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Sujet brevet corrigé - Mathématiques 2019
Fiche annale
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Astuce

De manière générale, il faut gérer son temps proportionnellement au barème.

  • Le 1er exercice vaut 1010 points sur 100100, il doit représenter environ 10/10010/100 du temps, soit 10/100×2 h=12 min10/100 \times 2\ \text{h} = 12\ \text{min}.

Il faut également penser à rédiger une phrase reprenant la question pour présenter le résultat.

Exercice 1

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Astuce

Utiliser les critères de divisibilité et tester les nombres premiers par ordre croissant.

1. 6969 est divisible par 33 car 6+9=156+9=15 et 1515 est multiple de 33.
69÷3=2369÷3=23, qui est un nombre premier.

  • Donc 69=3×2369 = 3 \times 23

1150÷2=5751150÷2=575
575÷5=115575÷5=115
115÷5=23115÷5=23

  • Donc 1150=2×5×5×231150 = 2 \times 5\times 5 \times 23

4140÷2=20704140÷2=2070
2070÷2=10352070÷2=1035
1035÷3=3451035÷3=345
345÷3=115345÷3=115
115÷5=23115÷5=23

  • Donc 4140=2×2×3×3×54140=2\times2\times3\times3\times5
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Astuce

On peut également rédiger la réponse en posant la décomposition.

69231323\left. \begin{aligned} 69& \ 23& \ 1& \end{aligned} \right| \begin{aligned} 3& \ 23& \ & \end{aligned}

115057511523125523\left. \begin{aligned} 1150& \ 575& \ 115& \ 23&\ 1& \end{aligned} \right| \begin{aligned} 2& \ 5& \ 5&\ 23& \ & \end{aligned}

4140207010353451152312233523\left. \begin{aligned} 4140& \ 2070& \ 1035& \ 345&\ 115&\ 23&\ 1& \end{aligned} \right| \begin{aligned} 2& \ 2& \ 3&\ 3&\ 5&\ 23&\ & \end{aligned}

Donc :

  • 69=3×2369 = 3 \times 23
  • 1150=2×5×5×231150 = 2 \times 5\times 5 \times 23
  • 4140=2×2×3×3×54140=2\times2\times3\times3\times5

2. On sait que le partage est équitable, cela signifie que chaque marin reçoit les mêmes quantités.
De plus, tout a été distribué, il n’y a pas de reste, les trois quantités sont donc divisibles par le nombre de marins recherché.
En comparant les décompositions des trois nombres, le seul diviseur commun est 2323.

  • Il y a donc 2323 marins.

Exercice 2

1. Comme [AM][AM] appartient au triangle ADMADM rectangle en AA, on utilise la trigonométrie pour trouver sa longueur.

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Astuce

On se récite « CAH SOH TOA » pour retrouver les formules trigonométriques dans un triangle rectangle. Comme on ne connaît pas l’hypoténuse du triangle, on utilise ici la formule « TOA » qui signifie tan=coˆteˊ opposeˊcoˆteˊ adjacent\tan=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}.

Par rapport à l’angle ADM^=60°\widehat{\text{ADM}} = 60\degree, on cherche son côté opposé AMAM et on connaît son côté adjacent AD=2 mAD = 2\ \text{m}

tanADM^=AMADAM=AD×tanADM^AM=2×tan60°AM3,46 m\begin{aligned} \tan\widehat{\text{ADM}} &=\dfrac{AM}{AD} \ \Leftrightarrow AM&=AD\times \tan \widehat{\text{ADM}} \ \Leftrightarrow AM&=2\times \tan 60\degree \ \Leftrightarrow AM&≈3,46\ \text{m} \end{aligned}

  • Le segment [AM][AM] mesure 3,46 m3,46\ \text{m} (arrondi au centième).

2. Dans le rectangle ABCDABCD, MM appartient à [AB][AB] et NN appartient à DCDC. On cherche ainsi la proportion que représente MBCNMBCN dans ABCDABCD.

