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Sujet spécimen 2020-2 - Spécialité mathématiques - Corrigé
Corrigé bac

ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU

Classe : Première

Enseignement : Spécialité « Mathématiques »

Durée de l’épreuve : 2 heures

Calculatrice autorisée.

SUJET 2020 – SPÉCIMEN 2 – CORRIGÉ

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.

Question 1

  • La bonne réponse est : « 1574015\,740 ».

Le coût de fabrication, en milliers d’euros, de 22 pièces est donné par C(2)C(2) :

C(2)=0,01×230,135×22+0,6×2+15=0,01×40,135×4+0,6×2+15=15,74\begin{aligned} C(2)&=0,01\times 2^3-0,135\times 2^2+0,6\times 2+15 \ &=0,01\times 4-0,135\times 4+0,6\times 2+15 \ &=15,74 \end{aligned}

  • Nous en déduisons donc que le coût de fabrication, en euros, de 22 pièces est égal à :

1000×15,74=157401\,000\times 15,74=\boxed{15\,740}

bannière attention

Attention

Il faut bien être attentif aux indications de l’énoncé et aux unités données : CC donne le coût en milliers d’euros et l’on nous demande le coût de 22 pièces en euros.

Question 2

  • La bonne réponse est : « a<0a < 0 et Δ=0\Delta = 0 ».

Tout d’abord, ff est un trinôme du second degré.
Et CfC_f nous montre que ff admet un maximum.

  • a<0\boxed{a < 0}.

De plus, CfC_f admet l’axe des abscisses comme tangente horizontale en un de ses points. ff admet donc 11 racine (double).

  • Δ=0\boxed{\Delta=0}.

Question 3

  • La bonne réponse est : « sin(x)-\sin{(x)} ».
bannière astuce

Astuce

Pour retrouver les égalités des cosinus et sinus d’angles associés, on peut se servir du cercle trigonométrique.

Question 4

  • La bonne réponse est : « (x+3)2+(y1)2=25(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25 ».

Soit I(xI ;yI)I\,(xI\ ;\, yI) le centre de Γ\Gamma, et RR son rayon.

  • Une équation de Γ\Gamma est alors :

(xxI)2+(yyI)2=R2(x-xI)^2+(y-yI)^2=R^2

Nous savons que ABAB est le diamètre de Γ\Gamma. Donc :

R=AB2=(xBxA)2+(yByA)22=(1(7))2+(24)22=64+362=1002=102=5\begin{aligned} R&=\dfrac{AB}2 \ &=\dfrac{\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}}2 \ &=\dfrac{\sqrt{\big(1-(-7)\big)^2+(-2-4)^2}}2 \ &=\dfrac{\sqrt{64+36}}2 \ &=\dfrac{\sqrt{100}}2 \ &=\dfrac{10}2 \ &=5 \end{aligned}

Calculons maintenant les coordonnées de II :

xI=xA+xB2=7+12=3yI=yA+yB2=4+(2)2=1\begin{aligned} xI&=\dfrac{xA+xB}2 \ &=\dfrac{-7+1}2 \ &=-3 \ yI&=\dfrac{yA+yB}2 \ &=\dfrac{4+(-2)}2 \ &=1 \end{aligned}

Les coordonnées de II sont donc : (1 ;1)(-1\ ;\, 1).

  • Nous trouvons alors l’équation recherchée :

(x(3))2+(y1)2=52(x+3)2+(y1)2=25\big(x-(-3)\big)^2+(y-1)^2=5^2 \Leftrightarrow \boxed{(x+3)^2+(y-1)^2=25}

Question 5

  • La bonne réponse est : « strictement parallèles ».
bannière rappel

Rappel

Soit une droite dont une équation cartésienne est : ax+by+c=0ax+by+c=0, avec aa, bb et cc des réels. Un vecteur directeur de la droite a alors pour coordonnées :

(ba)\begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix}

Par ailleurs, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont colinéaires.
Enfin, si deux droites sont confondues, alors tous les points de l’une appartiennent à l’autre.

Soit u\vec u le vecteur directeur de D:3x+2y1=0D:\red 3x+\green 2y-1=0.

