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Marianne

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Sujet bac S - Annale mathématiques 2010 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2010

MATHÉMATIQUES

Série S

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré

EXERCICE 1 : (6 points)

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

On considère l’équation différentielle (E)(E): y+y=exy'+y= e^{-x}

1) Montrer que la fonction uu définie sur l’ensemble des nombres réels RR est une solution de l’équation différentielle (E)(E).

2) On considère l’équation différentielle (E)(E'): y+y=0y+y'=0 : Résoudre l’équation différentielle (E)(E').

3) Soit vv une fonction définie et dérivable sur RR. Montrer que la fonction vv est une solution de l'équation différentielle (E)(E) si et seulment si la fonction vuv-u est solution de l'équation différentielle (E)(E').

4) En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E)(E).

5) Déterminer l’unique solution gg de l’équation différentielle (E)(E) telle que g(0)=2g(0)=2.

Partie B :

On considère la fonction fkfk définie sur l’ensemble RR des nombres réels par fk(x)=(x+k)exfk(x)=(x+k)e^{-x}kk est un nombre réel donné.

On note CkCk la courbe représentative de la fonction fkfk dans un repère orthogonal.

1) Montrer que la fonction fkf_k admet un maximum en 1k1-k

2) On note MkMk le point de la courbe CkCk d’abcisse 1k1-k. Montrer que le point MkM_k appartient à la courbe TT d’équation y=exy=e^{-x}.

3) Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas.

Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

  • la courbe TT d’équation y=exy=e^{-x} ;
  • la courbe CkC_k d’équation y=(x+k)exy=(x+k)e^{-x} pour un certain nombre réel kk donné.

a) Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).

b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel kk correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.

4) À l’aide d’une intégration par parties, calculer 02(x+2)exdx\int_0^2 (x+2)e^{-x} dx de cette intégrale. Donner une interprétation graphique.

EXERCICE 2 : (5 points)

Commun à tous les candidats

1) Restitution organisée de connaissances.

Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (un)(un) et (vn)(vn) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 00.

Propriété 1 : si deux suites (un)(un) et (vn)(vn) sont adjacentes avec (un)(un) croissante et (vn)(vn) décroissante alors, pour tout entier naturel nn, vn<mo

unvn > un .

Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

2) Dans les cas suivants, les suites (un)(un) et (vn)(vn) ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ?

Justifier les réponses.

a) (un)=110n(un) = 1 - 10^{- n} et (vn)=1+10n(vn) = 1 + 10^{- n} ;

b) (un)=ln(n+1)(un) = ln (n + 1) et (vn)=ln(n+1)+1n(vn) = ln (n + 1) + \frac{1}{n} ;

c) (un)=11n(u_n)= 1 -\frac{1}{n}

et

(vn)=1+(1)nn(v_n)=1+\frac{(-1)^n}{n} ;

3) On considère un nombre réel aa positif et les suites (un)(un) et (vn)(vn) définies pour tout nombre entier naturel nn non nul par : (un)=11n(un) = 1 -\frac{1}{n} et vn=ln(a+1n)vn= ln(a+\frac {1}{n})

Existe-t-il une valeur de aa telle que les suites soient adjacentes ?

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EXERCICE 3 : (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

1) Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :

  • 2140\dfrac {21}{40}
  • 710×69×13\dfrac {7}{10} \times \dfrac {6}{9} \times \dfrac {1}{3}
  • 710×710×13\dfrac {7}{10} \times\dfrac {7}{10} \times \dfrac {1}{3}

2) De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :

  • 33×72105\dfrac {3^3\times 7^2}{10^5}
  • (52)×(310)2×(710)3\dbinom{5}{2} \times \bigg(\dfrac{3}{10}\bigg)^2\times \bigg(\dfrac{7}{10}\bigg)^3
  • (52)×(310)3×(710)2\dbinom{5}{2} \times \bigg(\dfrac{3}{10}\bigg)^3\times \bigg(\dfrac{7}{10}\bigg)^2

3) De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro 1.

Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule blanche est égale à :

  • 760\dfrac {7}{60}
  • 1423\dfrac {14}{23}
  • 710×1612×16×12×14\dfrac {\dfrac {7}{10} \times \dfrac {1}{6}}{\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}}

4) On note XX une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda (λ\lambda étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l’événement [1X3][1 \leq X \leq 3] est égale à :

  • eλe3λe^{-\lambda} - e^{-3\lambda}
  • e3λeλe^{-3\lambda}-e^{-\lambda}
  • eλe3λ\dfrac {e^{-\lambda}}{e^{-3\lambda}}

EXERCICE 4 : (5 points)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans tout l’exercice, (0 ;i,j)( 0\ ; \vec i, \vec j) est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm).

On désigne par AA le point d’affixe zA=1z_A = 1.

1) On considère la transformation TT du plan qui, à tout point MM d’affixe zz, associe le point d’affixe zˉ+2-\bar z +2.

a) Déterminer les images respectives par la transformation TT du point AA et du point Ω\Omega d’affixe 1+i31+i\sqrt 3.

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation TT.

c) Déterminer l’image par la transformation TT du cercle (c) de centre OO et de rayon 1.

2) (c') désigne le cercle de centre OO' d'affixe 2 et de rayon 1.

a) Construire le point AA' appartenant au cercle (c’) tel que : (OA,OA)=π3(\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {O'A'}) = \frac {\pi}{3} [modulo 2π2 \pi]

b) À tout point MM du cercle (c) d’affixe zz, on associe le point MM' du cercle (c') d’affixe zz' tel que : (OM ;OM)=π3(\overrightarrow {OM}\ ; \overrightarrow {O'M'})= \frac {\pi}{3} [modulo 2π2 \pi]

Déterminer le module et un argument de z2z\frac {z'-2}{z}. En déduire que z=eiπ3z+2z'= e^{i\frac {\pi}{3}}z+2

c) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation rr qui à tout point MM du plan d'affixe zz associe le point MM' d'affixe zz associe le point MM' d'affixe zz' telle que z=eiπ3z+2z'= e^{i\frac {\pi}{3}}z+2

3) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

À tout point MM du plan, on associe le point M1M1 milieu du segment [MM][MM'].
Quel est le lieu géométrique du point M1M
1 lorsque MM décrit le cercle (c) ?

ANNEXE 1 (Exercice 1)

(à rendre avec la copie)

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