Or, AMNDAMND et MNCBMNCB sont deux rectangles de même largeur car ABCDABCD est un rectangle et MNABMN\perp AB.

On calcule : MB=ABAM43,460,54MB=AB-AM\approx 4-3,46\approx0,54 ;
puis la proportion MBAB0,5440,1350,14\dfrac{MB}{AB}\approx\dfrac{0,54}{4}\approx 0,135\approx 0,14

  • Environ 14 %14\ \% de la plaque n’est pas utilisée.

3. Des triangles sont semblables s'ils ont deux angles homologues.

Dans le triangle ADMADM on a :

  • MAD^=90°\widehat{MAD} = 90\degree ;
  • ADM^=60°\widehat{ADM}= 60\degree ;
  • donc AMD^=180°90°60°=30°\widehat{AMD} = 180\degree - 90\degree - 60\degree = 30\degree.
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Astuce

On peut calculer la valeur de l’angle AMD^\widehat{AMD} car on sait que la somme des angles d'un triangle vaut 180°180\degree.

Dans le triangle DPNDPN on a :

  • DPN^=90°\widehat{DPN} = 90\degree ;
  • PDN^=ADN^ADM^=90°60°=30°\widehat{PDN}= \widehat{ADN} - \widehat{ADM} = 90\degree - 60\degree= 30\degree ;
  • et DNP^=180°90°30°=60°\widehat{DNP} = 180\degree - 90\degree - 30\degree = 60\degree.

Dans le triangle MPN on a :

  • MPN^=90°\widehat{MPN} = 90\degree ;
  • PNM^=DNM^DNP^=90°60°=30°\widehat{PNM}= \widehat{DNM} - \widehat{DNP} =90\degree - 60\degree= 30\degree ;
  • et DNP^=180°90°30°=60°\widehat{DNP} = 180\degree - 90\degree - 30\degree = 60\degree.
  • Les trois triangles AMDAMD, PDNPDN et PMNPMN ont des angles homologues (90°90\degree, 60°60\degree et 30°30\degree). Ils sont bien semblables.
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Astuce

Il suffit de trouver deux angles homologues pour chaque triangle pour prouver qu’ils sont semblables.

On peut également justifier par les côtés homologues.

Dans le triangle AMDAMD, les côtés de l’angle droit sont AM=3,46AM = 3,46 et AD=2AD = 2.

Dans le triangle PNDPND, les côtés de l’angle droit sont PN=3,46×sin30°=1,73PN = 3,46\times \sin 30\degree = 1,73 et PD=3,46×cos30°=3PD = 3,46\times \cos 30\degree = 3.

Dans le triangle PMNPMN, les côtés de l’angle droit sont PM=2×cos60°=1PM = 2\times \cos 60\degree = 1 et PN=2×sin60°=1,73PN = 2 \times \sin 60\degree = 1,73.

On a bien 3,462=31,73=1,731\dfrac{3,46}{2}=\dfrac{3}{1,73}=\dfrac{1,73}{1}.

  • Les trois triangles AMDAMD, PDNPDN et PMNPMN ont des côtés homologues. Ils sont bien semblables.

4. Les triangles PDNPDN et AMDAMD sont semblables. Leurs côtés sont proportionnels.
On a donc DMDN=AMPD=ADPN\dfrac{DM}{DN}=\dfrac{AM}{PD}=\dfrac{AD}{PN}

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Astuce

Attention à bien faire « grand » / « petit » et non l’inverse.

Calculons par exemple DMDM. Dans le triangle ADMADM, on a cosADM^=ADDMDM=ADcosADM^=2cos60°=4\cos\widehat{ADM}=\dfrac{AD}{DM}\Leftrightarrow DM=\dfrac{AD}{\cos\widehat{ADM}}=\dfrac{2}{\cos60\degree}=4

Calculons la proportion DMDN=43,461,16\dfrac{DM}{DN}=\dfrac{4}{3,46}\approx 1,16

  • Le coefficient d’agrandissement est bien plus petit que 1,51,5.

