ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU Classe : Première Enseignement : Spécialité « Mathématiques » Durée de l’épreuve : 2 heures Calculatrice autorisée. |
SUJET 2020 – SPÉCIMEN 2 – CORRIGÉ |
Exercice 1 (5 points)
Exercice 1 (5 points)
Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.
Question 1
Question 1
- La bonne réponse est : « ».
Le coût de fabrication, en milliers d’euros, de pièces est donné par :
- Nous en déduisons donc que le coût de fabrication, en euros, de pièces est égal à :
Il faut bien être attentif aux indications de l’énoncé et aux unités données : donne le coût en milliers d’euros et l’on nous demande le coût de pièces en euros.
Question 2
Question 2
- La bonne réponse est : « et ».
Tout d’abord, est un trinôme du second degré.
Et nous montre que admet un maximum.
- .
De plus, admet l’axe des abscisses comme tangente horizontale en un de ses points. admet donc racine (double).
- .
Question 3
Question 3
- La bonne réponse est : « ».
Pour retrouver les égalités des cosinus et sinus d’angles associés, on peut se servir du cercle trigonométrique.
Question 4
Question 4
- La bonne réponse est : « ».
Soit le centre de , et son rayon.
- Une équation de est alors :
Nous savons que est le diamètre de . Donc :
Calculons maintenant les coordonnées de :
Les coordonnées de sont donc : .
- Nous trouvons alors l’équation recherchée :
Question 5
Question 5
- La bonne réponse est : « strictement parallèles ».
Soit une droite dont une équation cartésienne est : , avec , et des réels. Un vecteur directeur de la droite a alors pour coordonnées :
Par ailleurs, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont colinéaires.
Enfin, si deux droites sont confondues, alors tous les points de l’une appartiennent à l’autre.
Soit le vecteur directeur de .
- Nous avons donc :
Soit le vecteur directeur de .
- Nous avons donc :
Nous remarquons que : , donc et sont colinéaires.
- et sont parallèles.
Regardons si elles sont confondues.
Cherchons (par exemple) l’ordonnée du point d’abscisse et qui appartient à :
Regardons si appartient aussi à :
Donc n’appartient pas à , et et ne sont pas confondues.
- et sont strictement parallèles.
Pour être sûr de votre réponse, vous pouvez entrer dans votre calculatrice les équations des deux droites (si besoin en passant par l’équation réduite).
Vous verrez alors que les droites sont effectivement strictement parallèles.
Exercice 2 (5 points)
Exercice 2 (5 points)
Question 1
Question 1
Souvent, la première question permet d’entrer dans l’exercice, et il suffit ici de bien lire l’énoncé pour le traduire mathématiquement.
D’après l’énoncé, nous avons :
Question 2
Question 2
Là aussi, il suffit de bien lire l’énoncé, qui dit : « le forage de chaque mètre supplémentaire coûte de plus que celui du mètre précédent ».
- Donc, pour tout entier naturel non nul :
- Nous en déduisons l’expression explicite du terme général de la suite.
Pour tout entier naturel non nul :n n
Question 3
Question 3
- Nous avons donc, en utilisant les résultats de la question 1 :
De la même façon,
- Nous avons donc :
Question 4
Question 4
La variable
Tant que ce coût est strictement inférieur à la subvention
Et nous avons, pour tout entier naturel non nul
Or, nous l’avons montré à la question 2, nous avons, pour tout entier naturel non nul
Donc, pour tout
Finalement, nous obtenons :
À chaque boucle, nous ajoutons donc
- Nous complétons donc ainsi l’algorithme :
Question 5
Question 5
L’algorithme retournera le plus petit entier naturel non nul
- Nous cherchons donc à résoudre l’inéquation :
Or, nous admettons que, pour tout entier naturel non nul
C’est admis, mais, pour bien comprendre d’où vient cette égalité, démontrons-la.
La propriété de la somme
Dans notre cas, nous avons donc, pour tout entier naturel non nul
Nous cherchons finalement à résoudre :
Nous pourrions travailler directement avec l’inéquation :
Nous avons l’équivalence suivante :
Il nous faut donc étudier le signe du trinôme :
Pour cela, commençons par calculer le discriminant
Le trinôme admet donc deux racines distinctes
Nous savons que, sur
pourn 2 + 4 n − 4 485 < 0 n^2+4n-4\,485 < 0 ;1 ≤ n < 65 1\leq n < 65 pourn 2 + 4 n − 4 485 = 0 n^2+4n-4\,485 = 0 ;n = 65 n=65 pourn 2 + 4 n − 4 485 > 0 n^2+4n-4\,485 > 0 .n > 65 n > 65 - Le plus petit entier
qui vérifie :n 0 n0 , est donc égal à :S n 0 ≥ 116 610 S{n_0} \geq 116\,610 .65 65
L’algorithme renverra donc : .65 \boxed{65}
Exercice 3 (5 points)
Exercice 3 (5 points)
Question 1
Question 1
- Question a
Déterminons tous les produits possibles selon les résultats obtenus avec les
- La variable aléatoire
prend donc ses valeurs dans l’ensemble :X X
- Question b
Le tableau de la question a nous montre qu’il y a au total
- Nous avons donc, pour tout
:k ∈ E k\in E
Par exemple, il y a
- Nous trouvons donc :
Nous obtenons de la même façon les autres probabilités.
