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Sujet bac S - Annale mathématiques 2019 - Corrigé
Fiche annale

Corrigés proposés par L’Étudiant.

Vous pouvez également retrouver les sujets probables 2020 ici.

SESSION 2019

ÉPREUVE DU VENDREDI 21 JUIN 2019

MATHÉMATIQUES
– Série S –

Enseignement obligatoire

CORRIGÉ
Éléments de réponse

Exercice 1

Partie A

1.a. Comme la limite en ++\infty de ex\text{e}^x est ++\infty et celle de ex\text{e}^{-x} est 00, on a donc au total -\infty.

b. f(x)=12(exex)f^{\prime}(x) = -\dfrac 12(\text{e}^x - \text{e}^{-x}).

Or x0x \geq 0, donc exex\text{e}^x \geq \text{e}^{-x} et f(x)0f^{\prime} (x)\leq 0.

  • ff est strictement décroissante.

c. En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[, ff est continue car dérivable, strictement décroissante et, comme f(0)=2,5>0f(0) = 2,5>0, on a bien 00 compris entre -\infty et 2,52,5.

  • L’équation f(x)=0f(x) = 0 aura une seule solution strictement positive.

2. f(α)=f(α)=0f(-\alpha) = f(\alpha) = 0, donc on a bien deux solutions réelles.

Partie B

1. f(0)=2,5 mf(0) = 2,5\ \text{m}.

2.a. Le calcul nous donne :

1+(f(x))2=1+(exex)24=4+(ex)2+(ex)224=(ex+ex)24\begin{aligned} 1 + \big(f^{\prime} (x)\big)^2 &= 1 + \dfrac {{(\text{e}^x - \text{e}^{-x})}^2}4 \ &= \dfrac{4 +{(\text{e}^x)}^2 +{(\text{e}^{-x})}^2-2}4 \ &= \dfrac{{(\text{e}^x + \text{e}^{-x})}^2}4 \end{aligned}

b. Si on pose g(x)=ex+ex2g(x) = \frac {\text{e}^x + \text{e}^{-x}}2, on a pour primitive G(x)=exex2G(x) = \frac {\text{e}^x - \text{e}^{-x}}2 et I=G(α)G(0)I = G(\alpha) - G(0).

  • Donc I=eαeα2I = \frac{\text{e}^\alpha - \text{e}^{-\alpha}}2, puis, en doublant (par symétrie), on obtient le résultat annoncé.

Partie C

1. L’aire vaut 22 fois l’intégrale entre α-\alpha et α\alpha (donc 44 fois sa moitié), moins l’aire de l’ouverture qui vaut 22.

2. Au total, 42 m242\ \text{m}^2 (22 façades et la bâche qui a une aire de 4,54,5 fois la valeur du B.2.b).

Exercice 2

Partie A

1.a. m=9+252=17m=\dfrac {9+25}2 = 17

b. m=17m^{\prime} =17 aussi (par symétrie).

2. Probabilité de 1116\frac{11}{16} dans le cas de la loi uniforme et 0,8410,841 pour la loi normale, donc en moyenne 0,760,76.

Partie B

1. Les valeurs P(Bn)=1anP(Bn) = 1 - an, puis PAn(An+1)=0,8P{An}(A{n+1}) = 0,8 et PBn(An+1)=0,3P{Bn}(A{n +1}) = 0,3 permet d’obtenir an+1=0,8an+0,3(1an)an +1 = 0,8an + 0,3(1-a_n) qui donne la formule demandée.

2.a. Récurrence : pour a1a_1 et pour le passage entre l’hypothèse à la conclusion : sans problème.

b. On a :

an+1an=0,5an+0,3an=0,5(an0,6)\begin{aligned} a{n+1} - an &= 0,5an +0 ,3 - an \ &= - 0,5(a_n - 0,6) \end{aligned}

Or an0,6a_n - 0,6 est négatif, donc la différence est positive, et la suite est croissante.

c. Suite croissante et majorée par 0,60,6 converge vers ll qui vérifie l=0,5l+0,3l = 0,5l + 0,3 (point fixe), soit l=0,6l = 0,6.

