Mathématiques 2017 |
Exercice 1
Exercice 1
Partie A
Pour tout réel positif , .
d’après les croissances comparées en .
Nous avons donc d’après les opérations sur les limites.
.
Pour tout réel positif , .
La fonction est dérivable sur en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle et car la fonctione exponentielle ne s’annule pas sur cet intervalle.
Pour tout réel positif ,
.
- Pour et deux fonctions dérivables sur un intervalle , et qui ne s’annule pas sur cet intervalle, on a : .
- La fonction exponentielle est sa propre dérivée.
La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle donc le signe de sur cet intervalle est celui de .
Sur l’intervalle :
.
.
.
La fonction est donc strictement croissante sur l’intervalle et strictement décroissante sur l’intervalle .
et au centième près.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
a. Pour tout réel positif ,
.
.
b. Une primitive de la fonction est la fonction .
Une primitive de la fonction sur un intervalle où elle est continue est la fonction qui vérifie :
sur cet intervalle I.
Consulter la fiche : Vérifier qu’une fonction F est la primitive d’une fonction f
c. On note une primitive de la fonction sur l’intervalle .
D’après les questions 3. a et 3. b, sur cet intervalle :
Partie B
a. La fonction étant située au-dessus de la fonction sur l’intervalle :
.
D’après la question 2. de la partie A, la distance est maximale lorsque et, pour cette valeur, .
b. Les points et correspondant à la valeur maximale de sont d’abscisse . .
a.
Légende
b. Pour un réel positif fixé, la fonction est située au-dessus de la fonction sur l’intervalle , donc la fonction est positive sur cet intervalle.
Par définition, l’aire du domaine est en unités d’aire :
Consulter la fiche : Savoir calculer une intégrale continue et positive
c. Pour un réel positif fixé,
et donc, d’après les opérations sur les limites :
.
Lorsque tend vers , l’aire du domaine du plan délimité par les courbes et , et par les droites d’équations et tend vers .
a. À la calculatrice :
L’algorithme retourne la valeur de qui est .
Consulter la fiche : Découvrir les algorithmes
b. Cet algorithme calcule la plus petite valeur entière telle que soit supérieure ou égale à la valeur donnée.
Exercice 2
Exercice 2
Le point appartient au plan si ses coordonnées vérifient l’équation de .
Soit un nombre réel.
Donc les coordonnées du point ne peuvent pas vérifier l’équation cartésienne du plan .
Quelle que soit la valeur de , le point n’appartient pas au plan .
a. Soit un vecteur directeur de la droite .
est un vecteur normal au plan donc le vecteur convient.
Une représentation paramétrique de la droite (de paramètre ) passant par le point et orthogonale à est :
b. Le vecteur a pour coordonnées .
On a donc :
= = = .
Pour un nombre réel , .
Consulter la fiche : Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux points
Le point appartient au plan et à la droite donc :
On a donc :
, puis et .
appartient à la droite donc :
= .
Cette valeur est minimale lorsque et on a dans ce cas .
C’est pour le point que la distance du point au plan est minimale.
Exercice 3
Exercice 3
Partie A
On a et .
C’est donc la proposition C qui convient.
a. Le module de est qui est compris entre et , donc le numéro de la zone est .
Un argument de est qui est compris entre et , donc la lettre de la zone est G.
Le secteur de l’impact de foudre est G4.
b. On a .
Le module de est qui est compris entre et , donc le numéro de la zone est .
Un argument de est qui est compris entre et , donc la lettre de la zone est D.
Le secteur de l’impact de foudre est D5.
et correspondent à
Consulter la fiche : Savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Partie B
À la calculatrice, au millième près.
La variable aléatoire modélisant le module d’un nombre complexe, il est normal qu’elle ne puisse pas être négative.
On a au centième près, d’après le cours ou à la calculatrice.
Il s’agit de calculer la probabilité .
Les évènements et étant indépendants, on a :
.
au millième près.
La probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation est d’environ .
Si et sont deux évènements indépendants, on a .
Exercice 4
Exercice 4
Partie A
D’après l’énoncé : parmi les individus de type en semaine , on observe qu’en semaine
restent de type , deviennent malades et deviennent immunisés.
On a donc : ; ; .
De même, parmi les individus de type en semaine 1, on observe qu’en semaine 2 :
restent de type , deviennent malades et deviennent immunisés.
On a donc : ; ; .
D’après l’énoncé : parmi les individus malades en semaine 1, on observe qu’en semaine 2 :
restent malades, et sont guéris et deviennent immunisés.
On a donc : ; .
On obtient l’arbre de probabilités suivant :
Les évènements , et forment une partition donc, d’après la formule des probabilités totales :
+ +
.
Il s’agit de calculer la probabilité .
D’après la définition des probabilités conditionnelles :
en réutilisant la formule des probabilités totales
en remplaçant par les valeurs numériques
au millième près.
Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, la probabilité qu’il ait été malade en semaine 1 est d’environ .