Sujet spécimen 2020-2 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.

Question 1

• La bonne réponse est : « $15\,740$ ».

Le coût de fabrication, en milliers d’euros, de $2$ pièces est donné par $C(2)$ :

$$\begin{aligned} C(2)&=0,01\times 2^3-0,135\times 2^2+0,6\times 2+15 \\ &=0,01\times 4-0,135\times 4+0,6\times 2+15 \\ &=15,74 \end{aligned}$$

• Nous en déduisons donc que le coût de fabrication, en euros, de $2$ pièces est égal à :

$$1\,000\times 15,74=\boxed{15\,740}$$

Question 2

• La bonne réponse est : « $a < 0$ et $\Delta = 0$ ».

Tout d’abord, $f$ est un trinôme du second degré.
Et $C_f$ nous montre que $f$ admet un maximum.

• $\boxed{a < 0}$.

De plus, $C_f$ admet l’axe des abscisses comme tangente horizontale en un de ses points. $f$ admet donc $1$ racine (double).

• $\boxed{\Delta=0}$.

Question 3

• La bonne réponse est : « $-\sin{(x)}$ ».

Question 4

• La bonne réponse est : « $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25$ ».

Soit $I\,(x_I\ ;\, y_I)$ le centre de $\Gamma$, et $R$ son rayon.

• Une équation de $\Gamma$ est alors :

$$(x-x_I)^2+(y-y_I)^2=R^2$$

Nous savons que $AB$ est le diamètre de $\Gamma$. Donc :

$$\begin{aligned} R&=\dfrac{AB}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{\big(1-(-7)\big)^2+(-2-4)^2}}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{64+36}}2 \\ &=\dfrac{\sqrt{100}}2 \\ &=\dfrac{10}2 \\ &=5 \end{aligned}$$

Calculons maintenant les coordonnées de $I$ :

$$\begin{aligned} x_I&=\dfrac{x_A+x_B}2 \\ &=\dfrac{-7+1}2 \\ &=-3 \\ y_I&=\dfrac{y_A+y_B}2 \\ &=\dfrac{4+(-2)}2 \\ &=1 \end{aligned}$$

Les coordonnées de $I$ sont donc : $(-1\ ;\, 1)$.

• Nous trouvons alors l’équation recherchée :

$$\big(x-(-3)\big)^2+(y-1)^2=5^2 \Leftrightarrow \boxed{(x+3)^2+(y-1)^2=25}$$

Question 5

• La bonne réponse est : « strictement parallèles ».

Soit $\vec u$ le vecteur directeur de $D:\red 3x+\green 2y-1=0$.

• Nous avons donc :

$$\vec u\begin{pmatrix} -\green 2 \\ \red 3 \end{pmatrix}$$

Soit $\vec v$ le vecteur directeur de $D^{\prime}:\purple 6x+\blue 4y+2=0$.

• Nous avons donc :

$$\vec v\begin{pmatrix} -\blue 4 \\ \purple 6 \end{pmatrix}$$

Nous remarquons que : $\vec v=2\vec u$, donc $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

• $D$ et $D^{\prime}$ sont parallèles.

Regardons si elles sont confondues.
Cherchons (par exemple) l’ordonnée du point $A$ d’abscisse $0$ et qui appartient à $D$ :

$$\begin{aligned} 3\times 0+2y-1=0 &\Leftrightarrow 2y=1 \\ &\Leftrightarrow y=\dfrac 12 \end{aligned}$$

Regardons si $A\,\left(0\ ;\, \frac 12\right)$ appartient aussi à $D^{\prime}$ :

$$6\times 0+4\times \dfrac 12 + 2=4\neq 0$$

Donc $A$ n’appartient pas à $D^{\prime}$, et $D$ et $D^{\prime}$ ne sont pas confondues.

• $D$ et $D^{\prime}$ sont strictement parallèles.

Exercice 2 (5 points)

Question 1

D’après l’énoncé, nous avons :

$$\begin{aligned} u_2&=u_1+52 \\ &=130+52 \\ &=\boxed{182} \\ \\ u_3&=u_2+52 \\ &=182+52 \\ &=\boxed{234} \end{aligned}$$

Question 2

Là aussi, il suffit de bien lire l’énoncé, qui dit : « le forage de chaque mètre supplémentaire coûte $52\ \text{euros}$ de plus que celui du mètre précédent ».

• Donc, pour tout entier naturel non nul $n$ :

$$u_{n+1}=u_n+52 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $u_1=130$]}}}$$

$(u_n)_{n\in \mathbb N^*}$ est donc, par définition, une suite arithmétique de raison $r=52$ et de premier terme $u_1=130$.

• Nous en déduisons l’expression explicite du terme général de la suite.
  Pour tout entier naturel non nul $n$ :

$$u_n=u_1+(n-1)r \Leftrightarrow \boxed{u_n=130+52(n-1)}$$

Question 3

$S_2$ correspond au coût du forage de $2$ mètres, soit le coût du première mètre (donné par $u_1$, plus le coût du deuxième mètre (donné par $u_2$).

