[TAB]((auto, c, n, texte-gauche)) [LI] | **Corrigés proposés par L’Étudiant. Vous pouvez également retrouver les sujets probables 2020 [ici](https://www.letudiant.fr/bac/sujets-probables-bac.html).** | [/LI] [/TAB] [TAB]((100, c, n, texte-centre)) [LI] | **BACCALAURÉAT GÉNÉRAL** SESSION 2019 | [/LI] [/TAB] %C% **MATHÉMATIQUES** Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ **CORRIGÉ** %C%

**Exercice 1** **1.** FAUX $p_S\left(\bar{R}\right)=\dfrac{p\left(\bar{R} \cap S \right)}{p(S)} = \dfrac{0,3\times 0,2}{0,7\times 0,4+0,3\times 0,2}=\dfrac{0,06}{0,34}=\dfrac{6}{34}=\dfrac{3}{17}\approx 18$ **2.** FAUX $E(X)=\dfrac{k+18}{2}$ donc $\dfrac{k+18}{2}=12$ donc $ k=2\times 12-18=6$ donc $k<9$ **3.** VRAI $\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{e} \right)+\ln(2)=\ln(2x)+5$ $\Leftrightarrow \ln\left(2\times\dfrac{x^2}{\frac{x^5}{e}} \right)=\ln(2x)+5$ $\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{2e}{x^3} \right)=\ln(2x)+5$ $\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{2e}{x^3} \right)-\ln(2x)=5$ $\Leftrightarrow\dfrac{e}{x^4}=e^5$ $\Leftrightarrow x^4=\dfrac{e}{e^5}$ $\Leftrightarrow x^4=\dfrac{1}{e^4}$ $\Leftrightarrow x=\left(\dfrac{1}{e^4}\right)^{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}$ **4.** FAUX Il y a deux tangentes horizontales car la dérivée s’annule deux fois ($0$ est une valeur intermédiaire entre $-5$ et $30$ et $0$ est une valeur intermédiaire entre $-5$ et $20$). **5.** VRAI La fonction est convexe sur $[5;15]$ car $f '$ est croissante sur $[5;15]$. **Exercice 2** **1. a)** [IMG]((100)) ![Alt texte](https://kronos-images.schoolmouv.fr/img01-maths-es-l-spe-corrige.png) # [/IMG] **1. b)** La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,8\ \ 0,2\\0,4\ \ 0,6 \end{pmatrix}$. **2. a)** $P_1=(0\ \ 1)$ **2. b)** $M^2=\begin{pmatrix} 0,72\ \ 0,28\\0,56\ \ 0,44 \end{pmatrix}$ $P_3=P_1\times M^2=(0,56\ \ 0,44)$ Le troisième jour, la probabilité que Julie emprunte les routes départementales est $0,56$. **3. a)** $P_{n+1}=P_n\times M$ Donc $d_{n+1}=0,8d_n + 0,4r_n$ et $r_{n+1}=0,2d_n + 0,6r_n$ **3. b)** Algorithme 3 **4.** On a $r_{n+1}=0,2d_n + 0,6r_n$ Donc $\begin{aligned} r_{n+1}&=0,2(1-r_n) + 0,6r_n\\ &=0,2-0,2r_n+0,6r_n\\ &=0,2+0,4r_n \end{aligned}$ **5. a)** $\begin{aligned} v_{n+1}&=r_{n+1} -\dfrac{1}{3}\\ &=0,4r_n+0,2-\dfrac{1}{3}\\ &=0,4r_n-\dfrac{2}{15}\\ &=0,4\left(v_n +\dfrac 1 3 \right)-\dfrac{2}{15}\\ &=0,4v_n +\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{15}\\ &=0,4v_n \end{aligned}$ Le premier terme est $v_1=r_1-\dfrac 1 3=1-\dfrac 1 3= \dfrac 2 3$ **5. b)** $v_n=v_1\times q^{n-1}=\dfrac 2 3 \times 0,4^{n-1}$ donc $\begin{aligned} r_n&=v_n+\dfrac 1 3 \\ &=\dfrac 2 3 \times 0,4^{n-1} + \dfrac 1 3 \\ &=\dfrac 2 3\times 0,4^n \times 0,4^{-1}+\dfrac 1 3 \\ &= \dfrac 5 3 \times 0,4^n+\dfrac1 3 \end{aligned}$ **5. c)** $0,4<1$ donc la limite de $0, 4^n$ est $0$. Donc la limite de la suite $(r_n)$ est égale à $13$. Au bout d’un grand nombre de jours, la probabilité que Julie utilise la voie rapide est $\dfrac 1 3 $. **Exercice 3** **Partie A** **1.