=0×e0=0h(0) = 0\times {\mathrm{e}}^0 = 0 et h(1)=1×e1=1e0,37h(1) = 1\times {\mathrm{e}}^{-1} = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx 0,37 au centième près.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

tableau variation

a. Pour tout réel positif xx,
exh(x)=1ex1xex=1(1x)ex=xex{\mathrm{e}}^{-x} - h'(x) = \dfrac{1}{{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1 - x}{{\mathrm{e}}^x} = \dfrac{1 - (1 - x)}{{\mathrm{e}}^x} = \dfrac{x}{{\mathrm{e}}^x}.
exh(x)=h(x){\mathrm{e}}^{-x} - h'(x) = h(x).

b. Une primitive de la fonction xexx\mapsto {\mathrm{e}}^{-x} est la fonction xexx\mapsto - {\mathrm{e}}^{-x}.

bannière astuce

Astuce

Une primitive de la fonction ff sur un intervalle II où elle est continue est la fonction FF qui vérifie :
F(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur cet intervalle I.
Consulter la fiche : Vérifier qu’une fonction F est la primitive d’une fonction f

c. On note HH une primitive de la fonction hh sur l’intervalle [0 ; +][0~;~+\infty].
D’après les questions 3. a et 3. b, sur cet intervalle :
H(x)=exh(x)H(x) = -{\mathrm{e}}^{-x} - h(x)
H(x)=exxexH(x) = -{\mathrm{e}}^{-x} - x {\mathrm{e}}^{-x}
H(x)=(1+x)exH(x) = -(1 + x) {\mathrm{e}}^{-x}

Partie B

a. La fonction ff étant située au-dessus de la fonction gg sur l’intervalle [0 ; +][0~;~+\infty] :
MN=f(x)g(x)=xex=h(x)\text{MN} = f(x) - g(x) = x {\mathrm{e}}^{-x} = h(x).
D’après la question 2. de la partie A, la distance MN\text{MN} est maximale lorsque x=1x = 1 et, pour cette valeur, MN=h(1)=1e\text{MN} = h(1) = \dfrac{1}{\mathrm{e}}.

b. Les points MM et NN correspondant à la valeur maximale de MNMN sont d’abscisse 11. {f(1)=1×e1+In(1+1)=e1+In21,061g(1)=ln20,693\begin{cases} f(1) = 1\times e^{-1} + In(1+1) = e^{-1} + In2\approx 1,061\ g(1) = ln2 \approx 0,693 \end{cases}.

fonction

a.

fonction Légende

b. Pour λ\lambda un réel positif fixé, la fonction ff est située au-dessus de la fonction gg sur l’intervalle [0 ; λ][0~;~\lambda], donc la fonction fgf-g est positive sur cet intervalle.
Par définition, l’aire AλA{\lambda} du domaine DλD{\lambda} est en unités d’aire :
Aλ=0λf(x)g(x)dx=0λh(x)dxA{\lambda} = \int0^{\lambda} f(x) - g(x) \mathrm{d}x = \int0^{\lambda} h(x) \mathrm{d}x
Aλ=[H(x)]0λA
{\lambda} = [H(x)]0^{\lambda}
Aλ=H(λ)H(0)A
{\lambda} = H(\lambda) - H(0)
Aλ=(1+λ)eλ[(1+0)e0]A{\lambda} = -(1 + \lambda) {\mathrm{e}}^{-\lambda}- [-(1 + 0) {\mathrm{e}}^0]
Aλ=(1+λ)eλ+1A
{\lambda} = -(1 + \lambda) {\mathrm{e}}^{-\lambda} + 1
Aλ=1λ+1eλA_{\lambda} = 1 - \dfrac{\lambda + 1}{{\mathrm{e}}^{\lambda}}

c. Pour λ\lambda un réel positif fixé, Aλ=1λeλ1eλA{\lambda} = 1 - \dfrac{\lambda}{{\mathrm{e}}^{\lambda}} - \dfrac{1}{{\mathrm{e}}^{\lambda}} limλ+λeλ=0\lim\limits{\lambda \to + \infty} \dfrac{\lambda}{{\mathrm{e}}^{\lambda}} = 0 et limλ+1eλ=0\lim\limits{\lambda \to + \infty} \dfrac{1}{{\mathrm{e}}^{\lambda}} = 0 donc, d’après les opérations sur les limites :
limλ+Aλ=1\lim
{\lambda \to + \infty} A_{\lambda} = 1.