Exercice 3

Un sablier est composé de :

  • deux cylindres C1C1 et C2C2 de hauteur 4,2 cm4,2\ \text{cm} et de diamètre 1,5 cm1,5\ \text{cm} ;
  • un cylindre C3C_3 ;
  • deux demi-sphères S1S1 et S2S2 de diamètre 1,5 cm1,5\ \text{cm}.

On rappelle le volume VV d'un cylindre d'aire de base BB et de hauteur hh : V=B×hV = B \times h

Alt texte

1. a.

Vsable=23×Vcylindre=23×Bcylindre×hcylindre=23×π×(1,52)2×4,24,95 cm3\begin{aligned} V{sable}&=\dfrac{2}{3}\times V{cylindre}\ &=\dfrac{2}{3}\times B{cylindre} \times h{cylindre} \ &=\dfrac{2}{3}\times \pi\times \left(\dfrac{1,5}{2}\right)^2\times 4,2\ &≈4,95\ \text{cm}^3 \end{aligned}

  • Le volume de sable est d’environ 4,95 cm34,95\ \text{cm}^3.

b.

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Astuce

On utilise un tableau de proportionnalité pour calculer le temps découlement total.

1,98 cm31,98\ \text{cm}^3 4,95 cm34,95\ \text{cm}^3
1 min1\ \text{min} 1×4,951,98=2,5 min\dfrac{1\times 4,95}{1,98}=2,5\ \text{min}

2,5 min=2 min+0,5 min=2 min+30 s2,5\ \text{min}= 2\ \text{min} + 0,5\ \text{min} = 2\ \text{min} + 30\ \text{s}

  • Le sable mettra 22 minutes et 3030 secondes à sécouler dans le cylindre inférieur.

2. En réalité, le débit d'écoulement d'un même sablier n'est pas constant.
Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d'écoulement de ce sablier.

Voici les différents temps récapitulés dans le tableau suivant :

Temps mesuré 2 min 22 s2\ \text{min}\ 22\ \text{s} 2 min 24 s2\ \text{min}\ 24\ \text{s} 2 min 26 s2\ \text{min}\ 26\ \text{s} 2 min 27 s2\ \text{min}\ 27\ \text{s} 2 min 28 s2\ \text{min}\ 28\ \text{s}
Nombre de tests 11 11 22 66 33

Temps mesuré 2 min 29 s2\ \text{min}\ 29\ \text{s} 2 min 30 s2\ \text{min}\ 30\ \text{s} 2 min 31 s2\ \text{min}\ 31\ \text{s} 2 min 32 s2\ \text{min}\ 32\ \text{s} 2 min 33 s2\ \text{min}\ 33\ \text{s}
Nombre de tests 77 66 33 11 22

Temps mesuré 2 min 34 s2\ \text{min}\ 34\ \text{s} 2 min 35 s2\ \text{min}\ 35\ \text{s} 2 min 38 s2\ \text{min}\ 38\ \text{s}
Nombre de tests 33 22 33

a. Nombre total de tests=1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3=40\text{Nombre\ total\ de\ tests} = 1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3 = 40

  • 4040 tests ont été effectués en tout.

b. eˊtendue=2 min 38 s2 min 22 s=16 sétendue =2\ \text{min}\ 38\ \text{s} - 2\ \text{min}\ 22\ \text{s} = 16\ \text{s}

  • L’étendue des temps est inférieure à 20 s20\ \text{s}, la condition est validée.

L’effectif est pair, la médiane est la moyenne entre la 20e valeur et la 21e valeur (classées par ordre croissant), soit la moyenne entre 2 min 29 s2\ \text{min}\ 29\ \text{s} et 2 min 30 s2\ \text{min}\ 30\ \text{s}.

  • La médiane des temps est bien comprise entre 2 min 29 s2\ \text{min}\ 29\ \text{s} et 2 min 31 s2\ \text{min}\ 31\ \text{s}, la condition est validée.