3.a.

un+1=an+10,6=0,5an0,3=0,5(an0,6)=0,5un\begin{aligned} u{n+1} &= a{n +1} - 0,6 \ &= 0,5an - 0,3 \ &= 0,5(an - 0,6) \ &= 0,5 u_n \end{aligned}

Nous avons une suite géométrique de raison 0,50,5 et de premier terme u1=a0,6u_1 = a - 0,6.

b. un=(a0,6)×0,5n1un = (a - 0,6)\times 0,5^{n-1} et an=un+0,6an = u_n + 0,6.

c. Comme 1<0,5<1-1 < 0,5 < 1, la suite géométrique converge vers 00 et la suite (an)(a_n) vers 0,60,6.

d. A\text A, car plus souvent (limite p=0,6p = 0,6) vue que B\text B.

Exercice 3

1. Affirmation 1 : vraie.

Car zA=3+izA = \sqrt 3 + \text{i} et zB=3izB = \sqrt 3 - \text{i}, donc OA=OB=AB=2OA = OB = AB = 2.

2. Affirmation 2 : fausse.

Car la formule vaut 00. Elle vaut 22019(2cos(n2))2^{2\,019}\left({2\cos {\left(\frac n2\right)}}\right).

3. Affirmation 3 : vraie.

Car le signe de fn(x)f^{\prime}_n(x) dépend du signe de 1nx1-nx qui sera positif avant 1n\frac 1n, donc fonction croissante entre 00 et 1n\frac 1n, puis décroissante.

4. Affirmation 4 : vraie.

Car la limite de la fonction en ++\infty vaut 00, par encadrement, on a : exf(x)ex-\text{e}^{-x} \leq f(x) \leq \text{e}^{-x}.

5. Affirmation 5 : fausse.

Car on aura l’arrêt du programme quand 215>A2^{15} > A, soit 15ln(2)>ln(A)15\ln{(2)} > \ln{(A)}.

Exercice 4 (pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

Mathématiques terminale S corrigé sujet bac 2019

bannière attention

Attention

Cette image contient aussi la réponse à la question B.2.c.

Partie B

1.a. FH(110)\overrightarrow{FH}\begin{pmatrix}-1 \ 1 \0 \end{pmatrix} et FK(10,251)\overrightarrow{FK} \begin{pmatrix}-1 \ 0,25 \ -1\end{pmatrix} sont deux vecteurs, non colinéaires du plan, orthogonaux au vecteur n\vec n (produits scalaires nuls).

b. En utilisant les coordonnées du vecteur normal et du point FF, on a bien la formule.

c. 4x+4y3z+1=04x +4y -3z +1 = 0. Même vecteur normal, mais le plan passe par I(0,5 ;0 ;1)I\,(0,5\ ;\,0\ ;\,1).

d. Les points de la droites (AE)(AE) ont tous une abscisse et une ordonnée nulles, donc z=13z = \frac 13 et M(0 ;0 ;13)M^{\prime}\,\left(0\ ;\,0\ ;\,\frac 13\right).

2.a. Pour la droite Δ\Delta, on prend n\vec n comme vecteur directeur et le point E(0 ;0 ;1)E\,(0\ ;\,0\ ;\,1).

{x=4ky=4kk reˊelz=3k+1\begin{cases} x = 4k \ y = 4k &k \text{ réel} \ z=-3k+1 \end{cases}

b. Le plan (ABC)(ABC) a pour équation : z=0z=0 et donc, en utilisant la représentation précédente, on trouve k=13k = \frac 13 et L(43 ;43 ;0)L\,\left(\frac 43\ ;\, \frac 43\ ;\,0\right).

c.

Mathématiques terminale S corrigé sujet bac 2019

d. Pour (BF)(BF), on a x=1x= 1 et y=0y = 0 qui est contradictoire avec les valeurs de xx et yy trouvées dans le système 2.a, donc pas d’intersection avec la droite Δ\Delta.

En revanche, avec la droite (CG)(CG), on a x=y=1x = y = 1, qui permet de trouver k=0,25k = 0,25 et une intersection au point de coordonnées : (1 ;1 ;0,25)(1\ ;\,1\ ;\,0,25).