  • Nous avons donc :

u(23)\vec u\begin{pmatrix} -\green 2 \ \red 3 \end{pmatrix}

Soit v\vec v le vecteur directeur de D:6x+4y+2=0D^{\prime}:\purple 6x+\blue 4y+2=0.

  • Nous avons donc :

v(46)\vec v\begin{pmatrix} -\blue 4 \ \purple 6 \end{pmatrix}

Nous remarquons que : v=2u\vec v=2\vec u, donc u\vec u et v\vec v sont colinéaires.

  • DD et DD^{\prime} sont parallèles.

Regardons si elles sont confondues.
Cherchons (par exemple) l’ordonnée du point AA d’abscisse 00 et qui appartient à DD :

3×0+2y1=02y=1y=12\begin{aligned} 3\times 0+2y-1=0 &\Leftrightarrow 2y=1 \ &\Leftrightarrow y=\dfrac 12 \end{aligned}

Regardons si A(0 ;12)A\,\left(0\ ;\, \frac 12\right) appartient aussi à DD^{\prime} :

6×0+4×12+2=406\times 0+4\times \dfrac 12 + 2=4\neq 0

Donc AA n’appartient pas à DD^{\prime}, et DD et DD^{\prime} ne sont pas confondues.

  • DD et DD^{\prime} sont strictement parallèles.
bannière astuce

Astuce

Pour être sûr de votre réponse, vous pouvez entrer dans votre calculatrice les équations des deux droites (si besoin en passant par l’équation réduite).
Vous verrez alors que les droites sont effectivement strictement parallèles.

Exercice 2 (5 points)

Question 1

bannière astuce

Astuce

Souvent, la première question permet d’entrer dans l’exercice, et il suffit ici de bien lire l’énoncé pour le traduire mathématiquement.

D’après l’énoncé, nous avons :

u2=u1+52=130+52=182u3=u2+52=182+52=234\begin{aligned} u2&=u1+52 \ &=130+52 \ &=\boxed{182} \ \ u3&=u2+52 \ &=182+52 \ &=\boxed{234} \end{aligned}

Question 2

Là aussi, il suffit de bien lire l’énoncé, qui dit : « le forage de chaque mètre supplémentaire coûte 52 euros52\ \text{euros} de plus que celui du mètre précédent ».

  • Donc, pour tout entier naturel non nul nn :

un+1=un+52 [avec u1=130]u{n+1}=un+52 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec u1=130u_1=130]}}}

(un)nN(un){n\in \mathbb N^*} est donc, par définition, une suite arithmétique de raison r=52r=52 et de premier terme $u_1=130$.

  • Nous en déduisons l’expression explicite du terme général de la suite.
    Pour tout entier naturel non nul nn :

un=u1+(n1)run=130+52(n1)un=u1+(n-1)r \Leftrightarrow \boxed{u_n=130+52(n-1)}

Question 3

S2S2 correspond au coût du forage de 22 mètres, soit le coût du première mètre (donné par u1u1, plus le coût du deuxième mètre (donné par u2u_2).

  • Nous avons donc, en utilisant les résultats de la question 1 :

S2=u1+u2=130+182=312\begin{aligned} S2&= u1+u_2 \ &=130+182 \ &=\boxed{312} \end{aligned}

De la même façon, S3S_3 correspond au coût du forage de 33 mètres.

  • Nous avons donc :

S3=u1+u2+u3=S2+u3=312+234=546\begin{aligned} S3&= u1+u2+u3 \ &=S2+u3 \ &=312+234 \ &=\boxed{546} \end{aligned}

Question 4

La variable CC contient le coût total de forage de nn mètres, c’est-à-dire :

Sn=u1+u2++unSn=u1+u2+…+un

Tant que ce coût est strictement inférieur à la subvention SS octroyée, alors on calcule le coût de forage de n+1n+1 mètres, et on assigne cette nouvelle valeur à CC.
Et nous avons, pour tout entier naturel non nul nn :

Sn+1=u1+u2++un+un+1=Sn+un+1\begin{aligned} S{n+1}&=\purple{u1 + u2 + … + un} + u{n+1} \ &=\purple{Sn}+u_{n+1} \end{aligned}

Or, nous l’avons montré à la question 2, nous avons, pour tout entier naturel non nul nn :

un=130+52(n1)u_n=130+52(n-1)

Donc, pour tout n1n\geq 1 :

un+1=130+52((n+1)1)=130+52n\begin{aligned} u_{n+1}&=130+52\big((n+1)-1\big) \ &=130+52n \end{aligned}

Finalement, nous obtenons :

Sn+1=Sn+130+52nS{n+1}=Sn+\red{130+52n}

À chaque boucle, nous ajoutons donc 130+52n\red{130+52n} à la variable CC.