Pour calculer la moyenne, il faut convertir les temps en minutes et secondes, minutes uniquement, ou secondes uniquement.
On choisit de simplifier le calcul en retirant les 2 min2\ \text{min} communes à chaque valeur.

1×22+1×24+2×26+6×27+3×28+7×29+6×30+3×31+1×32+2×33+3×34+2×35+3×3840=120440=30,1\dfrac{\begin{aligned}1\times22+1\times24+2\times26+6\times27+3\times28+7\times29+6\times30 \ +3\times31+1\times32+2\times33+3\times34+2\times35+3\times38\end{aligned}}{40}=\dfrac{1204}{40}=30,1

  • Le temps moyen est donc de 2 min 30,1 s2\ \text{min}\ 30,1\ \text{s}, compris entre 2 min 28 s2\ \text{min}\ 28\ \text{s} et 2 min 32 s2\ \text{min}\ 32\ \text{s}, la condition est validée.
  • Les 3 conditions sont validées, le sablier testé n’est pas éliminé.
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Astuce

Pour éviter des erreurs de calcul on peut utiliser le mode statistique de la calculatrice.
En cas de calcul direct, évitez l’erreur courante d’oublier les parenthèses autour de la somme des temps. Sinon, seul le dernier terme du numérateur est divisé par 4040.

Exercice 4

1. Soient DD le point de départ du tracé, et FF le point de fin du tracé, le carré tracé a des côtés de longueur 10 pixels×1 cm2 pixels=5 cm\dfrac{10\ \text{pixels} \times 1\ \text{cm}}{2\ \text{pixels}}=5\ \text{cm}

Alt texte

2. Le script 1 correspond au dessin B : il reproduit 2323 fois le même motif, un carré suivi d’un tiret.
Le script 2 correspond au dessin A : il trace de façon aléatoire des carrés ou des tirets.

3. a. Le nombre aléatoire est choisi entre 2 valeurs : le 11 qui trace un carré , ou le 22 qui trace un tiret.
Chaque tracé a 11 chance sur 22 d’apparaître. Soit pp, la probabilité que le premier élément tracé soit un carré : p=12=0,5p = \dfrac{1}{2} = 0,5

  • La probabilité que le premier élément tracé soit un carré est de 0,50,5.

b. On renouvelle le tirage aléatoire pour un deuxième tracé, les différentes issues possibles sont présentées dans le tableau ci-dessous :

1er tracé 2e tracé Issue
carré carré (carré ; carré)
tiret (carré ; tiret)
Tiret carré (tiret ; carré)
tiret (tiret ; tiret)

p((carreˊ ; carreˊ))=14=0,25p( \text{(carré ; carré)} ) = \dfrac{1}{4} = 0,25

  • La probabilité que les deux premiers éléments soient des carrés est de 0,250,25.

4. On introduit une instruction du type « si … alors … sinon … ».
On reprend un test ayant 50 %50\ \% de chance pour chacune des deux issues (voir 3.a.).

si

nombre aléatoire entre 11 et 22 =1= 1

alors

mettre la couleur du stylo à rouge

sinon

mettre la couleur du stylo à noir

  • On insère l’instruction en 7e position, avant les instructions de tracé.

Exercice 5

1. a. Le rectangle 33 est l'image du rectangle 44 par la translation qui transforme CC en EE.
b. Le rectangle 33 est l'image du rectangle 11 par la rotation de centre FF et d'angle 90°90\degree dans le sens des aiguilles d'une montre.
c. Le rectangle ABCDABCD est l'image du rectangle 44 par l'homothétie de centre CC et de rapport 33.

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Astuce

On peut se placer aussi du point de vue du centre BB dans le rectangle 33, ou du centre DD dans le rectangle 22.

2. Il y a un rapport 33 entre les dimensions du rectangle ABCDABCD, et les petits rectangles, 11, 22, 33 ou 44, et donc un rapport 323^2 entre les aires de ABCDABCD et les aires des petits rectangles.

