[TAB]((100, c, n, texte-gauche)) [LI] | %C%**ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU**%C% %C%Classe : **Première**%C% %C%Enseignement : **Spécialité « Mathématiques »**%C% %C%Durée de l’épreuve : **2 heures**%C% %C%__Calculatrice autorisée.__ %C%((0,0,0,#52d2fb)) | [/LI] [LI] | %C%**SUJET 2020 – SPÉCIMEN 2 – CORRIGÉ**%C% ((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [/TAB] ## Exercice 1 (5 points)/1 __Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.__ ### Question 1/1. * **La bonne réponse est : « $15\,740$ ».**((bulle,d.)) Le coût de fabrication, en milliers d’euros, de $2$ pièces est donné par $C(2)$ : $$\begin{aligned} C(2)&=0,01\times 2^3-0,135\times 2^2+0,6\times 2+15 \\ &=0,01\times 4-0,135\times 4+0,6\times 2+15 \\ &=15,74 \end{aligned}$$ * Nous en déduisons donc que le coût de fabrication, en euros, de $2$ pièces est égal à :((fleche)) $$1\,000\times 15,74=\boxed{15\,740}$$ [ATT] Il faut bien être attentif aux indications de l’énoncé et aux unités données : $C$ donne le coût en **milliers d’euros** et l’on nous demande le coût de $2$ pièces en **euros**. [/ATT] ### Question 2/2. * **La bonne réponse est : « $a < 0$ et $\Delta = 0$ ».**((bulle,c.)) Tout d’abord, $f$ est un trinôme du second degré. Et $C_f$ nous montre que $f$ admet un maximum. * $\boxed{a < 0}$.((fleche)) De plus, $C_f$ admet l’axe des abscisses comme tangente horizontale en un de ses points. $f$ admet donc $1$ racine (double). * $\boxed{\Delta=0}$.((fleche)) ### Question 3/3. * **La bonne réponse est : « $-\sin{(x)}$ ».**((bulle,d.)) [AST] Pour retrouver les égalités des cosinus et sinus d’angles associés, on peut se servir du cercle trigonométrique. [/AST] ### Question 4/4. * **La bonne réponse est : « $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25$ ».**((bulle,b.)) Soit $I\,(x_I\ ;\, y_I)$ le centre de $\Gamma$, et $R$ son rayon. * Une équation de $\Gamma$ est alors :((fleche)) $$(x-x_I)^2+(y-y_I)^2=R^2$$ Nous savons que $AB$ est le diamètre de $\Gamma$. Donc : $$\begin{aligned} R&=\dfrac{AB}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{\big(1-(-7)\big)^2+(-2-4)^2}}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{64+36}}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{100}}2 \\ &=\dfrac{10}2 \\ &=5 \end{aligned}$$ Calculons maintenant les coordonnées de $I$ : $$\begin{aligned} x_I&=\dfrac{x_A+x_B}2 \\ &=\dfrac{-7+1}2 \\ &=-3 \\ y_I&=\dfrac{y_A+y_B}2 \\ &=\dfrac{4+(-2)}2 \\ &=1 \end{aligned}$$ Les coordonnées de $I$ sont donc : $(-1\ ;\, 1)$. * Nous trouvons alors l’équation recherchée :((fleche)) $$\big(x-(-3)\big)^2+(y-1)^2=5^2 \Leftrightarrow \boxed{(x+3)^2+(y-1)^2=25}$$ ### Question 5/5. * **La bonne réponse est : « strictement parallèles ».**((bulle,c)) [RAP] Soit une droite dont une équation cartésienne est : $ax+by+c=0$, avec $a$, $b$ et $c$ des réels. Un vecteur directeur de la droite a alors pour coordonnées : $$\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$$ Par ailleurs, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont colinéaires. Enfin, si deux droites sont confondues, alors tous les points de l’une appartiennent à l’autre. [/RAP] Soit $\vec u$ le vecteur directeur de $D:\red 3x+\green 2y-1=0$. * Nous avons donc :((fleche)) $$\vec u\begin{pmatrix} -\green 2 \\ \red 3 \end{pmatrix}$$ Soit $\vec v$ le vecteur directeur de $D^{\prime}:\purple 6x+\blue 4y+2=0$. * Nous avons donc :((fleche)) $$\vec v\begin{pmatrix} -\blue 4 \\ \purple 6 \end{pmatrix}$$ Nous remarquons que : $\vec v=2\vec u$, donc $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires. * $D$ et $D^{\prime}$ sont parallèles.