Sujet bac S - Annale mathématiques 2014 - spécialité

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2014

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ 1 $f_{1}$ définie sur $R$ par :

$f_1(x) = x + e^{-x}$

1. Justifier que $C_1$ passe par le point $A$ de coordonnées $(0,1)$ .

2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$ . On précisera les limites de $f$ 1 $f_{1}$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Partie B

L’objet de cette partie est d’étudier la suite $(I$ définie sur $N$ par : $I$ n=\int^{1}_{0}(x+e^{-nx})dx $I_{n} = \int_{0}^{1} (x + e^{- n x}) d x$

1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O\ ; \overrightarrow i, \overrightarrow j)$ , pour tout entier naturel $n$ , on note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ n définie sur $R$ par $f$ n(x) = x + e^{-nx} $f_{n} (x) = x + e^{- n x}$ .
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $C_n$ pour plusieurs valeurs de l’entier $n$ et la droite $D$ d’équation $x = 1$ .

Alt texte

a. Interpréter géométriquement l’intégrale $I_n$ .

b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $(I_n)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.

2. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à $1$ , $I$

En déduire le signe de $I$ puis démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente.

3. Déterminer l’expression de $I$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $(I$ n ) $(I_{n})$ .

EXERCICE 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties $A$ et $B$ peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :

– la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est 0,99 ;

– la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,001.

1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,1 %. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.

On note $M$ l’évènement « la personne choisie est malade » et $T$ l’évènement « le test est positif ».

a. Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.

b. Démontrer que la probabilité $P(T)$ de l’évènement $T$ est égale à $1, 989 \times 10^{-3}$ .

c. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.

Affirmation : « Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade ».

2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0, 95. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie dans la population.

À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?

Partie B

La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament. 1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $N (\mu \sigma^2 )$ de moyenne $\mu = 900$ et d’écart-type $\sigma = 7$ .

a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10⁻².

b. Déterminer l’entier positif $h$ tel que $P (900 - h \leq X \leq 900 + h) \approx 0, 99$ à 10⁻³ près.

2. La chaine de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins 97 % de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages successifs avec remise.

Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé. Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

EXERCICE 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

On désigne par $(E)$ l’équation $z^4 + 4z^2 + 16 = 0$ d’inconnue complexe $z$ .

1. Résoudre dans $C$ l’équation $Z^2 + 4Z + 16 = 0$ .

Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.

2. On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à $2$ et dont un argument est $\pi$ égal à $\frac{\pi}{3}$ .

Calculer $a^2$ sous forme algébrique.

En déduire les solutions dans $C$ de l’équation $z^2 = -2 + 2 i\sqrt3$ . On écrira les solutions sous forme algébrique.

3. Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + i y$ où $x ∈ R$ et $y ∈ R$ , le conjugué de $z$ est le nombre complexe $\bar z$ défini par $\overline z = x - i y$ .

Démontrer que :

– Pour tous nombres complexes $z$ et $z$ 2 $z_{2}$ , $\overline {z$ .

– Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$ , $\overline {z^n} = (\overline{z})^n$ .

4. Démontrer que si $z$ est une solution de l’équation $(E)$ alors son conjugué $z$ est également une solution de $(E)$ .
En déduire les solutions dans $C$ de l’équation $(E)$ . On admettra que $(E)$ admet au plus quatre solutions.

EXERCICE 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un pisciculteur dispose de deux bassins $A$ et $B$ pour l’élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

– il vide le bassin $B$ et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin $A$ dans le bassin $B$ ;

– la vente de chaque poisson permet l’achat de deux petits poissons destinés au bassin $A$ .

Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus $200$ poissons pour le bassin $A$ et $100$ poissons pour le bassin $B$ . Pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$ , on note respectivement $a$ et $b$ n $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins $A$ et $B$ au bout de $n$ années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin $A$ est $a$ et celui du bassin $B$ est $b$ 0 = 100 $b_{0} = 100$ .

1. Justifier que $a$ et $b$ 1 = 300 $b_{1} = 300$ puis calculer $a$ et $b$ 2 $b_{2}$ .

2. On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A =\begin{pmatrix} 0&2\ 1&0\ \end{pmatrix}\:$ et $B =\begin{pmatrix} 200\ 100\ \end{pmatrix}\:$ et pour tout entier naturel $n$ , on pose $X$

a. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$ , $X$ .

b. Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix} x\ y\ \end{pmatrix}\: = A\begin{pmatrix} x\ y\ \end{pmatrix}\:+B$

c. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $Y$

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $Y$ .

3. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $Z$ .

a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $Z$ . En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $Z$ .

b. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$ ,

$Y$ .

En déduire que $Y$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$ ,

$a$ et $a$ {2n+1} = 800 \times 2^n - 400 $a_{2 n + 1} = 800 \times 2^{n} - 400$ .

4. Le bassin $A$ a une capacité limitée à $10 000$ poissons.

a. On donne l’algorithme suivant.

Alt texte

b. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d’années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.