Lorsque λ\lambda tend vers ++\infty, l’aire du domaine du plan DλD{\lambda} délimité par les courbes CfCf et CgC_g, et par les droites d’équations x=0x = 0 et x=λx = \lambda tend vers 11.

a. À la calculatrice :
λ=0  A0=10+1e0=11=0<S=0,8\lambda=0 \rightarrow\ \ A_0 = 1 - \dfrac{0 + 1}{{\mathrm{e}}^0} = 1 - 1 = 0 < S=0,8

λ=1  A1=11+1e1=12e0,264<S=0,8\lambda=1 \rightarrow\ \ A_1 = 1 - \dfrac{1+1}{{\mathrm{e}}^1} = 1 - \dfrac{2}{{\mathrm{e}}} \approx 0,264 < S=0,8

λ=2  A2=12+1e2=13e20,594<S=0,8\lambda=2 \rightarrow\ \ A_2 = 1 - \dfrac{2+1}{{\mathrm{e}}^2} = 1 - \dfrac{3}{{\mathrm{e}}^2} \approx 0,594 < S=0,8

λ=3  A3=13+1e3=14e30,801>S=0,8\lambda=3 \rightarrow\ \ A_3 = 1 - \dfrac{3+1}{{\mathrm{e}}^3} = 1 - \dfrac{4}{{\mathrm{e}}^3} \approx 0,801 > S=0,8

L’algorithme retourne la valeur de λ\lambda qui est 33.

bannière astuce

Astuce

Consulter la fiche : Découvrir les algorithmes

b. Cet algorithme calcule la plus petite valeur entière telle que AλA_{\lambda} soit supérieure ou égale à la valeur SS donnée.

Exercice 2

Le point AA appartient au plan PP si ses coordonnées vérifient l’équation de PP.
Soit aa un nombre réel.
A(1 ;a ;a2)PA(1\ ;a\ ; a^2) \in P \Longleftrightarrow 2×1a23=a21<02\times 1 - a^2 - 3 = -a^2 - 1 < 0
Donc les coordonnées A(1 ;a ;a2)A(1\ ; a\ ;a^2) du point AA ne peuvent pas vérifier l’équation cartésienne 2xz3=02x - z - 3 = 0 du plan PP.
Quelle que soit la valeur de aa, le point AA n’appartient pas au plan PP.

a. Soit u\vec{u} un vecteur directeur de la droite DD.
u\vec{u} est un vecteur normal au plan PP donc le vecteur u(2 ;0 ;1)\vec{u} (2 \ ; 0\ ; -1) convient.
Une représentation paramétrique de la droite DD (de paramètre tt) passant par le point A(1 ;a ;a2)A(1\ ; a\ ; a^2) et orthogonale à PP est :

{x=1+2ty=az=a2t\left\lbrace \begin{aligned} x&=1+2t \y&=a \ z&=a^2-t \end{aligned} \right. , tR,\ t \in \mathbb{R}

b. Le vecteur AM\overrightarrow\mathrm{AM} a pour coordonnées AM (2t ;0 ;t)\overrightarrow{\mathrm{AM}}\ (2t\ ; 0\ ; -t).
On a donc :
AM=(2t)2+(t)2AM = \sqrt{{(2t)}^2 + {(-t)}^2} = 4t2+t2\sqrt{4t^2 + t^2} = 5t2\sqrt{5t^2} = t5\mid t \mid \sqrt{5}.

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Astuce

Pour un nombre réel xx, x2=x\sqrt{x^2} = \mid x \mid.

Consulter la fiche : Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux points

Le point H(x ;y ;z)H(x\ ; y\ ; z) appartient au plan PP et à la droite DD donc :
{x=1+2ty=az=a2t2xz3=0\left \lbrace \begin{aligned} &x = 1 + 2t \& y = a \& z = a^2 - t \ &2x - z - 3 = 0 \end{aligned} \right.

On a donc :
2(1+2t)(a2t)32(1 + 2t) - (a^2 - t) - 3
=2+4ta2+t3= 2 + 4t - a^2 + t - 3
=5ta21=0= 5t - a^2 - 1 = 0, puis 5t=a2+15t = a^2 + 1 et t=a2+15t = \dfrac{a^2 + 1}{5}.

HH appartient à la droite DD donc :
AH=t5AH = \mid t \mid \sqrt{5} = a2+155\dfrac{a^2 + 1}{5} \sqrt{5}.
Cette valeur est minimale lorsque a=0a = 0 et on a dans ce cas AH=55AH = \dfrac{\sqrt{5}}{5}.
C’est pour le point A(1 ;0 ;0)A(1\ ; 0\ ; 0) que la distance AHAH du point AA au plan PP est minimale.

Exercice 3

Partie A

On a 40<r<6040 < r < 60 et π4<θ<π2\dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2}.
C’est donc la proposition C qui convient.

a. Le module de zz est 7070 qui est compris entre 6060 et 8080, donc le numéro de la zone est 44.
Un argument de zz est π3-\dfrac{\pi}{3} qui est compris entre π2-\dfrac{\pi}{2} et π4-\dfrac{\pi}{4}, donc la lettre de la zone est G.
Le secteur de l’impact de foudre est G4.

b. On a z=453+45i=45×2×(32+12i)=90ei5π6z = -45\sqrt{3} + 45i = 45\times 2\times (-\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} i) = 90e^{i\frac{5\pi}{6}}. Le module de zz est 9090 qui est compris entre 8080 et 100100, donc le numéro de la zone est 55.
Un argument de zz est 5π6\dfrac{5\pi}{6} qui est compris entre 3π2\dfrac{3\pi}{2} et π\pi, donc la lettre de la zone est D.
Le secteur de l’impact de foudre est D5.