• Nous avons donc, en utilisant les résultats de la question 1 :

$$\begin{aligned} S_2&= u_1+u_2 \\ &=130+182 \\ &=\boxed{312} \end{aligned}$$

De la même façon, $S_3$ correspond au coût du forage de $3$ mètres.

• Nous avons donc :

$$\begin{aligned} S_3&= u_1+u_2+u_3 \\ &=S_2+u_3 \\ &=312+234 \\ &=\boxed{546} \end{aligned}$$

Question 4

La variable $C$ contient le coût total de forage de $n$ mètres, c’est-à-dire :

$$S_n=u_1+u_2+…+u_n$$

Tant que ce coût est strictement inférieur à la subvention $S$ octroyée, alors on calcule le coût de forage de $n+1$ mètres, et on assigne cette nouvelle valeur à $C$.
Et nous avons, pour tout entier naturel non nul $n$ :

$$\begin{aligned} S_{n+1}&=\purple{u_1 + u_2 + … + u_n} + u_{n+1} \\ &=\purple{S_n}+u_{n+1} \end{aligned}$$

Or, nous l’avons montré à la question 2, nous avons, pour tout entier naturel non nul $n$ :

$$u_n=130+52(n-1)$$

Donc, pour tout $n\geq 1$ :

$$\begin{aligned} u_{n+1}&=130+52\big((n+1)-1\big) \\ &=130+52n \end{aligned}$$

Finalement, nous obtenons :

$$S_{n+1}=S_n+\red{130+52n}$$

À chaque boucle, nous ajoutons donc $\red{130+52n}$ à la variable $C$.

• Nous complétons donc ainsi l’algorithme :

Question 5

L’algorithme retournera le plus petit entier naturel non nul $n_0$ tel que $S_{n_0}\geq 116\,610$.

• Nous cherchons donc à résoudre l’inéquation :

$$S_n \geq 116\,610 \Leftrightarrow S_n-116\,610$$

Or, nous admettons que, pour tout entier naturel non nul $n$ : $S_n=26n^2+104n$.

Nous cherchons finalement à résoudre :

$$\begin{aligned} S_n \geq 116\,610 &\Leftrightarrow S_n-116\,610 \geq 0 \\ &\Leftrightarrow 26n^2+104n-116\,610\geq 0 \end{aligned}$$

Nous avons l’équivalence suivante :

$$26n^2+104n-116\,610\geq 0 \Leftrightarrow n^2+4n-4\,485 \geq 0$$

Il nous faut donc étudier le signe du trinôme : $n^2+4n-4\,485$.

Pour cela, commençons par calculer le discriminant $\Delta$ :

$$\begin{aligned} \Delta&=4^2-4\times 1\times (-4\,485) \\ &=17\,956 \end{aligned}$$

Le trinôme admet donc deux racines distinctes $n_1$ et $n_2$ :

$$\begin{aligned} n_1&=\dfrac{-4-\sqrt{17\,956}}{2\times 1} \\ &=\dfrac{-4-134}2 \\ &=\dfrac{-138}2 \\ &=-69 \\ \\ n_2&=\dfrac{-4+\sqrt{17\,956}}{2\times 1} \\ &=\dfrac{-4+134}2 \\ &=\dfrac{130}2 \\ &=65 \\ \end{aligned}$$

Nous savons que, sur $]-69\ ;\, 65[$, le trinôme est du signe de $-1$, donc strictement négatif, et strictement positif sur $]-\infty\ ;\, -69[$ et $]65\ ;\, +\infty[$. Et nous nous intéressons uniquement aux entiers naturels non nuls, nous avons donc :

• $n^2+4n-4\,485 < 0$ pour $1\leq n < 65$ ;
• $n^2+4n-4\,485 = 0$ pour $n=65$ ;
• $n^2+4n-4\,485 > 0$ pour $n > 65$.
• Le plus petit entier $n_0$ qui vérifie : $S_{n_0} \geq 116\,610$, est donc égal à : $65$.
  L’algorithme renverra donc : $\boxed{65}$.

Exercice 3 (5 points)

Question 1

• Question a

Déterminons tous les produits possibles selon les résultats obtenus avec les $2$ dés :

• La variable aléatoire $X$ prend donc ses valeurs dans l’ensemble :

$$\boxed{E=\lbrace 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,8,\,9,\,10,\,12,\,15,\,16,\,18,\,20,\,24,\,25,\,30,\,36 \rbrace}$$

• Question b

Le tableau de la question a nous montre qu’il y a au total $36$ produits, et nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.

• Nous avons donc, pour tout $k\in E$ :

$$p(X=k)=\dfrac{\text{nombre de produits égaux à }k}{36}$$

Par exemple, il y a $4$ produits égaux à $6$ (en bleu dans le tableau ci-dessous) et $2$ égaux $24$ (en orange) :

• Nous trouvons donc :

$$\begin{aligned} P(X=6)&=\dfrac 4{36} \\ P(X=24)&=\dfrac 2{36} \end{aligned}$$

Nous obtenons de la même façon les autres probabilités.

