Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Sujet bac S - Annale mathématiques 2017 - Corrigé spécialité
Fiche annale

Mathématiques 2017
Corrigé bac S – Spécialité

Exercice 4

Partie A

D’après le théorème de Pythagore :
(xx ; yy) définit un TRPI \Leftrightarrow y2=x2+(x+1)2y^2 = x^2 + {(x +1)}^2
(xx ; yy) définit un TRPI \Leftrightarrow y2=x2+x2+2x+1y^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1
(xx ; yy) définit un TRPI \Leftrightarrow y2=2x2+2x+1y^2 = 2x^2 + 2x + 1

Si x=1x = 1, donc y2=2×12+2×1+1=5y^2 = 2\times 1^2 + 2\times 1 +1=5.
On sait que yy est positif donc y=5y=\sqrt 5, yy n’est pas un entier naturel.
Si x=2x = 2, donc y2=2×22+2×2+1=13y^2 =2\times 2^2 + 2 \times 2 + 1 = 13 qui n’est pas un carré.
On sait que yy est positif donc y=13y=\sqrt 13, yy n’est pas un entier naturel.
Si x=3x = 3, donc y2=2×32+2×3+1=2y^2 =2\times 3^2 + 2\times 3 + 1 = 2
y=5y=5 donc (3 ;5)(3\ ; 5) définit un TRPI et c’est celui qui a les plus petits côtés non nuls

a. Montrons le résultat en raisonnant par l’absurde.
Soit nn un entier naturel et supposons que n2n^2 est impair.
Supposons que nn est pair, c'est-à-dire que n=2pn = 2ppp est un entier.
On aurait alors n2=(2p)2=4p2n^2 = {(2p)}^2 = 4p^2 qui est un nombre pair. Ce qui est impossible.
nn est donc impair.
On a donc :
n2n^2 est impair \Rightarrow nn impair.

b. Soit (xx ; yy) un couple d’entiers définissant un TRPI.
On a alors y2=2x2+2x+1=2(x2+x)+1y^2 = 2x^2 + 2x + 1 = 2(x^2 + x) + 1 qui est un nombre impair car x2+xx^2 + x est un nombre entier.
D’après le résultat de la question précédente, yy est donc un nombre impair.

(xx ; yy) définit un TRPI \Leftrightarrow y2=2x2+2x+1y^2 = 2x^2 + 2x + 1.
\Leftrightarrow 2x22x+y2=1-2x^2 - 2x + y^2 = 1.
\Leftrightarrow (2x2)×x+y×y=1(-2x - 2)\times x + y\times y = 1.
\Leftrightarrow u×x+v×y=1u\times x + v\times y = 1 avec {u=2x2v=y\begin{cases} u = -2x - 2 \ v = y \end{cases}.
D’après le théorème de Bezout, les nombres xx et yy sont premiers entre eux.

bannière astuce

Astuce

Théorème de Bezout Deux nombres entiers xx et yy sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux nombres entiers uu et vv tels que au+bv=1au + bv = 1.

Partie B

Soit les nombres entiers xx, yy, xx' et yy' qui vérifient :
[xy]=A×[xy]+B\begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix} = A \times \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} + B
On a donc :
[xy]=[3243]×[xy]+[12] \begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \ 4 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}

[xy]=[3x+2y4x+3y]+[12] \begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x+2y \ 4x + 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}

[xy]=[3x+2y+14x+3y+2]\begin{bmatrix} x' \ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x+2y+1 \ 4x + 3y+2 \end{bmatrix}

On a donc :
{x=3x+2y+1y=4x+3y+2\begin{cases} x' = 3x + 2y + 1 \ y' = 4x + 3y + 2 \end{cases}.