((fleche)) Regardons si elles sont confondues. Cherchons (par exemple) l’ordonnée du point $A$ d’abscisse $0$ et qui appartient à $D$ : $$\begin{aligned} 3\times 0+2y-1=0 &\Leftrightarrow 2y=1 \\ &\Leftrightarrow y=\dfrac 12 \end{aligned}$$ Regardons si $A\,\left(0\ ;\, \frac 12\right)$ appartient aussi à $D^{\prime}$ : $$6\times 0+4\times \dfrac 12 + 2=4\neq 0$$ Donc $A$ n’appartient pas à $D^{\prime}$, et $D$ et $D^{\prime}$ ne sont pas confondues. * $D$ et $D^{\prime}$ sont **strictement parallèles**.((fleche)) [AST] Pour être sûr de votre réponse, vous pouvez entrer dans votre calculatrice les équations des deux droites (si besoin en passant par l’équation réduite). Vous verrez alors que les droites sont effectivement strictement parallèles. [/AST] ## Exercice 2 (5 points)/2 ### Question 1/1. [AST] Souvent, la première question permet d’entrer dans l’exercice, et il suffit ici de bien lire l’énoncé pour le traduire mathématiquement. [/AST] D’après l’énoncé, nous avons : $$\begin{aligned} u_2&=u_1+52 \\ &=130+52 \\ &=\boxed{182} \\ \\ u_3&=u_2+52 \\ &=182+52 \\ &=\boxed{234} \end{aligned}$$ ### Question 2/2. Là aussi, il suffit de bien lire l’énoncé, qui dit : « le forage de chaque mètre supplémentaire coûte $52\ \text{euros}$ de plus que celui du mètre précédent ». * Donc, pour tout entier naturel non nul $n$ :((fleche)) $$u_{n+1}=u_n+52 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $u_1=130$]}}}$$ $(u_n)_{n\in \mathbb N^*}$ est donc, par définition, une suite arithmétique de raison $r=52$ et de premier terme $u_1=130$. * Nous en déduisons l’expression explicite du terme général de la suite. Pour tout entier naturel non nul $n$ :((fleche)) $$u_n=u_1+(n-1)r \Leftrightarrow \boxed{u_n=130+52(n-1)}$$ ### Question 3/3. $S_2$ correspond au coût du forage de $2$ mètres, soit le coût du première mètre (donné par $u_1$, plus le coût du deuxième mètre (donné par $u_2$). * Nous avons donc, en utilisant les résultats de la question 1 :((fleche)) $$\begin{aligned} S_2&= u_1+u_2 \\ &=130+182 \\ &=\boxed{312} \end{aligned}$$ De la même façon, $S_3$ correspond au coût du forage de $3$ mètres. * Nous avons donc :((fleche)) $$\begin{aligned} S_3&= u_1+u_2+u_3 \\ &=S_2+u_3 \\ &=312+234 \\ &=\boxed{546} \end{aligned}$$ ### Question 4/4. La variable $C$ contient le coût total de forage de $n$ mètres, c’est-à-dire : $$S_n=u_1+u_2+…+u_n$$ Tant que ce coût est strictement inférieur à la subvention $S$ octroyée, alors on calcule le coût de forage de $n+1$ mètres, et on assigne cette nouvelle valeur à $C$. Et nous avons, pour tout entier naturel non nul $n$ : $$\begin{aligned} S_{n+1}&=\purple{u_1 + u_2 + … + u_n} + u_{n+1} \\ &=\purple{S_n}+u_{n+1} \end{aligned}$$ Or, nous l’avons montré à la question 2, nous avons, pour tout entier naturel non nul $n$ : $$u_n=130+52(n-1)$$ Donc, pour tout $n\geq 1$ : $$\begin{aligned} u_{n+1}&=130+52\big((n+1)-1\big) \\ &=130+52n \end{aligned}$$ Finalement, nous obtenons : $$S_{n+1}=S_n+\red{130+52n}$$ À chaque boucle, nous ajoutons donc $\red{130+52n}$ à la variable $C$. * Nous complétons donc ainsi l’algorithme :((fleche)) [TAB]((auto, c, n, texte-gauche)) [LI] | $\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1}}&\quad\text{def nombre\textunderscore metre(S):} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2}}&\quad\qquad\text{C = 130} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3}}&\quad\qquad\text{n = 1} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{4}}&\quad\qquad\text{while C < S:} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{5}}&\quad\qquad\qquad\text{C = C + \red{130 + 52n}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{6}}&\quad\qquad\qquad\text{n = n + 1} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{7}}&\quad\qquad\text{return n} \end{aligned}$ ((0,0,0,#E6E6E6)) | [/LI] [/TAB] ### Question 5/5. L’algorithme retournera le plus petit entier naturel non nul $n_0$ tel que $S_{n_0}\geq 116\,610$. * Nous cherchons donc à résoudre l’inéquation :((fleche)) $$S_n \geq 116\,610 \Leftrightarrow S_n-116\,610$$ Or, nous admettons que, pour tout entier naturel non nul $n$ : $S_n=26n^2+104n$. [DEMO] C’est admis, mais, pour bien comprendre d’où vient cette égalité, démontrons-la. La propriété de la somme $S$ de termes consécutifs d’une suite arithmétique dit : $$S=\text{(nombre de termes)}\times \dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}2$$ Dans notre cas, nous avons donc, pour tout entier naturel non nul $n$ : $$\begin{aligned} S_n&=\overbrace{u_1+u_2+…+u_n}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{n\text{ termes}}}} \\ &=n\times \dfrac {u_1+u_n}2 \\ &=n\times \dfrac{130+130+52(n-1)}2 \\ &=n\times \dfrac{208+52n}2 \\ &=n(104+26n) \\ &=26n^2+104n \end{aligned}$$ [/DEMO] Nous cherchons finalement à résoudre : $$\begin{aligned} S_n \geq 116\,610 &\Leftrightarrow S_n-116\,610 \geq 0 \\ &\Leftrightarrow 26n^2+104n-116\,610\geq 0 \end{aligned}$$ [AST] Nous pourrions travailler directement avec l’inéquation : $26n^2+104n-116\,610 \geq 0$, mais, afin d’avoir de moins grands nombres, nous regardons si nous pouvons la simplifier et, ce faisant, nous remarquons que $104$ et $116\,610$ sont des multiples de $26$. [/AST] Nous avons l’équivalence suivante : $$26n^2+104n-116\,610\geq 0 \Leftrightarrow n^2+4n-4\,485 \geq 0$$ Il nous faut donc étudier le signe du trinôme : $n^2+4n-4\,485$. Pour cela, commençons par calculer le discriminant $\Delta$ : $$\begin{aligned} \Delta&=4^2-4\times 1\times (-4\,485) \\ &=17\,956 \end{aligned}$$ Le trinôme admet donc deux racines distinctes $n_1$ et $n_2$ : $$\begin{aligned} n_1&=\dfrac{-4-\sqrt{17\,956}}{2\times 1} \\ &=\dfrac{-4-134}2 \\ &=\dfrac{-138}2 \\ &=-69 \\ \\ n_2&=\dfrac{-4+\sqrt{17\,956}}{2\times 1} \\ &=\dfrac{-4+134}2 \\ &=\dfrac{130}2 \\ &=65 \\ \end{aligned}$$ Nous savons que, sur $]-69\ ;\, 65[$, le trinôme est du signe de $-1$, donc strictement négatif, et strictement positif sur $]-\infty\ ;\, -69[$ et $]65\ ;\, +\infty[$. Et nous nous intéressons uniquement aux entiers naturels non nuls, nous avons donc : * $n^2+4n-4\,485 < 0$ pour $1\leq n < 65$ ; * $n^2+4n-4\,485 = 0$ pour $n=65$ ; * $n^2+4n-4\,485 > 0$ pour $n > 65$. * Le plus petit entier $n_0$ qui vérifie : $S_{n_0} \geq 116\,610$, est donc égal à : $65$. L’algorithme renverra donc : $\boxed{65}$.