Exercice 1 : La sphéricité de la Terre (10 points sur 20)

PARTIE 1 : Repérage sur la sphère terrestre

Nous savons que la Terre est assimilée à une sphère depuis l’Antiquité (Grèce Antique). Or, nous savons qu’un méridien est un cercle fictif (passant par les deux pôles géographiques et dont le plan est perpendiculaire à celui de l’équateur). Ainsi, d’après la formule mathématique, le cercle a une longueur égale à $2\pi\text{R}$.
Donc le méridien terrestre de rayon égal à $6\,371\,\text{km}$ a une longueur de :
$2\times 3,14\times 6\,371\approx 40\,030\,\text{km}$

Astuce

Ici, il faut bien lire l’énoncé, qui donne une partie des renseignements utiles, pour le croiser avec ses connaissances : on sait que le méridien correspond à un cercle de rayon terrestre. La longueur de ce rayon est donnée : $6\,371\,\text{km}$. Donc, calculer la longueur d’un méridien terrestre revient bien à calculer la circonférence de la Terre (périmètre du cercle de rayon $6\,371\,\text{km}$).

Tous les points ayant la même longitude sont situés sur le même méridien.
Or, le tableau m’indique que Quito et Toronto ont la même longitude soit $79\,\degree\,\text{ouest}$. Donc, ces deux villes sont situées sur le même méridien.

On sait que tous les points situés sur le même parallèle ont la même latitude.
Donc Libreville et Quito ($0\,\degree$ de latitude) sont situés sur le même parallèle et il en est de même pour Toronto et Toulouse ($44\,\degree\,\text{nord}$).

Astuce

Il faut mobiliser ses connaissances sur les définitions du méridien et du parallèle d’une part, et sur les définitions de la longitude et de la latitude d’autre part, afin de les mettre en lien.
Un point est localisé sur la Terre grâce à sa latitude et sa longitude. La longitude se rapporte au méridien (perpendiculaire au plan de l’équateur), la latitude se rapporte au parallèle (parallèle au plan de l’équateur).

• $\widehat{QOT}$ :
  La latitude de Quito ($\text{Q}$) est de $0\,\degree$. Toronto ($\text{T}$) est située à $44\,\degree$ nord, c’est-à-dire à $44\,\degree$ d’angle par rapport au plan de l’équateur, qui est justement celui de Quito.
  Donc l’angle $\widehat{QOT}=44+0=44\,\degree$

Astuce

Il faut bien comprendre que la latitude correspond à l’angle entre le parallèle du point donné et le plan de l’équateur. On peut s’aider en ce sens de la figure 1b. qui donne une représentation schématique permettant de mieux visualiser cette information.

• $\widehat{TIT^{\prime}}$ :
  Toulouse et Toronto ont deux longitudes différentes : Toulouse est à $1\,\degree\,\text{est}$ et Toronto à $79\,\degree\,\text{ouest}$. Il faut additionner les deux angles formés par rapport au méridien de Greenwich.
  Donc l’angle $\widehat{TIT^{\prime}}=79+1=80\,\degree$

Astuce

Si Toulouse et Toronto ont des longitudes différentes, c’est qu’elles sont situées sur deux méridiens différents. Or, un méridien a une longitude qui correspond à l’angle formé entre le méridien de Greenwich et lui-même, soit vers l’est, soit vers l’ouest.
Ici, on peut s’aider d’un schéma au brouillon :

Quito et Toronto sont situées sur le même méridien. La distance entre ces deux villes correspond donc à l’arc de cercle entre ces deux points, sachant qu’il y a un angle de $44\,\degree$ entre les deux villes.
Dans la question 1, nous avons vu que le méridien a une longueur de $40\,030\,\text{km}$.
À partir de nos connaissances, nous appliquons alors une règle de proportionnalité :
$2\pi\text{R}\times\dfrac{44}{360}= 40\,030\times\dfrac{44}{360}\approx 4\,893\,\text{km}$

Astuce

Ici, il faut se souvenir du calcul utilisé :
$\text{longueur totale du méridien}\times\dfrac{\text{angle de latitude}}{360}$.