  • L’aire d’un petit rectangle est de 1,21532=0,135 m2\dfrac{1,215}{3^2} =0,135\ \text{m}^2.

3. On sait que, pour tous les rectangles, Ll=32\dfrac{L}{l}=\dfrac{3}{2} (on en déduit que L=32×lL=\dfrac{3}{2}\times l) et que AABCD=L×l=1,215 m2A_{ABCD}=L\times l=1,215\ \text{m}^2.

32×l×l=1,215l2=23×1,215l2=0,81l=0,81l=0,9\begin{aligned} \dfrac{3}{2}\times l \times l&=1,215 \ l^2&=\dfrac{2}{3}\times 1,215 \ l^2&=0,81 \ l&=\sqrt{0,81}\ l&=0,9 \end{aligned}

On peut donc calculer L=32×0,9=1,35L=\dfrac{3}{2}\times 0,9=1,35

  • Dans le rectangle ABCDABCD la longueur vaut 1,35 m21,35\ \text{m}^2 et la largeur 0,9 m20,9\ \text{m}^2.
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Astuce

On peut vérifier son résultat en faisant 0,9×1,35=1,2150,9 \times 1,35 = 1,215.

Exercice 6

1. Si on choisit 5 comme nombre de départ :

  • le résultat du programme 1 vaut 5×3+1=165\times3+1=16 ;
  • le résultat du programme 2 vaut (51)×(5+2)=4×7=28(5-1)\times (5+2)= 4\times 7 =28.

2. a. A(x)=x×3+1=3x+1A(x)=x\times 3+1=3x+1
b. On cherche xx tel que A(x)=0A(x) = 0 A(x)=3x+10=3x+13x=1x=13\begin{aligned} A(x)&=3x+1 \ 0&=3x+1 \ 3x&=-1 \ x&=-\dfrac{1}{3} \end{aligned}

  • Pour obtenir 00 comme résultat du programme 1, il faut choisir 13-\dfrac{1}{3} au départ.

3. B(x)=(x1)(x+2)=x×x+x×21×x1×2=x2+2xx2=x2+x2\begin{aligned} B(x) &= (x - 1)(x + 2) \ &=x\times x+x\times2-1\times x-1×2\ &=x^2+2x-x-2\ &=x^2+x-2 \end{aligned}

4. a.

B(x)A(x)=(x1)(x+2)(3x+1)=x2+x23x1=x22x3\begin{aligned}B(x)-A(x)&=(x-1)(x+2)-(3x+1)\ &=x^2+x-2-3x-1\ &=x^2-2x-3\end{aligned}

(x+1)(x3)=x23x+x3=x22x3\begin{aligned}(x+1)(x-3)&=x^2-3x+x-3 \ &=x^2-2x-3\end{aligned}

  • On a bien B(x)A(x)=(x+1)(x3)B(x)-A(x)=(x+1)(x-3)

b. Les deux programmes donnent le même résultat équivaut à l'égalité A(x)=B(x)A(x) = B(x) ou B(x)A(x)=0B(x)-A(x) = 0.

B(x)A(x)=0(x+1)(x3)=0\begin{aligned}B(x)-A(x) &=0\ (x+1)(x-3)&=0\end{aligned}

x+1=0  oux3=0x=1  oux=3\begin{aligned} x+1=0\ \ &\text{ou} &x-3=0 \ x=-1\ \ &\text{ou} & x=3\end{aligned}

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Astuce

On peut vérifier le résultat :

  • A(1)=3×1+1=2A(-1)=3×-1+1=-2
    B(1)=(11)(1+2)=2B(-1)=(-1-1)(-1+2)=-2
  • A(3)=3×3+1=10A(3)=3×3+1=10
    B(3)=(31)(3+2)=10B(3)=(3-1)(3+2)=10
  • Pour que le programme 1 et le programme 2 donnent le même résultat, on peut choisir 1-1 ou 33 au départ.