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Sujet bac S - Annale mathématiques 2016 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2016

MATHÉMATIQUES

Série S

Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9

ENSEIGNEMENT SPÉCIALITÉ

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.

Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

AA l’événement « le composant provient de la chaîne A »

BB l’événement « le composant provient de la chaîne B »

SS l’événement « le composant est sans défaut »

1. Montrer que la probabilité de l’événement SS est P(S)=0,89P(S ) = 0,89.

2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10-2 près.

Partie B

Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion pp de composants sans défaut. Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.

1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.

2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?

Partie C

La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire TT qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda (où λ\lambda est un nombre réel strictement positif).

On note ff la fonction densité associée à la variable aléatoire TT. On rappelle que :

– pour tout nombre réel x0x \geq 0, f(x)=λeλxf ( x) = \lambda e^{ \lambda x}

– pour tout nombre réel a0a \geq 0, P(Ta)=0af(x)dxP(T \leq a) =\int^a_0 f ( x) dx.

1. La courbe représentative CC de la fonction ff est donnée ci-dessous.

Alt texte

a. Interpréter graphiquement P(Ta)P(T \leq a)a<mo

0.a > 0.

b. Montrer que pour tout nombre réel t0:P(Tt)=1eλtt \geq 0 : P(T \leq t ) = 1 - e^{ \lambda t} .

c. En déduire que lim{t+}P(Tt)=1\lim\limits_{t\to +\infty}{{P(T\leq t)}}=1

>

2. On suppose que P(T7)=0,5P(T \leq 7) = 0,5. Déterminer λ\lambda à 10310^{-3} près.

3. Dans cette question on prend λ=0,099\lambda = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.

a. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.

b. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.

Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.

c. Donner l'espérance mathématique E(T)E(T) de la variable aléatoire TT à l'unité près.

Interpréter ce résultat.

Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé on donne les points : A(1 , 2 , 3)A(1\ ,\ 2\ ,\ 3), B(3 , 0 , 1)B(3 \ ,\ 0\ ,\ 1), C(1 , 0 , 1)C(-1\ ,\ 0\ ,\ 1), D(2 , 1 , 1)D(2\ ,\ 1\ ,\ -1), E(1 ,2 ,3)(-1\ , -2\ , 3) et F(2 ,3 , 4)F(-2\ ,-3\ ,\ 4)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : Les trois points A,BA, B et CC sont alignés.

Affirmation 2 : Le vecteur n(0,1,1)\overrightarrow n(0,1,-1) est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC)

Affirmation 3 : La droite (EF)(EF) et le plan (ABC)(ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [BC][BC].

Affirmation 4 : Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont sécantes.

Exercice 3 (5 points)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (a,b)(a, b), on note pgcd(a,b)pgcd(a, b) le plus grand diviseur commun de aa et bb. Le plan est muni d'un repère (O ;i,j)(O\ ;\overrightarrow i,\overrightarrow j).

1. Exemple. Soit Δ1\Delta_1 la droite d'équation y=54x23y=\frac {5}{4}x-\frac {2}{3}.

a. Montrer que si (x,y)( x, y) est un couple d'entiers relatifs alors l'entier 15x12y15x - 12 y est divisible par 33.

b. Existe-il au moins un point de la droite Δ1\Delta_1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.

Généralisation

On considère désormais une droite Δ\Delta d’équation (E):y=mnxpq(E) : y =\frac{m}{n}x-\frac{p}{q}m,n,pm,n,p et qq sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m,n)=pgcd(p,q)=1pgcd(m,n)=pgcd (p,q)=1.

Ainsi, les coefficients de l’équation (E)(E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ\Delta est une droite rationnelle.

Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m,n,pm, n, p et qq pour qu’une droite rationnelle comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

2. On suppose ici que la droite Δ\Delta comporte un point de coordonnées (x0,y0)(x0 , y0 )x0x0 et y0y0 sont des entiers relatifs.

a. En remarquant que le nombre n y0m x0n\ y0-m\ x0 est un entier relatif, démontrer que qq divise le produit npnp.

b. En déduire que qq divise nn.

3. Réciproquement, on suppose que qq divise nn, et on souhaite trouver un couple (x0,y0)( x0 , y0 ) d’entiers relatifs tels que y0=mnx0pqy0 =\frac {m}{n}x0-\frac{p}{q}.

a. On pose n=qrn = qr, où rr est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs uu et vv tels que qrumv=1qru - mv = 1.

b. En déduire qu’il existe un couple (x0,y0)(x0,y0) d’entiers relatifs tels que y0=mnx0pqy0=\frac {m}{n}x0-\frac {p}{q}.

4. Soit Δ\Delta la droite d’équation y=38x74y=\frac{3}{8}x-\frac{7}{4}. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.

On donne l’algorithme suivant :

Alt texte

a. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M,N,P,QM,N,P,Q entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M,N)=pgcd(P,Q)=1pgcd (M, N)=pgcd (P, Q)=1

b. Que permet-il d’obtenir ?

Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point EE (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB][AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point TT que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM][EM] perpendiculaire à la droite (AB)(AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points AA et BB sur la figure.

Alt texte

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point TT qui rend l'angle ATB^\widehat {ATB} le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point TT sur le segment [EM] pour laquelle l’angle ATB^\widehat {ATB} est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note la longueur ETET, qu’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM=50mEM = 50 m, EA=25mEA = 25 m et AB=5,6mAB = 5,6 m. On note α\alpha la mesure en radian de l’angle ETA^\widehat {ETA}, β\beta la mesure en radian de l’angle ETB^\widehat {ETB} et γ\gamma la mesure en radian de l’angle ATB^\widehat {ATB}.

1. En utilisant les triangles rectangles ETAETA et ETBETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tanα\text{tan} \alpha et tanβ\text{tan} \beta en fonction de xx.

La fonction tangente est définie sur l’intervalle ]0 ;π2[] 0\ ; \frac{\pi}{2}[ par tan x=sin xcos x\text{tan}\ x=\frac{\text{sin}\ x}{\text{cos}\ x}

2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;π2[] 0\ ; \frac {\pi}{2}[ .

3. L’angle ATB^\widehat {ATB} admet une mesure γ\gamma appartenant à l’intervalle ]0 ;π2[] 0\ ; \frac{\pi}{2}[ , résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels aa et bb de l’intervalle]0 ;π2[] 0\ ; \frac{\pi}{2}[, tan(ab)=tan atan b1+tan a×tan b\text{tan}(a - b) = \frac {\text{tan}\ a- \text{tan}\ b}{1+\text{tan}\ a \times \text{tan}\ b}

4. L’angle ATB^\widehat {ATB} est maximum lorsque sa mesure γ\gamma est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ]0 ;50]]0\ ; 50] de la fonction ff définie par : f(x)=x+765xf(x) =x+\frac{765}{x}

Montrer qu’il existe une unique valeur de xx pour laquelle l’angle ATB^\widehat {ATB} est maximum et déterminer cette valeur de xx au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle ATB^\widehat {ATB} à 0,01 radian près.

Remarque : sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.