a. Calculons y22x(x+1)y'^2 - 2x'(x'+1) :
y22x(x+1)=(4x+3y+2)22(3x+2y+1)(3x+2y+1+1)y'^2 - 2x'(x'+1) = {(4x + 3y + 2)}^2 - 2 (3x + 2y + 1)(3x + 2y + 1 + 1)
=(4x+3y+2)(4x+3y+2)2(3x+2y+1)(3x+2y+2)= (4x + 3y + 2)(4x + 3y + 2) - 2 (3x + 2y + 1)(3x + 2y + 2)
=16x2+12xy+8x+12xy+9y2+6y+8x+6y+42(9x2+6xy+6x+6xy+4y2+4y+3x+2y+2)= 16x^2 + 12xy + 8x + 12 xy + 9y^2 + 6y + 8x + 6y + 4 - 2(9x^2 + 6xy + 6x + 6xy + 4y^2 + 4y + 3x + 2y + 2)
=16x2+24xy+16x+9y2+12y+42(9x2+12xy+9x+4y2+6y+2)= 16x^2 + 24xy + 16x + 9y^2 + 12y + 4 - 2(9x^2 + 12xy + 9x + 4y^2 + 6y + 2)
=16x2+24xy+16x+9y2+12y+418x224xy18x8y212y4= 16x^2 + 24xy + 16x + 9y^2 + 12y + 4 - 18x^2 - 24xy - 18x - 8y^2 - 12y - 4
=y22x22x= y^2 - 2x^2 - 2x
y22x(x+1)=y22x(x+1)y'^2 - 2x'(x'+1)= y^2 - 2x(x + 1).

b. Supposons que le couple (xx ; yy) définisse un TRPI.
D’après la question 1. de la partie A, on a : y2=2x2+2x+1y^2 = 2x^2 + 2x + 1.
D’après la question précédente, on a :
y22x(x+1)=2x2+2x+12x(x+1)y'^2 - 2x'(x'+1) = 2x^2 + 2x + 1 - 2x(x + 1)
y22x(x+1)=2x2+2x+12x22xy'^2 - 2x'(x'+1) = 2x^2 + 2x + 1 - 2x^2 - 2x
y22x(x+1)=1y'^2 - 2x'(x'+1) = 1
y2=2x(x+1)+1y'^2 = 2x'(x'+1) + 1
y2=2x2+2x+1y'^2 = 2x'^2 + 2x' + 1
D’après la question 1. de la partie A, le couple (xx' ; yy') définit aussi un TRPI.
Si le couple (xx ; yy) définit un TRPI, alors le couple (xx' ; yy') définit aussi un TRPI.

Montrons le résultat par récurrence.
Initialisation :
Le couple (3 ;5)(3\ ; 5) définit un TRPI d’après la question 2. de la partie A.
Le résultat est vrai au rang 00. Hypothèse de récurrence :
Soit kNk\in \mathbb{N} tel que le couple (xkxk ; ykyk) définisse un TRPI.
Montrons que le couple (xk+1x{k+1} ; yk+1y{k+1}) définit un TRPI.
D’après les questions 1. a. et 1. b. de la partie B, le couple (xk+1x{k+1} ; yk+1y{k+1}) tel que : [xk+1yk+1]=[3243]×[xkyk]+[12] \begin{bmatrix} x{k+1} \ y{k+1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 & 2 \ 4 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} xk \ yk \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}
définit un TRPI.
La propriété est vraie au rang k+1k+1.
Pour tout nNn\in \mathbb{N}, le couple (xnxn ; ynyn) définit un TRPI.

bannière astuce

Astuce

D’après la question 1. a. de la partie B, on a :
{xn+1=3xn+2yn+1yn+1=4xn+3yn+2\begin{cases} x{n+1} = 3xn + 2yn + 1 \ y{n+1} = 4xn + 3yn + 2 \end{cases}.

{x0=3y0=5\begin{cases} x0 = 3 \ y0 = 5 \end{cases}.

{x1=3×3+2×5+1=20y1=4×3+3×5+2=29\begin{cases} x1 = 3\times 3 + 2\times 5 + 1 = 20\ y1 = 4\times 3 + 3\times 5 + 2 = 29 \end{cases}.

{x2=3×20+2×29+1=119y2=4×20+3×29+2=169\begin{cases} x2 = 3\times 20 + 2\times 29 + 1 = 119\ y2 = 4\times 20 + 3\times 29 + 2 = 169 \end{cases}.

{x3=3×119+2×169+1=696y3=4×119+3×169+2=985\begin{cases} x3 = 3\times 119 + 2\times 169 + 1 = 696\ y3 = 4\times 119 + 3\times 169 + 2 = 985 \end{cases}

{x4=3×696+2×985+1=4 059y4=4×696+3×985+2=5 741\begin{cases} x4 = 3\times 696 + 2\times 985 + 1 = 4~059\ y4 = 4\times 696 + 3\times 985 + 2 = 5~741 \end{cases}

Le premier TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2 0172~017 est le couple (4 0594~059 ; 5 7415~741).
On vérifie que 4 0592+4 0602=32 959 081=5 74124~059^2 + 4~060^2 = 32~959~081 = 5~741^2.