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Sujet bac S - Annale mathématiques 2014 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2014

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par C1C1 la courbe représentative de la fonction f1f1 définie sur RR par :

f1(x)=x+exf_1(x) = x + e^{-x}

1. Justifier que C1C_1 passe par le point AA de coordonnées (0,1)(0,1).

2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f1f1 . On précisera les limites de f1f1 en ++\infty et en -\infty.

Partie B

L’objet de cette partie est d’étudier la suite (In)(In) définie sur NN par : In=01(x+enx)dxIn=\int^{1}_{0}(x+e^{-nx})dx

1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ;i,j)(O\ ; \overrightarrow i, \overrightarrow j), pour tout entier naturel nn, on note CnCn la courbe représentative de la fonction ff n définie sur RR par fn(x)=x+enxfn(x) = x + e^{-nx}.
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe CnC_n pour plusieurs valeurs de l’entier nn et la droite DD d’équation x=1x = 1.

Alt texte

a. Interpréter géométriquement l’intégrale InI_n.

b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In)(I_n) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.

2. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 11, In+1In=01e(n+1)x(1ex)dxI{n+1} - In =\int ^{1}_{0} e^{-(n+1)x}(1-e^{x})dx

En déduire le signe de In+1InI{n+1} - In puis démontrer que la suite (In)(I_n) est convergente.

3. Déterminer l’expression de InIn en fonction de nn et déterminer la limite de la suite (In)(In ).

EXERCICE 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties AA et BB peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :

– la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est 0,99 ;

– la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,001.

1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,1 %. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.

On note MM l’évènement « la personne choisie est malade » et TT l’évènement « le test est positif ».

a. Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.

b. Démontrer que la probabilité P(T)P(T) de l’évènement TT est égale à 1,989×1031, 989 \times 10^{-3}.

c. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.

Affirmation : « Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade ».

2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0, 95. On désigne par xx la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie dans la population.

À partir de quelle valeur de xx le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?

Partie B

La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament. 1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire XX qui suit la loi normale N(μσ2)N (\mu \sigma^2 ) de moyenne μ=900\mu = 900 et d’écart-type σ=7\sigma = 7.

a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10−2.

b. Déterminer l’entier positif hh tel que P(900hX900+h)0,99P (900 - h \leq X \leq 900 + h) \approx 0, 99 à 10−3 près.

2. La chaine de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins 97 % de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages successifs avec remise.

Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé. Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

EXERCICE 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

On désigne par (E)(E) l’équation z4+4z2+16=0z^4 + 4z^2 + 16 = 0 d’inconnue complexe zz.

1. Résoudre dans CC l’équation Z2+4Z+16=0Z^2 + 4Z + 16 = 0.

Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.

2. On désigne par aa le nombre complexe dont le module est égal à 22 et dont un argument est π\pi égal à π3\frac{\pi}{3}.

Calculer a2a^2 sous forme algébrique.

En déduire les solutions dans CC de l’équation z2=2+2i3z^2 = -2 + 2 i\sqrt3. On écrira les solutions sous forme algébrique.

3. Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z=x+iyz = x + i yxRx ∈ R et yRy ∈ R, le conjugué de zz est le nombre complexe zˉ\bar z défini par z=xiy\overline z = x - i y.

Démontrer que :

– Pour tous nombres complexes z1z1 et z2z2, z1z2=z1z2\overline {z1 z2} = \overline {z1} \overline{z2} .

– Pour tout nombre complexe zz et tout entier naturel non nul nn, zn=(z)n\overline {z^n} = (\overline{z})^n.

4. Démontrer que si zz est une solution de l’équation (E)(E) alors son conjugué zz est également une solution de (E)(E).
En déduire les solutions dans CC de l’équation (E)(E). On admettra que (E)(E) admet au plus quatre solutions.

EXERCICE 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un pisciculteur dispose de deux bassins AA et BB pour l’élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

– il vide le bassin BB et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin AA dans le bassin BB ;

– la vente de chaque poisson permet l’achat de deux petits poissons destinés au bassin AA.

Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200200 poissons pour le bassin AA et 100100 poissons pour le bassin BB. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 11, on note respectivement anan et bnbn les effectifs de poissons des bassins AA et BB au bout de nn années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin AA est a0=200a0 = 200 et celui du bassin BB est b0=100b0 = 100.

1. Justifier que a1=400a1 = 400 et b1=300b1 = 300 puis calculer a2a2 et b2b2.

2. On désigne par AA et BB les matrices telles que A=(0210)A =\begin{pmatrix} 0&2\ 1&0\ \end{pmatrix}\: et B=(200100)B =\begin{pmatrix} 200\ 100\ \end{pmatrix}\: et pour tout entier naturel nn, on pose Xn=(anbn)Xn =\begin{pmatrix} an\ b_n\ \end{pmatrix}\:

a. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel nn, Xn+1=AXn+BXn+1 = AXn + B.

b. Déterminer les réels xx et yy tels que (xy)=A(xy)+B\begin{pmatrix} x\ y\ \end{pmatrix}\: = A\begin{pmatrix} x\ y\ \end{pmatrix}\:+B

c. Pour tout entier naturel nn, on pose Yn=(an+400bn+300)Yn = \begin{pmatrix} an+400\ b_n+300\ \end{pmatrix}\:

Démontrer que pour tout entier naturel nn, Yn+1=AYnY{n+1} = AYn.

3. Pour tout entier naturel nn, on pose Zn=Y2nZn = Y{2n}.

a. Démontrer que pour tout entier naturel nn, Zn+1=A2ZnZ{n+1} = A^2 Zn. En déduire que pour tout entier naturel nn, Zn+1=2ZnZn+1 = 2Zn.

b. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel nn,

Y2n=2nY0Y{2n} = 2^n Y0.

En déduire que Y2n+1=2nY1Y2n+1 = 2^n Y1 puis démontrer que pour tout entier naturel nn,

a2n=600×2n400a{2n} = 600 \times 2^n - 400 et a2n+1=800×2n400a{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.

4. Le bassin AA a une capacité limitée à 1000010 000 poissons.

a. On donne l’algorithme suivant.

Alt texte

b. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d’années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.