Exercice 1 : Des instruments, des notes et des gammes

PARTIE 1 : Des instruments et des notes

Le $la3$ a pour fréquence associée $441\,\text{Hz}$. Le $la4$ appartient à l’octave au-dessus : il faut donc multiplier la fréquence par $2$.
Ainsi, la fréquence du $la4$ est : $f=441\times 2=882\,\text{Hz}$

On va démontrer que la période (et donc la fréquence) de chaque signal est différente.

• Figure 1 :
  Période : $3T=11,5\times 0,001=0,0115\,\text s$, soit $T=0,00383\,\text s$
• Figure 2 :
  Période : $4T=10,2\times 0,001=0,0102\,\text s$, soit $T=0,00255\,\text s$

Les périodes et les fréquences des signaux étant effectivement différentes dans les deux cas, les fréquences des signaux le sont aussi. Donc il s’agit bien de deux notes différentes.

Astuce

Une note correspond à une fréquence précise. Si deux fréquences sont différentes, alors les notes le sont aussi.
De la lecture de la période $T$ (en secondes) de chaque signal se déduit par calcul la valeur de la fréquence $f=\dfrac{1}{T}$ qui s’exprime en hertz.
Pour obtenir une lecture de la période la plus précise possible, il faut lire la durée d’un nombre maximal de périodes sur chaque signal. Ici, on prend trois périodes pour le signal 1 et quatre périodes pour le signal 2.

• Figure 1 : Fréquence : $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0,00383}\approx 261\,\text{Hz}$
• Figure 2 : Fréquence : $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0,00255}\approx 392\,\text{Hz}$

La fréquence associée au signal sonore de la figure 1 est $261\,\text{Hz}$, ce qui correspond à la note $do3$ d’après le document 1.
La fréquence associée au signal sonore de la figure 2 est $392\,\text{Hz}$, ce qui correspond à la note $sol3$ d’après le document 1.

Pour les spectres $a$ et $b$, la fréquence fondamentale est la même : $262\,\text{Hz}$. Les deux sons ont donc la même hauteur.
Cependant, les spectres sont différents ce qui signifie que l’oreille humaine peut donc les différencier.

Astuce

La fréquence fondamentale (aussi appelé harmonique de rang 1) est la plus basse fréquence de l’analyse spectrale, c’est-à-dire que c’est le pic correspondant à la plus petite valeur de fréquence. Elle détermine la hauteur d’un son (son aigu ou son grave).

Toutefois, une même note jouée par une guitare ou par un piano n’est pas perçue de la même manière : on dit que son timbre est différent. Ce timbre dépend des fréquences « secondaires », appelées les harmoniques.

La fréquence fondamentale est de $262\,\text{Hz}$ pour le spectre $a$. D’après la question 2b, le signal sonore de la figure 1 a pour fréquence $262\,\text{Hz}$, donc le spectre $a$ correspond au signal de la figure 1.

PARTIE 2 : Des notes et des gammes

• Premier cas : si $1$
  On multiplie la double inégalité par $\dfrac{3}{2}$ :
  $\dfrac{3}{2}\times 1<\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}$, ce qui donne $\dfrac{3}{2}<\dfrac{3}{2}\times f<2$
• $\dfrac{3}{2}\times f$ est donc bien compris entre $1$ et $2$.
• Deuxième cas : si $\dfrac{4}{3}$
  On multiplie la double inégalité par $\dfrac{3}{2}$ :
  $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}<\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}\times 2$, ce qui donne $2<\dfrac{3}{2}\times f<3$
• On a donc bien $2<\dfrac{3}{2}\times f$.

On multiplie ensuite la double inégalité par $\dfrac{1}{2}$ :
$\dfrac{1}{2}\times 2<\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{1}{2}\times 3$, ce qui donne $1<\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f<\dfrac{3}{2}<2$

• $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times f$ est donc bien compris entre $1$ et $2$.

Astuce

Il est important de bien lire l’algorithme pour le comprendre :

Algorithme	Description de l’algorithme
$f\leftarrow 1$	On affecte la valeur $1$ à $f$
$f\leftarrow\dfrac{3}{2}\times f$	On multiplie $f$ par $\dfrac{3}{2}$
$n\leftarrow 1$	On affecte la valeur $1$ à $n$
Tant que $f\ne 1$ faire $n\leftarrow n+1$ $f\leftarrow f\times\dfrac{3}{2}$	Tant que $f\ne 1$, ajouter $1$ à $n$ et multiplier $f$ par $\dfrac{3}{2}$
Si $f\geq 2$ alors $f\leftarrow f\times\dfrac{1}{2}$	Si la nouvelle valeur de $f$ est supérieure ou égale à $2$, alors diviser la nouvelle valeur de $f$ par $\dfrac{1}{2}$
Fin Si Fin Tant que	Si $f=1$, alors arrêter l’algorithme

Cet algorithme permet de donner les valeurs exactes des fréquences des 12 premières quintes. On remarque que toutes les fréquences sont comprises entre $1$ et $2$.