  • Nous complétons donc ainsi l’algorithme :

1def nombremetre(S):2C = 1303n = 14while C < S:5C = C + 130 + 52n6¨C11C¨C12Cn = n + 17¨C13C¨C14Creturn n\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1}}&\quad\text{def nombre\textunderscore metre(S):} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2}}&\quad\qquad\text{C = 130} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3}}&\quad\qquad\text{n = 1} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{4}}&\quad\qquad\text{while C < S:} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{5}}&\quad\qquad\qquad\text{C = C + \red{130 + 52n}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{6}}&\quad\qquad\qquad\text{n = n + 1} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{7}}&\quad\qquad\text{return n} \end{aligned}metre(S):C = 130n = 1while C < S:C = C + 130 + 52nn = n + 1return n

Question 5

L’algorithme retournera le plus petit entier naturel non nul n0n0 tel que Sn0116610S{n_0}\geq 116\,610.

  • Nous cherchons donc à résoudre l’inéquation :

Sn116610Sn116610Sn \geq 116\,610 \Leftrightarrow Sn-116\,610

Or, nous admettons que, pour tout entier naturel non nul nn : Sn=26n2+104nS_n=26n^2+104n.

bannière demonstration

Démonstration

C’est admis, mais, pour bien comprendre d’où vient cette égalité, démontrons-la.

La propriété de la somme SS de termes consécutifs d’une suite arithmétique dit :

S=(nombre de termes)×premier terme+dernier terme2S=\text{(nombre de termes)}\times \dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}2

Dans notre cas, nous avons donc, pour tout entier naturel non nul nn :

Sn=u1+u2++unn termes=n×u1+un2=n×130+130+52(n1)2=n×208+52n2=n(104+26n)=26n2+104n\begin{aligned} Sn&=\overbrace{u1+u2+…+un}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{n\text{ termes}}}} \ &=n\times \dfrac {u1+un}2 \ &=n\times \dfrac{130+130+52(n-1)}2 \ &=n\times \dfrac{208+52n}2 \ &=n(104+26n) \ &=26n^2+104n \end{aligned}

Nous cherchons finalement à résoudre :

Sn116610Sn116610026n2+104n1166100\begin{aligned} Sn \geq 116\,610 &\Leftrightarrow Sn-116\,610 \geq 0 \ &\Leftrightarrow 26n^2+104n-116\,610\geq 0 \end{aligned}

bannière astuce

Astuce

Nous pourrions travailler directement avec l’inéquation : 26n2+104n116610026n^2+104n-116\,610 \geq 0, mais, afin d’avoir de moins grands nombres, nous regardons si nous pouvons la simplifier et, ce faisant, nous remarquons que 104104 et 116610116\,610 sont des multiples de 2626.

Nous avons l’équivalence suivante :

26n2+104n1166100n2+4n4485026n^2+104n-116\,610\geq 0 \Leftrightarrow n^2+4n-4\,485 \geq 0

Il nous faut donc étudier le signe du trinôme : n2+4n4485n^2+4n-4\,485.

Pour cela, commençons par calculer le discriminant Δ\Delta :

Δ=424×1×(4485)=17956\begin{aligned} \Delta&=4^2-4\times 1\times (-4\,485) \ &=17\,956 \end{aligned}

Le trinôme admet donc deux racines distinctes n1n1 et n2n2 :

n1=4179562×1=41342=1382=69n2=4+179562×1=4+1342=1302=65\begin{aligned} n1&=\dfrac{-4-\sqrt{17\,956}}{2\times 1} \ &=\dfrac{-4-134}2 \ &=\dfrac{-138}2 \ &=-69 \ \ n2&=\dfrac{-4+\sqrt{17\,956}}{2\times 1} \ &=\dfrac{-4+134}2 \ &=\dfrac{130}2 \ &=65 \ \end{aligned}