((fleche)) ## Exercice 3 (5 points)/3 ### Question 1/1. * **Question a**((bulle,a.)) Déterminons tous les produits possibles selon les résultats obtenus avec les $2$ dés : [TAB]((auto, c, n, texte-centre)) [LI] | $\times$((16,0,0,#52d2fb)) | | $1$((14,0,0,#52d2fb)) | | $2$((14,0,0,#52d2fb)) | | $3$((14,0,0,#52d2fb)) | | $4$((14,0,0,#52d2fb)) | | $5$((14,0,0,#52d2fb)) | | $6$((14,0,0,#52d2fb)) | [/LI] [LI] | $1$((0,0,0,#52d2fb)) | | $1$ | | $2$ | | $3$ | | $4$ | | $5$ | | $6$ | [/LI] [LI] | $2$((0,0,0,#52d2fb)) | | $2$ | | $4$ | | $6$ | | $8$ | | $10$ | | $12$ | [/LI] [LI] | $3$((0,0,0,#52d2fb)) | | $3$ | | $6$ | | $9$ | | $12$ | | $15$ | | $18$ | [/LI] [LI] | $4$((0,0,0,#52d2fb)) | | $4$ | | $8$ | | $12$ | | $16$ | | $20$ | | $24$ | [/LI] [LI] | $5$((0,0,0,#52d2fb)) | | $5$ | | $10$ | | $15$ | | $20$ | | $25$ | | $30$ | [/LI] [LI] | $6$((0,0,0,#52d2fb)) | | $6$ | | $12$ | | $18$ | | $24$ | | $30$ | | $36$ | [/LI] [/TAB] * La variable aléatoire $X$ prend donc ses valeurs dans l’ensemble :((fleche)) $$\boxed{E=\lbrace 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,8,\,9,\,10,\,12,\,15,\,16,\,18,\,20,\,24,\,25,\,30,\,36 \rbrace}$$ * **Question b**((bulle,b.)) Le tableau de la question a nous montre qu’il y a au total $36$ produits, et nous sommes dans une situation d’équiprobabilité. * Nous avons donc, pour tout $k\in E$ :((fleche)) $$p(X=k)=\dfrac{\text{nombre de produits égaux à }k}{36}$$ Par exemple, il y a $4$ produits égaux à $6$ (en bleu dans le tableau ci-dessous) et $2$ égaux $24$ (en orange) : [TAB]((auto, c, n, texte-centre)) [LI] | $\times$((16,0,0,#52d2fb)) | | $1$((14,0,0,#52d2fb)) | | $2$((14,0,0,#52d2fb)) | | $3$((14,0,0,#52d2fb)) | | $4$((14,0,0,#52d2fb)) | | $5$((14,0,0,#52d2fb)) | | $6$((14,0,0,#52d2fb)) | [/LI] [LI] | $1$((0,0,0,#52d2fb)) | | $1$ | | $2$ | | $3$ | | $4$ | | $5$ | | $\blue{6}$ | [/LI] [LI] | $2$((0,0,0,#52d2fb)) | | $2$ | | $4$ | | $\blue 6$ | | $8$ | | $10$ | | $12$ | [/LI] [LI] | $3$((0,0,0,#52d2fb)) | | $3$ | | $\blue 6$ | | $9$ | | $12$ | | $15$ | | $18$ | [/LI] [LI] | $4$((0,0,0,#52d2fb)) | | $4$ | | $8$ | | $12$ | | $16$ | | $20$ | | $\textcolor{#FFA500}{24}$ | [/LI] [LI] | $5$((0,0,0,#52d2fb)) | | $5$ | | $10$ | | $15$ | | $20$ | | $25$ | | $30$ | [/LI] [LI] | $6$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\blue 6$ | | $12$ | | $18$ | | $\textcolor{#FFA500}{24}$ | | $30$ | | $36$ | [/LI] [/TAB] * Nous trouvons donc :((fleche)) $$\begin{aligned} P(X=6)&=\dfrac 4{36} \\ P(X=24)&=\dfrac 2{36} \end{aligned}$$ Nous obtenons de la même façon les autres probabilités. * Le tableau suivant donne ainsi la loi de probabilité de $X$ :((fleche)) [TAB]((auto, c, n, texte-centre)) [LI] | $k$((12.5,0,0,#3dc1eb)) | | $p(X=k)$((35,0,0,#3dc1eb)) | | ((5,0,10)) | | $k$((12.5,0,0,#3dc1eb)) | | $p(X=k)$((35,0,0,#3dc1eb)) | [/LI] [LI] | $1$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 1{36}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $12$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 4{36}=\dfrac 19$((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | $2$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#abe6ff)) | | $15$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | $3$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $16$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 1{36}$((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | $4$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 