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Astuce

cos(θ)=32cos(\theta)= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin(θ)=+12sin(\theta)= + \dfrac{1}{2} correspondent à θ=5π6\theta = \dfrac{5\pi}{6}

Consulter la fiche : Savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Partie B

À la calculatrice, P(M<0)0P(M < 0) \approx 0 au millième près.
La variable aléatoire MM modélisant le module d’un nombre complexe, il est normal qu’elle ne puisse pas être négative.

On a P(40<M<60)=P(μ2×σ<M<μ+2×σ)0,954P(40 < M < 60) = P(\mu - 2\times \sigma < M < \mu + 2 \times \sigma) \approx 0,954 au centième près, d’après le cours ou à la calculatrice.

Il s’agit de calculer la probabilité P(40<M<60π4<T<π2)P({40 < M < 60} \cap {\dfrac{\pi}{4} < T < \dfrac{\pi}{2}}).
Les évènements 40<M<60{40 < M < 60} et π4<T<π2{\dfrac{\pi}{4} < T < \dfrac{\pi}{2}} étant indépendants, on a :
P(40<M<60π4<T<π2)=P(40<M<60)×P(π4<T<π2)P({40 < M < 60} \cap {\dfrac{\pi}{4} < T < \dfrac{\pi}{2}}) = P(40 < M < 60) \times P({\dfrac{\pi}{4} < T < \dfrac{\pi}{2}}).

P(40<M<60π4<T<π2)0,954×0,8190,7813260,781P({40 < M < 60} \cap {\dfrac{\pi}{4} < T < \dfrac{\pi}{2}}) \approx 0,954\times 0,819 \approx 0,781326 \approx 0,781 au millième près.
La probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation est d’environ 0,7810,781.

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Astuce

Si AA et BB sont deux évènements indépendants, on a P(AB)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Exercice 4

Partie A

D’après l’énoncé : parmi les individus de type SS en semaine 00, on observe qu’en semaine 1:85 %1 : 85\ \% restent de type SS, 5 %5\ \% deviennent malades et 10 %10\ \% deviennent immunisés.
On a donc : P(S1)=85100=0,85P(S1) = \dfrac{85}{100} = 0,85 ; P(M1)=5100=0,05P(M1) = \dfrac{5}{100} = 0,05 ; P(I1)=10100=0,1P(I_1) = \dfrac{10}{100} = 0,1.

De même, parmi les individus de type SS en semaine 1, on observe qu’en semaine 2 :
85%85 \% restent de type SS, 5 %5\ \% deviennent malades et 10 %10\ \% deviennent immunisés.
On a donc : PS1(S2)=0,85P{S1}(S2) = 0,85 ; PS1(M2)=0,05P{S1}(M2) = 0,05 ; PS1(I2)=0,1P{S1}(I_2) = 0,1.

D’après l’énoncé : parmi les individus malades en semaine 1, on observe qu’en semaine 2 :
65 %65\ \% restent malades, et 35 %35\ \% sont guéris et deviennent immunisés.
On a donc : PM1(M2)=65100=0,65P{M1}(M2) = \dfrac{65}{100} = 0,65 ; PM1(I2)=35100=0,35P{M1}(I2) = \dfrac{35}{100} = 0,35.
On obtient l’arbre de probabilités suivant :

arbre probabilité

Les évènements S1S1, M1M1 et I1I1 forment une partition donc, d’après la formule des probabilités totales :
P(I2)=P(S1I2)P(I
2) = P(S1 \cap I2) + P(M1I2)P(M1 \cap I2) + P(I1I2)P(I1 \cap I2)
P(I2)=P(S1)×PS1(I2)+P(M1)×PM1(I2)+P(I1)×PI1(I2)P(I2) = P(S1)\times P{S1}(I2) + P(M1)\times P{M1}(I2) + P(I1)\times P{I1}(I2)
P(I2)=0,85×0,1+0,05×0,35+0,1×1P(I
2) = 0,85\times 0,1 + 0,05 \times 0,35 + 0,1\times 1
P(I2)=0,085+0,0175+0,1P(I2) = 0,085 + 0,0175 + 0,1
P(I2)=0,2025P(I
2) = 0,2025.

Il s’agit de calculer la probabilité PI2(M1)P{I2}(M1).
D’après la définition des probabilités conditionnelles :
PI2(M1)=P(I2M1)P(I2)P
{I2}(M1) = \dfrac{P(I2 \cap M1)}{P(I_2)}

PI2(M1)=P(M1)×PM1(I2)P(I2)P{I2}(M1) = \dfrac{P(M1)\times P{M1}(I2)}{P(I2)} en réutilisant la formule des probabilités totales

PI2(M1)=0,05×0,350,2025P{I2}(M_1) = \dfrac{0,05 \times 0,35}{0,2025} en remplaçant par les valeurs numériques

PI2(M1)0,086P{I2}(M_1) \approx 0,086 au millième près.
Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, la probabilité qu’il ait été malade en semaine 1 est d’environ 0,0860,086.