Nous savons que, sur ]69 ;65[]-69\ ;\, 65[, le trinôme est du signe de 1-1, donc strictement négatif, et strictement positif sur ] ;69[]-\infty\ ;\, -69[ et ]65 ;+[]65\ ;\, +\infty[. Et nous nous intéressons uniquement aux entiers naturels non nuls, nous avons donc :

  • n2+4n4485<0n^2+4n-4\,485 < 0 pour 1n<651\leq n < 65 ;
  • n2+4n4485=0n^2+4n-4\,485 = 0 pour n=65n=65 ;
  • n2+4n4485>0n^2+4n-4\,485 > 0 pour n>65n > 65.
  • Le plus petit entier n0n0 qui vérifie : Sn0116610S{n_0} \geq 116\,610, est donc égal à : 6565.
    L’algorithme renverra donc : 65\boxed{65}.

Exercice 3 (5 points)

Question 1

  • Question a

Déterminons tous les produits possibles selon les résultats obtenus avec les 22 dés :

×\times 11 22 33 44 55 66
11 11 22 33 44 55 66
22 22 44 66 88 1010 1212
33 33 66 99 1212 1515 1818
44 44 88 1212 1616 2020 2424
55 55 1010 1515 2020 2525 3030
66 66 1212 1818 2424 3030 3636
  • La variable aléatoire XX prend donc ses valeurs dans l’ensemble :

E={1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36}\boxed{E=\lbrace 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,8,\,9,\,10,\,12,\,15,\,16,\,18,\,20,\,24,\,25,\,30,\,36 \rbrace}

  • Question b

Le tableau de la question a nous montre qu’il y a au total 3636 produits, et nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.

  • Nous avons donc, pour tout kEk\in E :

p(X=k)=nombre de produits eˊgaux aˋ k36p(X=k)=\dfrac{\text{nombre de produits égaux à }k}{36}

Par exemple, il y a 44 produits égaux à 66 (en bleu dans le tableau ci-dessous) et 22 égaux 2424 (en orange) :

×\times 11 22 33 44 55 66
11 11 22 33 44 55 6\blue{6}
22 22 44 6\blue 6 88 1010 1212
33 33 6\blue 6 99 1212 1515 1818
44 44 88 1212 1616 2020 24\textcolor{#FFA500}{24}
55 55 1010 1515 2020 2525 3030
66 6\blue 6 1212 1818 24\textcolor{#FFA500}{24} 3030 3636
  • Nous trouvons donc :

P(X=6)=436P(X=24)=236\begin{aligned} P(X=6)&=\dfrac 4{36} \ P(X=24)&=\dfrac 2{36} \end{aligned}

Nous obtenons de la même façon les autres probabilités.

  • Le tableau suivant donne ainsi la loi de probabilité de XX :

kk p(X=k)p(X=k) kk p(X=k)p(X=k)
11 136\dfrac 1{36} 1212 436=19\dfrac 4{36}=\dfrac 19
22 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18} 1515 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}
33 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18} 1616 136\dfrac 1{36}
44 336=112\dfrac 3{36}=\dfrac 1{12} 1818 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}
55 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18} 2020 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}
66 436=19\dfrac 4{36}=\dfrac 19 2424 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}
88 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18} 2525 136\dfrac 1{36}
99 136\dfrac 1{36} 3030 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}
1010 236=118\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18} 3636 136\dfrac 1{36}
  • Question c

Déterminer la probabilité de gagner revient à calculer la probabilité que le produit des deux dés soit strictement inférieur à 1010, c’est-à-dire : P(X<10)P(X < 10).

