Sujet bac ES - Annale mathématiques 2019 - Corrigé spécialité

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Exercice 1

1. FAUX

$p_S\left(\bar{R}\right)=\dfrac{p\left(\bar{R} \cap S \right)}{p(S)} = \dfrac{0,3\times 0,2}{0,7\times 0,4+0,3\times 0,2}=\dfrac{0,06}{0,34}=\dfrac{6}{34}=\dfrac{3}{17}\approx 18$

2. FAUX

$E(X)=\dfrac{k+18}{2}$ donc $\dfrac{k+18}{2}=12$ donc $ k=2\times 12-18=6$ donc $k<9$

3. VRAI

$\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{e} \right)+\ln(2)=\ln(2x)+5$

$\Leftrightarrow \ln\left(2\times\dfrac{x^2}{\frac{x^5}{e}} \right)=\ln(2x)+5$

$\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{2e}{x^3} \right)=\ln(2x)+5$

$\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{2e}{x^3} \right)-\ln(2x)=5$

$\Leftrightarrow\dfrac{e}{x^4}=e^5$

$\Leftrightarrow x^4=\dfrac{e}{e^5}$

$\Leftrightarrow x^4=\dfrac{1}{e^4}$

$\Leftrightarrow x=\left(\dfrac{1}{e^4}\right)^{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}$

4. FAUX

Il y a deux tangentes horizontales car la dérivée s’annule deux fois ($0$ est une valeur intermédiaire entre $-5$ et $30$ et $0$ est une valeur intermédiaire entre $-5$ et $20$).

5. VRAI

La fonction est convexe sur $[5;15]$ car $f '$ est croissante sur $[5;15]$.

Exercice 2

1. a)

1. b) La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,8\ \ 0,2\\0,4\ \ 0,6 \end{pmatrix}$.

2. a)
$P_1=(0\ \ 1)$

2. b)
$M^2=\begin{pmatrix} 0,72\ \ 0,28\\0,56\ \ 0,44 \end{pmatrix}$

$P_3=P_1\times M^2=(0,56\ \ 0,44)$

Le troisième jour, la probabilité que Julie emprunte les routes départementales est $0,56$.

3. a)
$P_{n+1}=P_n\times M$
Donc $d_{n+1}=0,8d_n + 0,4r_n$ et $r_{n+1}=0,2d_n + 0,6r_n$

3. b)
Algorithme 3

4.
On a $r_{n+1}=0,2d_n + 0,6r_n$

Donc
$\begin{aligned} r_{n+1}&=0,2(1-r_n) + 0,6r_n\\ &=0,2-0,2r_n+0,6r_n\\ &=0,2+0,4r_n \end{aligned}$

5. a)
$\begin{aligned} v_{n+1}&=r_{n+1} -\dfrac{1}{3}\\ &=0,4r_n+0,2-\dfrac{1}{3}\\ &=0,4r_n-\dfrac{2}{15}\\ &=0,4\left(v_n +\dfrac 1 3 \right)-\dfrac{2}{15}\\ &=0,4v_n +\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{15}\\ &=0,4v_n \end{aligned}$

Le premier terme est $v_1=r_1-\dfrac 1 3=1-\dfrac 1 3= \dfrac 2 3$

5. b)
$v_n=v_1\times q^{n-1}=\dfrac 2 3 \times 0,4^{n-1}$
donc

$\begin{aligned} r_n&=v_n+\dfrac 1 3 \\ &=\dfrac 2 3 \times 0,4^{n-1} + \dfrac 1 3 \\ &=\dfrac 2 3\times 0,4^n \times 0,4^{-1}+\dfrac 1 3 \\ &= \dfrac 5 3 \times 0,4^n+\dfrac1 3 \end{aligned}$

5. c)
$0,4<1$ donc la limite de $0, 4^n$ est $0$.
Donc la limite de la suite $(r_n)$ est égale à $13$.
Au bout d’un grand nombre de jours, la probabilité que Julie utilise la voie rapide est $\dfrac 1 3 $.