Ainsi, pour passer de la note 0 à la note 1, on multiplie donc par $\dfrac{3}{2}$  ; pour passer de la note 1 à la note 2, on multiplie par $\dfrac{3}{2}$ puis par $\dfrac{1}{2}$, pour passer de la note 2 à la note 3, on multiplie par $\dfrac{3}{2}$, etc.

L’algorithme se termine si $f =1$ exactement. On remarque qu’aucune fréquence du tableau est égale à $1$.

Résoudre l’équation $\dfrac{3^m}{2^n}=1$ avec $m$ et $n$ entiers naturels non nuls est équivalent à résoudre $3^m=2^n$ avec $m$ et $n$ entiers naturels non nuls.

• $3$ est un nombre impair, donc $3^m$ est une multiplication de nombres impairs qui donne un résultat impair.
• $2$ est un nombre pair donc $2^n$ est une multiplication de nombres pairs qui donne un résultat pair.
• Un nombre pair ne peut être égal à un nombre impair : l’égalité $3^m=2^n$ est impossible. Il n’existe donc pas d’entier naturels $m$ et $n$ non nuls, tels que $\dfrac{3^m}{2^n}=1$.

Astuce

Il faut bien faire attention aux conditions de résolution d’une telle équation. L’égalité $3^m=2^n$ est possible si $m=n=0$, mais ici $m$ et $n$ sont déterminés comme des entiers naturels non nuls, ce qui est contradictoire.

L’algorithme ne s’arrête pas, puisque la condition d’arrêt qui est $f=\dfrac{3^m}{2^n}=1$ n’est jamais vérifiée.

D’après le tableau de la question 5, on remarque que la fréquence du numéro 12 (qui est la 13^e note) a pour valeur approchée $1,01$, ce qui est très proche de $1$. On peut donc considérer qu’au bout de la 13^e note, on retourne à la note de départ.
On peut ainsi construire une suite finie de notes (12 notes) réparties dans une octave (une gamme).

Astuce

Faire attention au tableau de valeurs.

Numéro de la note	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Fréquence (fraction irréductible)	$1$	$\dfrac{3}{2}$	$\dfrac{3^2}{2^3}$	$\dfrac{3^3}{2^4}$	$\dfrac{3^4}{2^6}$	$\dfrac{3^5}{2^7}$	$\dfrac{3^6}{2^9}$	$\dfrac{3^7}{2^{11}}$	$\dfrac{3^8}{2^{12}}$	$\dfrac{3^9}{2^{14}}$	$\dfrac{3^{10}}{2^{15}}$	$\dfrac{3^{11}}{2^{17}}$	$\dfrac{3^{12}}{2^{19}}$
Fréquence (valeur approchée à $10^{-2}$ près)	$1$	$1,50$	$1,13$	$1,69$	$1,27$	$1,90$	$1,42$	$1,07$	$1,60$	$1,20$	$1,80$	$1,35$	$1,01$

Même si les numéros de la quinte sont dans l’ordre croissant, les valeurs approchées des fréquences ne le sont pas : on a bien douze notes de qu’il faudra ensuite ranger dans l’ordre croissant pour obtenir la gamme.

Exercice 2 : La sphéricité de la Terre (10 points sur 20)

PARTIE 1 : Repérage sur la sphère terrestre

Nous savons que la Terre est assimilée à une sphère depuis l’Antiquité (Grèce Antique). Or, nous savons qu’un méridien est un cercle fictif (passant par les deux pôles géographiques et dont le plan est perpendiculaire à celui de l’équateur). Ainsi, d’après la formule mathématique, le cercle a une longueur égale à $2\pi\text{R}$.
Donc le méridien terrestre de rayon égal à $6\,371\,\text{km}$ a une longueur de :
$2\times 3,14\times 6\,371\approx 40\,030\,\text{km}$

Astuce

Ici, il faut bien lire l’énoncé, qui donne une partie des renseignements utiles, pour le croiser avec ses connaissances : on sait que le méridien correspond à un cercle de rayon terrestre. La longueur de ce rayon est donnée : $6\,371\,\text{km}$. Donc, calculer la longueur d’un méridien terrestre revient bien à calculer la circonférence de la Terre (périmètre du cercle de rayon $6\,371\,\text{km}$).