  • Et nous avons, d’après la loi de probabilité de XX :

P(X<10)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=8)+P(X=9)=136+236+236+336+236+436+236+136=1736\begin{aligned} P(X < 10)&=P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3) \ &\qquad\quad +P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6) \ &\qquad\quad + P(X=8)+ P(X=9) \ &=\dfrac 1{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 3{36}+\dfrac 2{36} \ &\qquad\quad+\dfrac 4{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 1{36} \ &=\boxed{\dfrac{17}{36}} \end{aligned}

bannière astuce

Astuce

Nous pouvons aussi nous servir du tableau de la question a et noter (en vert dans le tableau ci-dessous) les produits strictement inférieurs à 1010 :

×\times 11 22 33 44 55 66
11 1\green 1 2\green 2 3\green 3 4\green 4 5\green 5 6\green 6
22 2\green 2 4\green 4 6\green 6 8\green 8 1010 1212
33 3\green 3 6\green 6 9\green 9 1212 1515 1818
44 4\green 4 8\green 8 1212 1616 2020 2424
55 5\green 5 1010 1515 2020 2525 3030
66 6\green 6 1212 1818 2424 3030 3636

Il y a 1717 produits qui sont strictement inférieurs à 1010.

  • La probabilité de gagner est donc :

P(X<10)=1736P(X < 10)=\dfrac{17}{36}

Question 2

Comme pour la première question, nous allons recenser tous les cas possibles avec ces nouveaux dés et mettre en vert ceux qui sont strictement inférieurs à 1010 :

×\times 11 22 22 33 33 44
11 1\green 1 2\green 2 2\green 2 3\green 3 3\green 3 4\green 4
33 3\green 3 6\green 6 6\green 6 9\green 9 9\green 9 1212
44 4\green 4 8\green 8 8\green 8 1212 1212 1616
55 5\green 5 1010 1010 1515 1515 2020
66 6\green 6 1212 1212 1818 1818 2424
88 8\green 8 1616 1616 2424 2424 3232

Il y a toujours 3636 cas possibles, dont 1717 réalisent le gain.

  • La probabilité de gagner avec ces nouveaux dés est donc :

P(Y<10)=1736\boxed{P(Y<10)=\dfrac{17}{36}}

Question 3

Nous voyons que P(X<10)=P(Y<10)P(X<10)=P(Y<10).

  • Les probabilités de gagner étant égales, peu importe que l’on joue avec les dés « classiques » ou avec les dés « spéciaux » : les chances de gagner (et de perdre…) sont identiques.

Exercice 4 (5 points)

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par : f(x)=e2x+6ex8x4f(x) = \text{e}^{2x} + 6\text{e}^x - 8x - 4.
Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère :

  • CfC_f la courbe représentative de la fonction ff,
  • D\mathcal D la droite d’équation cartésienne y=8x4y = - 8x - 4.

Question 1

bannière rappel

Rappel

Nous savons que la fonction dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle.

En outre, les formules de dérivation nous donnent, avec uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II, et aa, bb et kk un réel :

(ku)=ku(u+v)=u+v [par lineˊariteˊ](eax+b)=aeax+b [par deˊriveˊe d’une fonction composeˊe]\begin{aligned} (ku)^{\prime}&=ku^{\prime} \ (u+v)^{\prime}&=u^{\prime}+v^{\prime} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par linéarité]}}} \ (\text{e}^{ax+b})^{\prime}&=a\text{e}^{ax+b} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par dérivée d’une fonction composée]}}} \end{aligned}

Comme somme de fonctions dérivables sur R\mathbb R, ff est dérivable sur R\mathbb R.

  • D’une part, pour tout xx réel, nous avons donc :

f(x)=2e2x+6ex8f^{\prime}(x)=2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8

  • D’autre part, en développant l’expression donnée, nous avons, pour tout xx réel :

2(ex1)(ex+4)=2(ex)2+8ex2ex8=2e2x+6ex8 [car (ex)n=enx]=f(x)\begin{aligned} 2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)&=2{(\text e^x)}^2+8\text{e}^x-2\text{e}^x-8 \ &=2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car ${(\text{e}^x)}^n=\text{e}^{nx}$]}}} \ &=f^{\prime}(x) \end{aligned}

  • Nous avons donc bien, pour tout xRx \in \mathbb R :

f(x)=2(ex1)(ex+4)\boxed{f^{\prime}(x) = 2(\text{e}^x - 1)(\text{e}^x + 4)}

bannière astuce

Astuce

Donner une dérivée sous sa forme factorisée permet d’étudier son signe. Il faudra donc bien penser à se servir de cette réponse pour la question suivante.

Question 2

La fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb R. Donc ex+4>0e^x+4 > 0.

