BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2010
MATHÉMATIQUES
Série S
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. |
Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré
EXERCICE 1 : (6 points)
Commun à tous les candidats
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A :
On considère l’équation différentielle :
1) Montrer que la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels est une solution de l’équation différentielle .
2) On considère l’équation différentielle : : Résoudre l’équation différentielle .
3) Soit une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction est une solution de l'équation différentielle si et seulment si la fonction est solution de l'équation différentielle .
4) En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle .
5) Déterminer l’unique solution de l’équation différentielle telle que .
Partie B :
On considère la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par où est un nombre réel donné.
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.
1) Montrer que la fonction admet un maximum en
2) On note le point de la courbe d’abcisse . Montrer que le point appartient à la courbe d’équation .
3) Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas.
Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :
- la courbe d’équation ;
- la courbe d’équation pour un certain nombre réel donné.
a) Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).
b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.
4) À l’aide d’une intégration par parties, calculer de cette intégrale. Donner une interprétation graphique.
EXERCICE 2 : (5 points)
Commun à tous les candidats
1) Restitution organisée de connaissances.
Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si et sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers .
Propriété 1 : si deux suites et sont adjacentes avec croissante et décroissante alors, pour tout entier naturel ,
Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
2) Dans les cas suivants, les suites et ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ?
Justifier les réponses.
a) et ;
b) et ;
c)
et
;
3) On considère un nombre réel positif et les suites et définies pour tout nombre entier naturel non nul par : et
Existe-t-il une valeur de telle que les suites soient adjacentes ?
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EXERCICE 3 : (4 points)
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1) Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
2) De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
3) De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro 1.
Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule blanche est égale à :
4) On note une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre ( étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l’événement est égale à :
EXERCICE 4 : (5 points)
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Dans tout l’exercice, est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm).
On désigne par le point d’affixe .
1) On considère la transformation du plan qui, à tout point d’affixe , associe le point d’affixe .
a) Déterminer les images respectives par la transformation du point et du point d’affixe .
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
c) Déterminer l’image par la transformation du cercle (c) de centre et de rayon 1.
2) (c') désigne le cercle de centre d'affixe 2 et de rayon 1.
a) Construire le point appartenant au cercle (c’) tel que : [modulo ]
b) À tout point du cercle (c) d’affixe , on associe le point du cercle (c') d’affixe tel que : [modulo ]
Déterminer le module et un argument de . En déduire que
c) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation qui à tout point du plan d'affixe associe le point d'affixe associe le point d'affixe telle que
3) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
À tout point du plan, on associe le point milieu du segment .
Quel est le lieu géométrique du point lorsque décrit le cercle (c) ?
ANNEXE 1 (Exercice 1)
(à rendre avec la copie)