- Le tableau suivant donne ainsi la loi de probabilité de
:X X
- Question c
Déterminer la probabilité de gagner revient à calculer la probabilité que le produit des deux dés soit strictement inférieur à
- Et nous avons, d’après la loi de probabilité de
:X X
Nous pouvons aussi nous servir du tableau de la question a et noter (en vert dans le tableau ci-dessous) les produits strictement inférieurs à
Il y a
- La probabilité de gagner est donc :
Question 2
Question 2
Comme pour la première question, nous allons recenser tous les cas possibles avec ces nouveaux dés et mettre en vert ceux qui sont strictement inférieurs à
Il y a toujours
- La probabilité de gagner avec ces nouveaux dés est donc :
Question 3
Question 3
Nous voyons que
- Les probabilités de gagner étant égales, peu importe que l’on joue avec les dés « classiques » ou avec les dés « spéciaux » : les chances de gagner (et de perdre…) sont identiques.
Exercice 4 (5 points)
Exercice 4 (5 points)
Soit
Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère :
la courbe représentative de la fonctionC f C_f ,f f la droite d’équation cartésienneD \mathcal D .y = − 8 x − 4 y = - 8x - 4
Question 1
Question 1
Nous savons que la fonction dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle.
En outre, les formules de dérivation nous donnent, avec
Comme somme de fonctions dérivables sur
- D’une part, pour tout
réel, nous avons donc :x x
- D’autre part, en développant l’expression donnée, nous avons, pour tout
réel :x x
- Nous avons donc bien, pour tout
:x ∈ R x \in \mathbb R
Donner une dérivée sous sa forme factorisée permet d’étudier son signe. Il faudra donc bien penser à se servir de cette réponse pour la question suivante.
Question 2
Question 2
La fonction exponentielle est strictement positive sur
est donc du signe def ′ ( x ) f^{\prime}(x) .e x − 1 \text{e}^x-1
Nous avons ainsi les équivalences suivantes :
Or, par définition de la fonction exponentielle,
- Nous avons donc :
Et nous avons aussi, par stricte croissance de la fonction exponentielle sur
- Nous pouvons maintenant donner le tableau de signes de
:f ′ ( x ) f^{\prime}(x)
Question 3
Question 3
Il faut avoir le réflexe : le signe de sa dérivée permet de déterminer le sens de variation d’une fonction.
La dérivée de
- Elle est négative sur
, elle est donc décroissante sur cet intervalle.] − ∞ ; 0 ] ]-\infty\ ;\, 0] - Elle est positive sur
, elle est donc croissante sur cet intervalle.[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\, +\infty[ - Et
admet un minimum enf f , qui vaut :x = 0 x=0
- Nous pouvons maintenant dresser le tableau de variations de la fonction
surf f :R \mathbb R
Img-03
Question 4
Question 4
Nous l’avons dit dans la question précédente,
Cela signifie que, pour tout
- Ainsi, pour tout
réel,x x est strictement positif.f ( x ) f(x)
Question 5
Question 5
Elles ont un point commun si et seulement si il existe une solution à l’équation :
- Résolvons cette équation :
Or, pour tout
etC f C_f n’ont pas de point commun.D \mathcal D
Nous donnons ci-dessous, pour information, la courbe représentative de
De votre côté, n’hésitez pas à tracer avec votre calculatrice les fonctions lorsque vous les étudiez.
- Cela vous permettra de vérifier que vos calculs sont cohérents avec la représentation graphique.
Dans cet exercice, par exemple, la représentation graphique n’infirme pas nos résultats :
est décroissante surf f et croissante sur] − ∞ ; 0 ] ]-\infty\ ;\, 0] ;[ 0 ; + ∞ [ [0\ ;\, +\infty[ atteint un minimum enf f , qui vautx = 0 x=0 , et elle est strictement positive ;3 3 - Si
etC f C_f semblent se rapprocher, on peut tout de même présumer qu’elles ne se couperont pas.D \mathcal D