• $\text{OT}$ :
  $\text{OT}$ est la longueur correspondant au rayon terrestre. Or, l’énoncé nous indique que le rayon terrestre est de $6\,371\,\text{km}$. Donc $\text{OT}=6\,371\,\text{km}$.
• $\text{IT}$ :
  $[\text{IT}]$ est un segment perpendiculaire à l’axe terrestre (et donc parallèle au plan de l’équateur), $\text{I}$ étant situé sur l’axe et $\text{T}$ étant situé à la surface terrestre. $\text{IT}$ correspond donc au rayon de ce parallèle $r$.
  D’après mes connaissances sur la notion des angles alternes-internes, je sais que $r=\text{R}${\text{Terre}}\,\text{cos}\,\alphar=RTerre​cosα, $\alpha$ étant l’angle formé entre ce parallèle et celui de l’équateur ($44\,\degree$) et $\text{R}${\text{Terre}} étant égal à $6\,371\,\text{km}$. Les segment $[\text{IT}]$ et $[\text{OQ}]$ sont parallèles, donc $\widehat{OTI}=\widehat{TOQ}=44\,\degree$.
  En appliquant la formule, on a ainsi : $r=\text{R}_{\text{Terre}}\,\text{cos}\,\alpha=6\,371\text{cos}(44\,\degree)\approx 4\,583\,\text{km}$.

Astuce

On peut aussi utiliser une autre méthode pour arriver à ce résultat :
$[\text{OT}]$ est un rayon de la Terre, on a donc : $[\text{OT}]=6\,371\,\text{km}$.
$\widehat{IOT}=90-44=46\,\degree$.
Dans le triangle $\widehat{OIT}$ rectangle en $\text{I}$, on a $\text{sin}(\widehat{IOT})=\dfrac{\text{IT}}{\text{OT}}$ donc $\text{IT}=6\,371\times\text{sin}(46)\approx 4\,583\,\text{km}$.

Nous avons vu dans la question précédente que le parallèle passant par Toulouse et Toronto est un cercle de rayon $4\,583\,\text{km}$ environ.
Or, la circonférence d’un cercle est $2\pi\text{R}$.
Donc la longueur de ce parallèle est de $2\times 3,14\times 4\,582\approx 28\,795\,\text{km}$.

La portion de parallèle reliant Toulouse à Toronto est un arc de cercle dont l’angle est égal à $80\,\degree$ (voir question 3a.) et dont la longueur est d’environ $28\,795\,\text{km}$ (question 4b.).
Nous appliquons donc un rapport de proportionnalité :
$\dfrac{80}{360}\times 28\,795\approx 6\,399\,\text{km}$

Astuce

On utilise ici le même raisonnement que dans la question 3b.

La distance calculée entre Quito et Toronto est d’environ $4\,893\,\text{km}$ et celle donnée par le SIG est de $4\,891\,\text{km}$, soit $2\,\text{km}$ de différence seulement.
Dans ce premier cas, les deux villes Quito et Toronto étant situées sur le même méridien, elles sont donc sur le grand cercle terrestre et la distance calculée est donc très proche de la distance mesurée.

La distance calculée entre Toulouse et Toronto est d’environ $6\,399\,\text{km}$ et celle donnée par le SIG est de $6\,230\,\text{km}$, soit $169\,\text{km}$ de différence.
Dans ce deuxième cas, les deux villes Toulouse et Toronto sont situées sur le même parallèle, qui n’est pas ici équivalent au grand cercle terrestre. La distance calculée, basée sur le grand cercle, est donc plus grande que la distance mesurée, basé sur le cercle réel plus petit.