3{36}=\dfrac 1{12}$((0,0,0,#abe6ff)) | | $18$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | $5$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $20$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | $6$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 4{36}=\dfrac 19$((0,0,0,#abe6ff)) | | $24$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | $8$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $25$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 1{36}$((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [LI] | $9$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 1{36}$((0,0,0,#abe6ff)) | | $30$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#FFEFD5)) | [/LI] [LI] | $10$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$((0,0,0,#FFEFD5)) | | $36$((0,0,0,#abe6ff)) | | $\dfrac 1{36}$((0,0,0,#abe6ff)) | [/LI] [/TAB] * **Question c**((bulle,c.)) Déterminer la probabilité de gagner revient à calculer la probabilité que le produit des deux dés soit strictement inférieur à $10$, c’est-à-dire : $P(X < 10)$. * Et nous avons, d’après la loi de probabilité de $X$ :((fleche)) $$\begin{aligned} P(X < 10)&=P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3) \\ &\qquad\quad +P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6) \\ &\qquad\quad + P(X=8)+ P(X=9) \\ &=\dfrac 1{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 3{36}+\dfrac 2{36} \\ &\qquad\quad+\dfrac 4{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 1{36} \\ &=\boxed{\dfrac{17}{36}} \end{aligned}$$ [AST] Nous pouvons aussi nous servir du tableau de la question a et noter (en vert dans le tableau ci-dessous) les produits strictement inférieurs à $10$ : [TAB]((auto, c, n, texte-centre)) [LI] | $\times$((16,0,0,#52d2fb)) | | $1$((14,0,0,#52d2fb)) | | $2$((14,0,0,#52d2fb)) | | $3$((14,0,0,#52d2fb)) | | $4$((14,0,0,#52d2fb)) | | $5$((14,0,0,#52d2fb)) | | $6$((14,0,0,#52d2fb)) | [/LI] [LI] | $1$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 1$ | | $\green 2$ | | $\green 3$ | | $\green 4$ | | $\green 5$ | | $\green 6$ | [/LI] [LI] | $2$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 2$ | | $\green 4$ | | $\green 6$ | | $\green 8$ | | $10$ | | $12$ | [/LI] [LI] | $3$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 3$ | | $\green 6$ | | $\green 9$ | | $12$ | | $15$ | | $18$ | [/LI] [LI] | $4$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 4$ | | $\green 8$ | | $12$ | | $16$ | | $20$ | | $24$ | [/LI] [LI] | $5$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 5$ | | $10$ | | $15$ | | $20$ | | $25$ | | $30$ | [/LI] [LI] | $6$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 6$ | | $12$ | | $18$ | | $24$ | | $30$ | | $36$ | [/LI] [/TAB] Il y a $17$ produits qui sont strictement inférieurs à $10$. * La probabilité de gagner est donc :((fleche)) $$P(X < 10)=\dfrac{17}{36}$$ [/AST] ### Question 2/2. Comme pour la première question, nous allons recenser tous les cas possibles avec ces nouveaux dés et mettre en vert ceux qui sont strictement inférieurs à $10$ : [TAB]((auto, c, n, texte-centre)) [LI] | $\times$((16,0,0,#52d2fb)) | | $1$((14,0,0,#52d2fb)) | | $2$((14,0,0,#52d2fb)) | | $2$((14,0,0,#52d2fb)) | | $3$((14,0,0,#52d2fb)) | | $3$((14,0,0,#52d2fb)) | | $4$((14,0,0,#52d2fb)) | [/LI] [LI] | $1$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 