BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2016
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures – coefficient : 9
ENSEIGNEMENT SPÉCIALITÉ
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. |
EXERCICE 1 (6 points)
Commun à tous les candidats
Partie A
Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :
l’événement « le composant provient de la chaîne A »
l’événement « le composant provient de la chaîne B »
l’événement « le composant est sans défaut »
1. Montrer que la probabilité de l’événement est .
2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10-2 près.
Partie B
Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion de composants sans défaut. Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.
Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.
1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.
2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?
Partie C
La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre (où est un nombre réel strictement positif).
On note la fonction densité associée à la variable aléatoire . On rappelle que :
– pour tout nombre réel ,
– pour tout nombre réel , .
1. La courbe représentative de la fonction est donnée ci-dessous.
a. Interpréter graphiquement où
b. Montrer que pour tout nombre réel .
c. En déduire que
>
2. On suppose que . Déterminer à près.
3. Dans cette question on prend et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
a. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.
Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
b. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.
Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
c. Donner l'espérance mathématique de la variable aléatoire à l'unité près.
Interpréter ce résultat.
Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé on donne les points : , , , , E et
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 : Les trois points et sont alignés.
Affirmation 2 : Le vecteur est un vecteur normal au plan
Affirmation 3 : La droite et le plan sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment .
Affirmation 4 : Les droites et sont sécantes.
Exercice 3 (5 points)
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls , on note le plus grand diviseur commun de et . Le plan est muni d'un repère .
1. Exemple. Soit la droite d'équation .
a. Montrer que si est un couple d'entiers relatifs alors l'entier est divisible par .
b. Existe-il au moins un point de la droite dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
Généralisation
On considère désormais une droite d’équation où et sont des entiers relatifs non nuls tels que .
Ainsi, les coefficients de l’équation sont des fractions irréductibles et on dit que est une droite rationnelle.
Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur et pour qu’une droite rationnelle comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
2. On suppose ici que la droite comporte un point de coordonnées où et sont des entiers relatifs.
a. En remarquant que le nombre est un entier relatif, démontrer que divise le produit .
b. En déduire que divise .
3. Réciproquement, on suppose que divise , et on souhaite trouver un couple d’entiers relatifs tels que .
a. On pose , où est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs et tels que .
b. En déduire qu’il existe un couple d’entiers relatifs tels que .
4. Soit la droite d’équation . Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
On donne l’algorithme suivant :
a. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de entiers relatifs non nuls tels que
b. Que permet-il d’obtenir ?
Exercice 4 (5 points)
Commun à tous les candidats
Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment . La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment perpendiculaire à la droite sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points et sur la figure.
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point qui rend l'angle le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point sur le segment [EM] pour laquelle l’angle est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note la longueur , qu’on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : , et . On note la mesure en radian de l’angle , la mesure en radian de l’angle et la mesure en radian de l’angle .
1. En utilisant les triangles rectangles et ainsi que les longueurs fournies, exprimer et en fonction de .
La fonction tangente est définie sur l’intervalle par
2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle .
3. L’angle admet une mesure appartenant à l’intervalle , résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.
On admet que, pour tous réels et de l’intervalle,
4. L’angle est maximum lorsque sa mesure est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle de la fonction définie par :
Montrer qu’il existe une unique valeur de pour laquelle l’angle est maximum et déterminer cette valeur de au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle à 0,01 radian près.
Remarque : sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.