Astuce

Dans le cas du grand cercle, le centre du cercle est aussi le centre de la Terre. Le grand cercle est donc la distance la plus courte reliant deux points situés sur ce grand cercle.
Dans le cas de Toulouse et Toronto, nous ne sommes pas sur le grand cercle, puisque le centre du cercle formé par le parallèle qui relie les deux villes n’est pas le centre de la Terre. La distance le long du parallèle n’est donc pas la plus courte.

PARTIE 2 : Les différents climats de la Terre

Pour Toronto, les températures annuelles sont plus froides que pour Quito : en effet nous pouvons constater à partir du document de référence que Toronto est situé dans la zone tempérée alors que Quito est située dans la zone chaude.
D’après le document 3, plus un astre est proche du Soleil, plus l’énergie radiative qu’il en reçoit est importante. Ainsi, on pourrait penser que Quito est plus proche du Soleil que Toronto, puisqu’elle est située à l’équateur. Pourtant, la différence de distance entre de deux villes par rapport au le Soleil est négligeable ($<\,6\,371\,\text{km}$) comparée aux $300$ millions de kilomètres qui séparent la Terre de l’astre lumineux et cela ne peut pas expliquer les différences de températures. L’explication est donc ailleurs.
En effet, le document 4 nous montre que selon la latitude, la puissance solaire reçue par unité de surface est différente : plus la latitude est importante (plus on remonte vers les pôles), plus la surface recevant une même quantité d’énergie solaire est grande. En conséquence, la puissance solaire reçue pour une même surface au sol est plus forte à l’équateur ($420\,\text{W}/\text{m}^2$, ce qui correspond à Quito) qu’en remontant vers le pôle Nord ($300\,\text{W}/\text{m}^2$ pour $45\,\degree\,\text{nord}$, ce qui correspond à peu près à Toronto). C’est donc la sphéricité de la Terre qui explique la différence de température entre Quito (plus chaude) et Toronto (plus froide), invalidant l’hypothèse de l’élève.

Astuce

On peut aussi expliquer cette différence en réalisant un schéma et en s’appuyant sur les connaissances acquises sur l’énergie reçue du Soleil : la puissance radiative reçue du Soleil dépend de l’angle d’incidence du rayonnement solaire à la surface du sol en un endroit donné de la planète : plus l’angle d’incidence est grand, plus la puissance radiative surfacique reçue sera faible. Donc l’angle d’incidence étant plus important à Toronto qu’à Quito, l’énergie reçue à Toronto est plus faible que celle reçue à Quito, et ainsi les températures sont plus chaudes à Quito qu’à Toronto.

Exercice 2 : La datation des peintures rupestres de la grotte Chauvet (10 points sur 20)

PARTIE 1 : Du carbone dans la matière organique

D’après le document 1, les oxydes minéraux sont constitués des atomes $\text{Fe}$, $\text{O}$ et $\text{Mn}$, alors que, d’après le document 2, le charbon de bois contient de la cellulose, composée des atomes $\text{C}$, $\text{H}$ et $\text{O}$.
Or, la méthode de datation au carbone 14 s’appuie sur la désintégration des éléments carbone ($\text{C}$) dans un matériau. Donc, seuls les éléments contenant cet atome peuvent faire l’objet d’une datation, en l’occurrence ici le charbon de bois.

Le mécanisme biologique qui permet la synthèse de glucose s’appelle la photosynthèse. Voici son équation :
$6\text{CO}$2+6\text{H}2\text{O}\rightarrow\text{C}6\text{H}{12}\text{O}6+6\text{O}2
Soit, $\text{dioxyde de carbone}+\text{eau}\rightarrow\text{glucose}+\text{oxygène}$

La photosynthèse se déroule dans les parties vertes des feuilles.
Le $\text{CO}_2$ est absorbé par les feuilles, l’eau est absorbée par les racines et remonte dans les vaisseaux de la plante vers les feuilles. Grâce à la lumière et la chlorophylle, la réaction chimique de la photosynthèse se réalise et du glucose est synthétisé. L’oxygène produit en même temps est rejeté par les feuilles.