** $p(D<8)=p(-10^{99} \dfrac{1}{0,1} \\ \sqrt{n} &> \dfrac{2}{0,1} \\ n&> \left( \dfrac{2}{0,1}\right)^2 \\ n &> 400 \end{aligned}$ Il faut effectuer $401$ relevés. %C% **Exercice 4** %C% **Partie A** **1.** $f(0)\approx 115 $ et $f(60)\approx 70$ **2.** Déterminer $f^{\prime \prime}(7)=0$ car le point $A$ est le point d’inflexion. **3. a)** Il faut hachurer la surface entre la courbe, l’axe des abscisses et les 2 droites verticales $x = 0$ et $x = 60$. **3. b)** Un rectangle correspond à $200$ unités d’aires. Dans la partie hachurée, il y a au moins $20$ rectangles donc l’aire est supérieure à $200\times 20 = 4000$ unités d’aires. L’estimation n’est donc pas correcte. **Partie B** **1.** $\begin{aligned} f^\prime(x)&=0+14\times e^{\frac{-x}{5}} +(14x+42)\times \left(\dfrac{-1}{5}\right) e^{\frac{-x}{5}} \\ f^\prime(x)&=14 e^{\frac{-x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times 14xe^{\frac{-x}{5}}- \dfrac{1}{5}\times 42e^{\frac{-x}{5}}\\ f^\prime(x)&=e^{\frac{-x}{5}} \left(14-\dfrac{14}{5}x-\dfrac{42}{5}\right)\\ f^\prime(x)&=e^{\frac{-x}{5}} \left(\dfrac{-14}{5}x+\dfrac{28}{5}\right)\\ f^\prime(x)&=\dfrac 1 5 e^{\frac{-x}{5}} (-14x+28) \end{aligned}$ **2.** **a)** et **b)** [IMG]((80)) ![terminale maths obigatoire annale](https://kronos-images.schoolmouv.fr/img01-maths-es-l-obligatoire-corrige.png) # [/IMG] **3.** On a $f^{\prime \prime}=14 e^{-\frac{x}{5}} \left(\dfrac{x-7}{25}\right)$ [IMG]((80)) ![terminale maths obigatoire annale](https://kronos-images.schoolmouv.fr/img02-maths-es-l-obligatoire-corrige.png) # [/IMG] On en déduit que la fonction est convexe sur $[7;60]$. **4.** **a)** Il faut vérifier que $G^\prime(x)=g(x)$ $\begin{aligned} G^\prime(x)&=-70\times e^{-\frac{x}{5}}+(-70x-560)\times \left(\dfrac{-1}{5}\right)e^{-\frac{x}{5}}\\ &=-70e^{-\frac{x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times (-70)xe^{-\frac{x}{5}}-\dfrac{1}{5}\times (-560)e^{-\frac{x}{5}}\\ &=e^{-\frac{x}{5}}\left(-70+\dfrac{70}{5}x+\dfrac{560}{5}\right)\\ &=e^{-\frac{x}{5}}(14x+42)\\ &=g(x) \end{aligned}$ **b)** Une primitive de $f$ est : $F(x)=70x+G(x)$. **c)** $\begin{aligned} \int_{0}^{60} f(x)\text d x&=F(60)-F(0)\\ &=\left[70\times 60 + (-70\times60 - 560)e^{-\frac{60}{5}}\right]-\left[70\times 0 + (-70\times0 - 560)e^{-\frac{0}{5}}\right]\\ &=\left[4200-4670e^{-12}\right]-[-560]\\ &=4200+560-4670e^{-12}\\ &=4760 - 4760e^{-12\ \mathbb{F}}\\ &\approx4760 \end{aligned}$ **Partie C** $4760\times 4 + 5400 = 24\ 440$ $24\ 440\ \text{cm}^2 =2,444\ \text{m}^2$ $\dfrac{1}{4}\times = 2,5$ $2,444<2,5$ donc il aura suffisamment de vernis.