Exercice 3

Partie A

1. $p(D<8)=p(-10^{99}<D<8)\approx 0,11$

2. $p(8<D< 26)\approx 0,85$

3. On reconnaît l’intervalle $2\sigma$ car $15, 5 - 2 \times 6 = 3, 5$ et $15, 5 + 2 \times 6 = 27, 5$

Partie B

1. On considère $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $p = 0,25$ et $n = 10$.
Succès : « Sébastien effectue le relevé » donc $p = 0,25$
On choisit $10$ relevés donc $n = 10$

2. $P(X=4)\approx 0,15$

3. $p(X\ge 2)=1-p(X \le 1)=1-0,24=0,76$

Partie C
L’intervalle de fluctuation est $\left[ f -\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
L’amplitude est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

$\begin{aligned} \dfrac{2}{\sqrt{n}}&<0,1 \\ \dfrac{\sqrt{n}}{2}&> \dfrac{1}{0,1} \\ \sqrt{n} &> \dfrac{2}{0,1} \\ n&> \left( \dfrac{2}{0,1}\right)^2 \\ n &> 400 \end{aligned}$

Il faut effectuer $401$ relevés.

Partie A

1. $f(0)\approx 115 $ et $f(60)\approx 70$

2. Déterminer $f^{\prime \prime}(7)=0$ car le point $A$ est le point d’inflexion.

3. a) Il faut hachurer la surface entre la courbe, l’axe des abscisses et les 2 droites verticales $x = 0$ et $x = 60$.

3. b) Un rectangle correspond à $200$ unités d’aires. Dans la partie hachurée, il y a au moins $20$ rectangles donc l’aire est supérieure à $200\times 20 = 4000$ unités d’aires. L’estimation n’est donc pas correcte.

Partie B

1.
$\begin{aligned} f^\prime(x)&=0+14\times e^{\frac{-x}{5}} +(14x+42)\times \left(\dfrac{-1}{5}\right) e^{\frac{-x}{5}} \\ f^\prime(x)&=14 e^{\frac{-x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times 14xe^{\frac{-x}{5}}- \dfrac{1}{5}\times 42e^{\frac{-x}{5}}\\ f^\prime(x)&=e^{\frac{-x}{5}} \left(14-\dfrac{14}{5}x-\dfrac{42}{5}\right)\\ f^\prime(x)&=e^{\frac{-x}{5}} \left(\dfrac{-14}{5}x+\dfrac{28}{5}\right)\\ f^\prime(x)&=\dfrac 1 5 e^{\frac{-x}{5}} (-14x+28) \end{aligned}$

2.
a) et b)

3. On a $f^{\prime \prime}=14 e^{-\frac{x}{5}} \left(\dfrac{x-7}{25}\right)$

On en déduit que la fonction est convexe sur $[7;60]$.

4.

a) Il faut vérifier que $G^\prime(x)=g(x)$
$\begin{aligned} G^\prime(x)&=-70\times e^{-\frac{x}{5}}+(-70x-560)\times \left(\dfrac{-1}{5}\right)e^{-\frac{x}{5}}\\ &=-70e^{-\frac{x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times (-70)xe^{-\frac{x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times (-560)e^{-\frac{x}{5}}\\ &=e^{-\frac{x}{5}}\left(-70+\dfrac{70}{5}x+\dfrac{560}{5}\right)\\ &=e^{-\frac{x}{5}}(14x+42)\\ &=g(x) \end{aligned}$

b) Une primitive de $f$ est : $F(x)=70x+G(x)$.

c)
$\begin{aligned} \int_{0}^{60} f(x)\text d x&=F(60)-F(0)\\ &=\left[70\times 60 + (-70\times60 - 560)e^{-\frac{60}{5}}\right]-\left[70\times 0 + (-70\times0 - 560)e^{-\frac{0}{5}}\right]\\ &=\left[4200-4670e^{-12}\right]-[-560]\\ &=4200+560-4670e^{-12}\\ &=4760 - 4760e^{-12\ \mathbb{F}}\\ &\approx4760 \end{aligned}$

Partie C

$4760\times 4 + 5400 = 24\ 440$
$24\ 440\ \text{cm}^2 =2,444\ \text{m}^2$
$\dfrac{1}{4}\times = 2,5$

$2,444<2,5$ donc il aura suffisamment de vernis.