Tous les points ayant la même longitude sont situés sur le même méridien.
Or, le tableau m’indique que Quito et Toronto ont la même longitude soit $79\,\degree\,\text{ouest}$. Donc, ces deux villes sont situées sur le même méridien.

On sait que tous les points situés sur le même parallèle ont la même latitude.
Donc Libreville et Quito ($0\,\degree$ de latitude) sont situés sur le même parallèle et il en est de même pour Toronto et Toulouse ($44\,\degree\,\text{nord}$).

Astuce

Il faut mobiliser ses connaissances sur les définitions du méridien et du parallèle d’une part, et sur les définitions de la longitude et de la latitude d’autre part, afin de les mettre en lien.
Un point est localisé sur la Terre grâce à sa latitude et sa longitude. La longitude se rapporte au méridien (perpendiculaire au plan de l’équateur), la latitude se rapporte au parallèle (parallèle au plan de l’équateur).

• $\widehat{QOT}$ :
  La latitude de Quito ($\text{Q}$) est de $0\,\degree$. Toronto ($\text{T}$) est située à $44\,\degree$ nord, c’est-à-dire à $44\,\degree$ d’angle par rapport au plan de l’équateur, qui est justement celui de Quito.
  Donc l’angle $\widehat{QOT}=44+0=44\,\degree$

Astuce

Il faut bien comprendre que la latitude correspond à l’angle entre le parallèle du point donné et le plan de l’équateur. On peut s’aider en ce sens de la figure 1b. qui donne une représentation schématique permettant de mieux visualiser cette information.

• $\widehat{TIT^{\prime}}$ :
  Toulouse et Toronto ont deux longitudes différentes : Toulouse est à $1\,\degree\,\text{est}$ est et Toronto à $79\,\degree\,\text{ouest}$. Il faut additionner les deux angles formés par rapport au méridien de Greenwich.
  Donc l’angle $\widehat{TIT^{\prime}}=79+1=80\,\degree$

Astuce

Si Toulouse et Toronto ont des longitudes différentes, c’est qu’elles sont situées sur deux méridiens différents. Or, un méridien a une longitude qui correspond à l’angle formé entre le méridien de Greenwich et lui-même, soit vers l’est, soit vers l’ouest.
Ici, on peut s’aider d’un schéma au brouillon :

IMG3

Quito et Toronto sont situées sur le même méridien. La distance entre ces deux villes correspond donc à l’arc de cercle entre ces deux points, sachant qu’il y a un angle de $44\,\degree$ entre les deux villes.
Dans la question 1, nous avons vu que le méridien a une longueur de $40\,030\,\text{km}$.
À partir de nos connaissances, nous appliquons alors une règle de proportionnalité :
$2\pi\text{R}\times\dfrac{44}{360}= 40\,030\times\dfrac{44}{360}\approx 4\,893\,\text{km}$

Astuce

Ici, il faut se souvenir du calcul utilisé :
$\text{longueur totale du méridien}\times\dfrac{\text{angle de latitude}}{360}$.

• $\text{OT}$ :
  $\text{OT}$ est la longueur correspondant au rayon terrestre. Or, l’énoncé nous indique que le rayon terrestre est de $6\,371\,\text{km}$. Donc $\text{OT}=6\,371\,\text{km}$.
• $\text{IT}$ :
  $[\text{IT}]$ est un segment perpendiculaire à l’axe terrestre (et donc parallèle au plan de l’équateur), $\text{I}$ étant situé sur l’axe et $\text{T}$ étant situé à la surface terrestre. $\text{IT}$ correspond donc au rayon de ce parallèle $r$.
  D’après mes connaissances sur la notion des angles alternes-internes, je sais que $r=\text{R}${\text{Terre}}\,\text{cos}\,\alphar=RTerre​cosα, $\alpha$ étant l’angle formé entre ce parallèle et celui de l’équateur ($44\,\degree$) et $\text{R}${\text{Terre}} étant égal à $6\,371\,\text{km}$. Les segment $[\text{IT}]$ et $[\text{OQ}]$ sont parallèles, donc $\widehat{OTI}=\widehat{TOQ}=44\,\degree$.
  En appliquant la formule, on a ainsi : $r=\text{R}_{\text{Terre}}\text{cos}\,\alpha=6\,371\,\text{cos}(44\,\degree)\approx 4\,583\,\text{km}$.