  • f(x)f^{\prime}(x) est donc du signe de ex1\text{e}^x-1.

Nous avons ainsi les équivalences suivantes :

f(x)=0ex1=0ex=1\begin{aligned} f^{\prime}(x) = 0 &\Leftrightarrow \text{e}^x-1=0 \ &\Leftrightarrow \text{e}^x=1 \end{aligned}

Or, par définition de la fonction exponentielle, e0=1\text{e}^0=1. Et elle est strictement croissante sur R\mathbb R.

  • Nous avons donc :

f(x)=0x=0f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow x=0

Et nous avons aussi, par stricte croissance de la fonction exponentielle sur R\mathbb R :

f(x)<0x<0f(x)>0x>0\begin{aligned} f^{\prime}(x) < 0 &\Leftrightarrow x < 0 \ f^{\prime}(x) > 0 &\Leftrightarrow x > 0 \end{aligned}

  • Nous pouvons maintenant donner le tableau de signes de f(x)f^{\prime}(x) :

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Question 3

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Astuce

Il faut avoir le réflexe : le signe de sa dérivée permet de déterminer le sens de variation d’une fonction.

La dérivée de ff s’annule et change de signe en x=0x=0.

  • Elle est négative sur ] ;0]]-\infty\ ;\, 0], elle est donc décroissante sur cet intervalle.
  • Elle est positive sur [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[, elle est donc croissante sur cet intervalle.
  • Et ff admet un minimum en x=0x=0, qui vaut :

f(0)=e2×0+6e08×04=1+64=3\begin{aligned} f(0)&=\text{e}^{2\times 0}+6\text{e}^0-8\times 0-4 \ &=1+6-4 \ &=3 \end{aligned}

  • Nous pouvons maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ff sur R\mathbb R :

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Img-03

Question 4

Nous l’avons dit dans la question précédente, ff admet un minimum en 00 qui vaut 33.
Cela signifie que, pour tout xx réel : f(x)3f(x)\geq 3.

  • Ainsi, pour tout xx réel, f(x)f(x) est strictement positif.

Question 5

CfC_f est la courbe représentative de la fonction ff, et D\mathcal D est la droite d’équation : y=8x4y=-8x-4.
Elles ont un point commun si et seulement si il existe une solution à l’équation : f(x)=8x4f(x)=-8x-4.

  • Résolvons cette équation :

f(x)=8x4e2x+6ex8x4=8x4e2x+6ex8x4+8x+4=0e2x+6ex=0(ex)2+6ex=0 [car enx=(ex)n]ex(ex+6)=0\begin{aligned} f(x)=-8x-4 &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8x-4=-8x-4 \ &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8x-4+8x+4=0 \ &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x=0 \ &\Leftrightarrow (\text{e}^{x})^2+6\text{e}^x=0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\text e^{nx}={(\text{e}^x)}^n$]}}} \ &\Leftrightarrow \text{e}^x(\text{e}^x+6)=0 \end{aligned}

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Astuce

Pensez à factoriser, dès lors que vous cherchez pour quelles valeurs une expression s’annule, car un produit de facteurs est nul si un facteur est nul.

Or, pour tout xx réel, ex\text{e}^x et donc ex+6\text{e}^x+6 sont strictement positifs, donc leur produit sera strictement positif et n’est ainsi jamais nul. L’équation n’admet donc pas de solution sur R\mathbb R.

  • CfC_f et D\mathcal D n’ont pas de point commun.
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Astuce

Nous donnons ci-dessous, pour information, la courbe représentative de ff et la droite D\mathcal D.
De votre côté, n’hésitez pas à tracer avec votre calculatrice les fonctions lorsque vous les étudiez.

  • Cela vous permettra de vérifier que vos calculs sont cohérents avec la représentation graphique.

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Dans cet exercice, par exemple, la représentation graphique n’infirme pas nos résultats :

  • ff est décroissante sur ] ;0]]-\infty\ ;\, 0] et croissante sur [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[ ;
  • ff atteint un minimum en x=0x=0, qui vaut 33, et elle est strictement positive ;
  • Si CfC_f et D\mathcal D semblent se rapprocher, on peut tout de même présumer qu’elles ne se couperont pas.