• Le tableau suivant donne ainsi la loi de probabilité de $X$ :

• Question c

Déterminer la probabilité de gagner revient à calculer la probabilité que le produit des deux dés soit strictement inférieur à $10$, c’est-à-dire : $P(X < 10)$.

• Et nous avons, d’après la loi de probabilité de $X$ :

$$\begin{aligned} P(X < 10)&=P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3) \\ &\qquad\quad +P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6) \\ &\qquad\quad + P(X=8)+ P(X=9) \\ &=\dfrac 1{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 3{36}+\dfrac 2{36} \\ &\qquad\quad+\dfrac 4{36}+\dfrac 2{36}+\dfrac 1{36} \\ &=\boxed{\dfrac{17}{36}} \end{aligned}$$

Question 2

Comme pour la première question, nous allons recenser tous les cas possibles avec ces nouveaux dés et mettre en vert ceux qui sont strictement inférieurs à $10$ :

Il y a toujours $36$ cas possibles, dont $17$ réalisent le gain.

• La probabilité de gagner avec ces nouveaux dés est donc :

$$\boxed{P(Y<10)=\dfrac{17}{36}}$$

Question 3

Nous voyons que $P(X<10)=P(Y<10)$.

• Les probabilités de gagner étant égales, peu importe que l’on joue avec les dés « classiques » ou avec les dés « spéciaux » : les chances de gagner (et de perdre…) sont identiques.

Exercice 4 (5 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par : $f(x) = \text{e}^{2x} + 6\text{e}^x - 8x - 4$.
Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère :

• $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$,
• $\mathcal D$ la droite d’équation cartésienne $y = - 8x - 4$.

Question 1

Comme somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, $f$ est dérivable sur $\mathbb R$.

• D’une part, pour tout $x$ réel, nous avons donc :

$$f^{\prime}(x)=2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8 $$

• D’autre part, en développant l’expression donnée, nous avons, pour tout $x$ réel :

$$\begin{aligned} 2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)&=2{(\text e^x)}^2+8\text{e}^x-2\text{e}^x-8 \\ &=2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car ${(\text{e}^x)}^n=\text{e}^{nx}$]}}} \\ &=f^{\prime}(x) \end{aligned}$$

• Nous avons donc bien, pour tout $x \in \mathbb R$ :

$$\boxed{f^{\prime}(x) = 2(\text{e}^x - 1)(\text{e}^x + 4)}$$

Question 2

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$. Donc $e^x+4 > 0$.

• $f^{\prime}(x)$ est donc du signe de $\text{e}^x-1$.

Nous avons ainsi les équivalences suivantes :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x) = 0 &\Leftrightarrow \text{e}^x-1=0 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^x=1 \end{aligned}$$

Or, par définition de la fonction exponentielle, $\text{e}^0=1$. Et elle est strictement croissante sur $\mathbb R$.

• Nous avons donc :

$$f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow x=0$$

Et nous avons aussi, par stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb R$ :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x) < 0 &\Leftrightarrow x < 0 \\ f^{\prime}(x) > 0 &\Leftrightarrow x > 0 \end{aligned}$$

• Nous pouvons maintenant donner le tableau de signes de $f^{\prime}(x)$ :

Question 3

La dérivée de $f$ s’annule et change de signe en $x=0$.

• Elle est négative sur $]-\infty\ ;\, 0]$, elle est donc décroissante sur cet intervalle.
• Elle est positive sur $[0\ ;\, +\infty[$, elle est donc croissante sur cet intervalle.
• Et $f$ admet un minimum en $x=0$, qui vaut :

$$\begin{aligned} f(0)&=\text{e}^{2\times 0}+6\text{e}^0-8\times 0-4 \\ &=1+6-4 \\ &=3 \end{aligned}$$

• Nous pouvons maintenant dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb R$ :

Img-03

Question 4

Nous l’avons dit dans la question précédente, $f$ admet un minimum en $0$ qui vaut $3$.
Cela signifie que, pour tout $x$ réel : $f(x)\geq 3$.

• Ainsi, pour tout $x$ réel, $f(x)$ est strictement positif.

Question 5

$C_f$ est la courbe représentative de la fonction $f$, et $\mathcal D$ est la droite d’équation : $y=-8x-4$.
Elles ont un point commun si et seulement si il existe une solution à l’équation : $f(x)=-8x-4$.

• Résolvons cette équation :

$$\begin{aligned} f(x)=-8x-4 &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8x-4=-8x-4 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8x-4+8x+4=0 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{2x}+6\text{e}^x=0 \end{aligned}$$

Or, pour tout $x$ réel, $\text{e}^x$ et donc $\text{e}^x+6$ sont strictement positifs, donc leur somme est strictement positive et n’est ainsi jamais nulle. L’équation n’admet donc pas de solution sur $\mathbb R$.

• $C_f$ et $\mathcal D$ n’ont pas de point commun.