1$ | | $\green 2$ | | $\green 2$ | | $\green 3$ | | $\green 3$ | | $\green 4$ | [/LI] [LI] | $3$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 3$ | | $\green 6$ | | $\green 6$ | | $\green 9$ | | $\green 9$ | | $12$ | [/LI] [LI] | $4$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 4$ | | $\green 8$ | | $\green 8$ | | $12$ | | $12$ | | $16$ | [/LI] [LI] | $5$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 5$ | | $10$ | | $10$ | | $15$ | | $15$ | | $20$ | [/LI] [LI] | $6$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 6$ | | $12$ | | $12$ | | $18$ | | $18$ | | $24$ | [/LI] [LI] | $8$((0,0,0,#52d2fb)) | | $\green 8$ | | $16$ | | $16$ | | $24$ | | $24$ | | $32$ | [/LI] [/TAB] Il y a toujours $36$ cas possibles, dont $17$ réalisent le gain. * La probabilité de gagner avec ces nouveaux dés est donc :((fleche)) $$\boxed{P(Y<10)=\dfrac{17}{36}}$$ ### Question 3/3. Nous voyons que $P(X<10)=P(Y<10)$. * Les probabilités de gagner étant égales, **peu importe que l’on joue avec les dés « classiques » ou avec les dés « spéciaux »** : les chances de gagner (et de perdre…) sont identiques.((fleche)) ## Exercice 4 (5 points)/4 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par : $f(x) = \text{e}^{2x} + 6\text{e}^x - 8x - 4$. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère : * $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$, * $\mathcal D$ la droite d’équation cartésienne $y = - 8x - 4$. ### Question 1/1. [RAP] Nous savons que la fonction dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle. En outre, les formules de dérivation nous donnent, avec $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $a$, $b$ et $k$ un réel : $$\begin{aligned} (ku)^{\prime}&=ku^{\prime} \\ (u+v)^{\prime}&=u^{\prime}+v^{\prime} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par linéarité]}}} \\ (\text{e}^{ax+b})^{\prime}&=a\text{e}^{ax+b} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par dérivée d’une fonction composée]}}} \end{aligned}$$ [/RAP] Comme somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, $f$ est dérivable sur $\mathbb R$. * D’une part, pour tout $x$ réel, nous avons donc :((bulle,1)) $$f^{\prime}(x)=2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8 $$ * D’autre part, en développant l’expression donnée, nous avons, pour tout $x$ réel :((bulle,2)) $$\begin{aligned} 2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)&=2{(\text e^x)}^2+8\text{e}^x-2\text{e}^x-8 \\ &=2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car ${(\text{e}^x)}^n=\text{e}^{nx}$]}}} \\ &=f^{\prime}(x) \end{aligned}$$ * Nous avons donc bien, pour tout $x \in \mathbb R$ :((bulle,C)) $$\boxed{f^{\prime}(x) = 2(\text{e}^x - 1)(\text{e}^x + 4)}$$ [AST] Donner une dérivée sous sa forme factorisée permet d’étudier son signe. Il faudra donc bien penser à se servir de cette réponse pour la question suivante. [/AST] ### Question 2/2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$. Donc $e^x+4 > 0$. * $f^{\prime}(x)$ est donc du signe de $\text{e}^x-1$.