Astuce

On peut aussi utiliser une autre méthode pour arriver à ce résultat :
$[\text{OT}]$ est un rayon de la Terre, on a donc : $[\text{OT}]=6\,371\,\text{km}$.
$\widehat{IOT}=90-44=46\,\degree$.
Dans le triangle $\widehat{OIT}$ rectangle en $\text{I}$, on a $\text{sin}(\widehat{IOT})=\dfrac{\text{IT}}{\text{OT}}$ donc $\text{IT}=6\,371\times\text{sin}(46)\approx 4\,583\,\text{km}$.

Nous avons vu dans la question précédente que le parallèle passant par Toulouse et Toronto est un cercle de rayon $4\,583\,\text{km}$ environ.
Or, la circonférence d’un cercle est $2\pi\text{R}$.
Donc la longueur de ce parallèle est de $2\times 3,14\times 4\,582\approx 28\,795\,\text{km}$.

La portion de parallèle reliant Toulouse à Toronto est un arc de cercle dont l’angle est égal à $80\,\degree$ (voir question 3a.) et dont la longueur est d’environ $28\,795\,\text{km}$ (question 4b.).
Nous appliquons donc un rapport de proportionnalité :
$\dfrac{80}{360}\times 28\,795\approx 6\,399\,\text{km}$

Astuce

On utilise ici le même raisonnement que dans la question 3b.

La distance calculée entre Quito et Toronto est d’environ $4\,893\,\text{km}$ et celle donnée par le SIG est de $4\,891\,\text{km}$, soit $2\,\text{km}$ de différence seulement.
Dans ce premier cas, les deux villes Quito et Toronto étant situées sur le même méridien, elles sont donc sur le grand cercle terrestre et la distance calculée est donc très proche de la distance mesurée.

La distance calculée entre Toulouse et Toronto est d’environ $6\,399\,\text{km}$ et celle donnée par le SIG est de $6\,230\,\text{km}$, soit $169\,\text{km}$ de différence.
Dans ce deuxième cas, les deux villes Toulouse et Toronto sont situées sur le même parallèle, qui n’est pas ici équivalent au grand cercle terrestre. La distance calculée, basée sur le grand cercle, est donc plus grande que la distance mesurée, basé sur le cercle réel plus petit.

Astuce

Dans le cas du grand cercle, le centre du cercle est aussi le centre de la Terre. Le grand cercle est donc la distance la plus courte reliant deux points situés sur ce grand cercle.
Dans le cas de Toulouse et Toronto, nous ne sommes pas sur le grand cercle, puisque le centre du cercle formé par le parallèle qui relie les deux villes n’est pas le centre de la Terre. La distance le long du parallèle n’est donc pas la plus courte.

PARTIE 2 : Les différents climats de la Terre

Pour Toronto, les températures annuelles sont plus froides que pour Quito : en effet nous pouvons constater à partir du document de référence que Toronto est situé dans la zone tempérée alors que Quito est située dans la zone chaude.
D’après le document 3, plus un astre est proche du Soleil, plus l’énergie radiative qu’il en reçoit est importante. Ainsi, on pourrait penser que Quito est plus proche du Soleil que Toronto, puisqu’elle est située à l’équateur. Pourtant, la différence de distance entre de deux villes par rapport au le Soleil est négligeable ($<\,6\,371\,\text{km}$) comparée aux $300$ millions de kilomètres qui séparent la Terre de l’astre lumineux et cela ne peut pas expliquer les différences de températures. L’explication est donc ailleurs.
En effet, le document 4 nous montre que selon la latitude, la puissance solaire reçue par unité de surface est différente : plus la latitude est importante (plus on remonte vers les pôles), plus la surface recevant une même quantité d’énergie solaire est grande. En conséquence, la puissance solaire reçue pour une même surface au sol est plus forte à l’équateur ($420\,\text{W}/\text{m}^2$, ce qui correspond à Quito) qu’en remontant vers le pôle Nord ($300\,\text{W}/\text{m}^2$ pour $45\,\degree\,\text{nord}$, ce qui correspond à peu près à Toronto). C’est donc la sphéricité de la Terre qui explique la différence de température entre Quito (plus chaude) et Toronto (plus froide), invalidant l’hypothèse de l’élève.

Astuce

On peut aussi expliquer cette différence en réalisant un schéma et en s’appuyant sur les connaissances acquises sur l’énergie reçue du Soleil : la puissance radiative reçue du Soleil dépend de l’angle d’incidence du rayonnement solaire à la surface du sol en un endroit donné de la planète : plus l’angle d’incidence est grand, plus la puissance radiative surfacique reçue sera faible. Donc l’angle d’incidence étant plus important à Toronto qu’à Quito, l’énergie reçue à Toronto est plus faible que celle reçue à Quito, et ainsi les températures sont plus chaudes à Quito qu’à Toronto.