Astuce

Il faut bien vérifier que les coefficients stœchiométriques sont exacts, c’est-à-dire qu’il faut équilibrer l’équation, en comptant le nombre d’atomes de part et d’autre de l’équation. Ce nombre doit donc être équivalent des deux côtés : « Rien ne se perd, rien ne se créé, tout se transforme ».

PARTIE 2 : Radioactivité et datation par le carbone 14 ($^{14}\text{C}$)

• La date de désintégration d’un noyau individuel de $^{14}\text C$ dont on connaît la date de création (prise comme origine) est :

• La durée nécessaire à la désintégration radioactive de la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon dépend :

La demi-vie d’un élément radioactif est la durée pour laquelle la moitié des noyaux radioactifs auront subi une désintégration.
Dans le graphique, je constate que $50\,\%$ des noyaux sont encore présents au bout de $5\,700$ ans. Donc la demi-vie du carbone 14 est d’environ $5\,700$ ans.

Attention

Il ne faut pas oublier que l’annexe est à rendre avec la copie : il faut donc exploiter le graphique donné en annexe.

Astuce

Il ne s’agit pas de donner une valeur précise, mais une estimation. Pour donner une estimation la plus juste possible, il faut bien lire le graphique donné en annexe et tracer les traits de construction de la lecture graphique qui justifieront la réponse donnée.

Dans le document 3, je note que les traits réalisés avec des fragments de charbon de bois prélevés sur les peintures ont des valeurs $\text{P}/\text{P}0$ comprises entre $1,5\,\%$ et $2,5\,\%$. Les mouchages de torche réalisé ont des valeurs comprises entre $3,5\,\%$ et $4,5\,\%$. En plaçant ces valeurs sur le graphique, je conclue que les dessins réalisés avec les charbons de bois peuvent être datés d’un âge compris entre $30\,500$ et $34\,500$ ans environ, alors que ceux réalisés avec le mouchage de torche ont un âge compris entre $25\,500$ et $34\,500$ ans environ.

Astuce

Il faut penser à tracer les traits de lecture sur le zoom du graphique en partant des valeurs données par l’énoncé et en les plaçant sur l’axe des ordonnées, puis en notant la valeur $x$ à laquelle elles correspondent suivant la courbe :

La chimie a mis en évidence l’existence de molécules et des atomes à l’origine de toute matière vivante ou minérale.
Les sciences physiques ont ensuite découvert les phénomènes de radioactivité, et notamment la désintégration des noyaux radioactifs dans le temps. Ainsi, la période ou demi-vie du carbone 14 a été mis en évidence par ce domaine des sciences.

Les sciences biologiques ont montré que les êtres vivants étaient composés essentiellement des atomes $\text{C}$, $\text{H}$, $\text{O}$, $\text{N}$ et que leur fonctionnement métabolique permettait l’intégration à partir d’éléments externes de ces atomes (par exemple la photosynthèse permet l’intégration dans les plantes de l’élément carbone à partir du $\text{CO}$2CO2​, et celui-ci peut passer à d’autres êtres vivants grâce aux chaînes alimentaires). Après la mort, le $\text{CO}$2 cesse d’être absorbé et le carbone 14 subit des désintégrations radioactives faisant décroître son taux au sein de la matière organique, alors qu’il était constant lors de la vie de l’organisme.

Enfin, la paléontologie a permis de vérifier et de mettre en pratique la datation par l’étude de la proportion de carbone 14 présente dans des échantillons en fonction du temps qui s’est écoulé depuis la mort de l’être vivant en question.

On constate donc bien que différentes disciplines ont permis de mettre au point des méthodes de datation utilisées en archéologie.

Astuce

Il s’agit ici de faire essentiellement appel à ses propres connaissances, à partir des leçons travaillées en classe et des déductions logiques que l’on peut établir.