((fleche)) Nous avons ainsi les équivalences suivantes : $$\begin{aligned} f^{\prime}(x) = 0 &\Leftrightarrow \text{e}^x-1=0 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^x=1 \end{aligned}$$ Or, par définition de la fonction exponentielle, $\text{e}^0=1$. Et elle est strictement croissante sur $\mathbb R$. * Nous avons donc :((fleche)) $$f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow x=0$$ Et nous avons aussi, par stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb R$ : $$\begin{aligned} f^{\prime}(x) < 0 &\Leftrightarrow x < 0 \\ f^{\prime}(x) > 0 &\Leftrightarrow x > 0 \end{aligned}$$ * Nous pouvons maintenant donner le **tableau de signes de $f^{\prime}(x)$** :((fleche)) [IMG]((60)) ![Alt mathématiques première corrigé bac sujet spécimen](https://images-schoolmouv-cours.s3.eu-west-1.amazonaws.com/1-gss-maths-specimen2-2021-img02.png) # [/IMG] ### Question 3/3. [AST] Il faut avoir le réflexe : le signe de sa dérivée permet de déterminer le sens de variation d’une fonction. [/AST] La dérivée de $f$ s’annule et change de signe en $x=0$. * Elle est négative sur $]-\infty\ ;\, 0]$, elle est donc décroissante sur cet intervalle. * Elle est positive sur $[0\ ;\, +\infty[$, elle est donc croissante sur cet intervalle. * Et $f$ admet un minimum en $x=0$, qui vaut : $$\begin{aligned} f(0)&=\text{e}^{2\times 0}+6\text{e}^0-8\times 0-4 \\ &=1+6-4 \\ &=3 \end{aligned}$$ * Nous pouvons maintenant dresser le **tableau de variations de la fonction $f$** sur $\mathbb R$ :((fleche)) [IMG]((60)) ![Alt mathématiques première corrigé bac sujet spécimen](https://images-schoolmouv-cours.s3.eu-west-1.amazonaws.com/1-gss-maths-specimen2-2021-img03.png) # [/IMG] Img-03 ### Question 4/4. Nous l’avons dit dans la question précédente, $f$ admet un minimum en $0$ qui vaut $3$. Cela signifie que, pour tout $x$ réel : $f(x)\geq 3$. * Ainsi, pour tout $x$ réel, **$f(x)$ est strictement positif**.((fleche)) ### Question 5/5. $C_f$ est la courbe représentative de la fonction $f$, et $\mathcal D$ est la droite d’équation : $y=-8x-4$. Elles ont un point commun si et seulement si il existe une solution à l’équation : $f(x)=-8x-4$. * Résolvons cette équation :((fleche)) $$\begin{aligned} f(x)=-8x-4 &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8x-4=-8x-4 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8x-4+8x+4=0 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x=0 \end{aligned}$$ Or, pour tout $x$ réel, $\text{e}^x$ et donc $\text{e}^x+6$ sont strictement positifs, donc leur somme est strictement positive et n’est ainsi jamais nulle. L’équation n’admet donc pas de solution sur $\mathbb R$. * **$C_f$ et $\mathcal D$ n’ont pas de point commun.**((fleche)) [AST] Nous donnons ci-dessous, pour information, la courbe représentative de $f$ et la droite $\mathcal D$. De votre côté, n’hésitez pas à tracer avec votre calculatrice les fonctions lorsque vous les étudiez. * Cela vous permettra de vérifier que vos calculs sont cohérents avec la représentation graphique.((fleche)) [IMG]((50)) ![Alt mathématiques première corrigé bac sujet spécimen](https://images-schoolmouv-cours.s3.eu-west-1.amazonaws.com/1-gss-maths-specimen2-2021-img04.png) # [/IMG] Dans cet exercice, par exemple, la représentation graphique n’infirme pas nos résultats : * $f$ est décroissante sur $]-\infty\ ;\, 0]$ et croissante sur $[0\ ;\, +\infty[$ ; * $f$ atteint un minimum en $x=0$, qui vaut $3$, et elle est strictement positive ; * Si $C_f$ et $\mathcal D$ semblent se rapprocher, on peut tout de même présumer qu’elles ne se couperont pas. [/AST]