Corrigé Bac
Sujet spécimen 2020-1 - Spécialité mathématiques - Corrigé

ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU

Classe : Première

Enseignement : Spécialité « Mathématiques »

Durée de l’épreuve : 2 heures

Calculatrice autorisée.

SUJET 2020 – SPÉCIMEN 1 – CORRIGÉ

Exercice 1 (5 points)

Question 1

L’énoncé donne directement :

$$\begin{aligned} u_1&=\boxed 1 \\ u_2&= \boxed 2 \\ u_3&=\boxed 4 \end{aligned}$$

Et, puisque le nombre de grains double entre la case $3$ et la case $4$, puis entre la case $4$ et la case $5$ :

$$\begin{aligned} u_4&=2u_3=2\times 4=\boxed 8 \\ u_5&=2u_4=2\times 8=\boxed{16} \end{aligned}$$

Question 2

De manière générale, le nombre de grains entre une case $n$ et la suivante $n+1$ double ; nous avons donc, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$$\boxed{u_{n+1}=2u_n}$$

Question 3

Dans l’expression de la question 2, nous reconnaissons celle d’une suite géométrique, de raison $q=2$ et de premier terme $u_1=1$.

  • Nous avons donc, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$$\begin{aligned} u_n&=u_1\times q^{n-1} \\ &=1\times 2^{n-1} \\ &= \boxed{2^{n-1}} \end{aligned}$$

Question 4

Le nombre de grains de riz disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage est égal à la somme $S_{64}$ de l’ensemble des grains de riz présents sur les $64$ cases.

  • D’après la propriété sur la somme des termes consécutifs des termes d’une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_1$, nous avons :

$$\begin{aligned} S_{64}&=\overbrace{u_1+u_2+…+u_{63}+u_{64}}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$64$ termes}}}} \\ &=u_1\times \dfrac {1-q^{64}}{1-q} \\ &=1\times \dfrac{1-2^{64}}{1-2} \\ &=\boxed{2^{64}-1} \end{aligned}$$

Question 5

Ce que l’on souhaite, c’est, tant que le nombre de grains présents sur le plateau (variable $\text{somme}$) n’atteint pas le nombre $R$ (entré en paramètre de la fonction), y ajouter le nombre de grains correspondant à la case suivante (nouvelle valeur de la variable $u$).

  • Nous complétons donc ainsi l’algorithme :

$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1}}&\quad\text{\green{def} \blue{nb\textunderscore case}(R):} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2}}&\quad\qquad\text{case \purple = \green 1} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3}}&\quad\qquad\text{u \purple = \green 1} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{4}}&\quad\qquad \text{somme \purple = u} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{5}}&\quad\qquad \text{\green{while} somme \red{< R}:} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{6}}&\quad\qquad\qquad\text{u \purple = \red{2 * u}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{7}}&\quad\qquad\qquad\text{somme \purple = \red{somme + u}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{8}}&\quad\qquad\qquad\text{case \purple = case \purple + \green 1} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{9}}&\quad \qquad\text{\green{return} case} \end{aligned}$

Exercice 2 (5 points)

bannière astuce

Astuce

Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.

Il y a au total $6+4=10$ jetons.

Il y a $1+3=4$ jetons marqués « gagnant ».

  • Donc : $P(G)=\frac 4{10}=\frac 25$.

Il y a $6$ jetons rouges.

  • Donc : $P(R)=\frac 6{10}=\frac 35$.

Parmi ces $6$ jetons rouges, $1$ est marqué « gagnant ».

  • Dpnc : $P_R(G)=\frac 16$.

Il y a $4$ jetons verts.

  • Donc : $P(V)=\frac 4{10}=\frac 25$.
  • On peut aussi écrire, puisqu’on remarque que l’événement $V$ est le contraire de l’événement $R$ :

$$\begin{aligned} P(V)&=P(\overline R) \\ &=1-P(R) \\ &=1-\dfrac 35 \\ &=\dfrac 25 \end{aligned}$$

Parmi ces $4$ jetons verts, $3$ sont marqués « gagnant ».

  • Donc : $P_V(G)=\frac 34$.

Question 1

Nous avons en brouillon noté les probabilités données directement par l’énoncé. Nous les reportons donc sur les branches concernées et complétons l’arbre avec les probabilités des événements contraires :

Alt mathématiques première corrigé sujet spécimen

Question 2

L’événement « le jeton tiré est un jeton vert et marqué gagnant » correspond à : $P(V\cap G)$.

  • En nous appuyant sur l’arbre pondéré :

$$\begin{aligned} P(V\cap G)&=P(V)\times P_V(G) \\ &=\dfrac 25\times \dfrac 34 \\ &=\boxed{\dfrac 3{10}} \end{aligned}$$

Question 3

bannière astuce

Astuce

Nous l’avons déduit au brouillon en préambule. Mais, ici, est attendue une application plus mathématique du cours. Nous pourrons ainsi vérifier que les résultats sont identiques et correspondent à celui de la question.

$R\cap G$ et $V\cap G$ forment une partition de $G$.

  • Donc, d’après la formule des probabilités totales :

$$\begin{aligned} P(G)&=P(R\cap G)+P(V\cap G) \\ &=P(R)\times P_R(G)+\dfrac 3{10} \\ &=\dfrac 35\times \dfrac 16+\dfrac 3{10} \\ &=\dfrac 1{10}+\dfrac 3{10} \\ &=\dfrac 4{10} \\ &=\dfrac 25 \end{aligned}$$

  • Nous trouvons bien :

$$\boxed{P(G) =\dfrac 25}$$

Question 4

La probabilité cherchée, c’est : $P_G(R)$.

  • En utilisant la définition des probabilités conditionnelles :

$$\begin{aligned} P_G(R)&=\dfrac{P(G\cap R)}{P(G)} \\ &=\dfrac{\frac 1{10}}{\frac 25} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après les résultats précédents]}}} \\ &=\boxed{\dfrac 14} \end{aligned}$$

bannière astuce

Astuce

Nous pouvons vérifier notre résultat intuitivement. En effet, il y a d’après l’énoncé $1+3=4$ jetons gagnants, et $1$ seul jeton rouge est gagnant.

  • Parmi les $4$ jetons gagnants, il y a $1$ rouge.

Question 5

bannière attention

Attention

Il s’agit ici d’un tirage simultané, et non successif sans remise. Nous ne pouvons nous contenter d’écrire que la probabilité recherchée est égale à : $\frac 4{10}\times \frac 39=\frac 2{15}$.
Nous trouverons un résultat identique, comme nous allons le voir, mais le raisonnement est différent.

Ici, nous ne nous intéressons qu’au fait que le jeton soit marqué « gagnant » ou non, nous ne tenons plus compte de la couleur.

  • Il y a $4$ jetons marqués « gagnant », que nous différencions en les notant : $G_1$, $G_2$, $G_3$, $G_4$.
  • Puisqu’il y a au total $10$ jetons, il reste donc $6$ jetons perdants, que nous différencions aussi : $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$, $P_6$.

Nous tirons simultanément $2$ jetons. Nous allons recenser l’ensemble des tirages possibles, pour avoir le nombre d’issues de l’univers de l’expérience aléatoire.
Remarquons que, le tirage étant simultané, l’ordre ne compte pas, c’est-à-dire que, par exemple, tirer $P_1$ et $P_2$, c’est la même chose que tirer $P_2$ et $P_1$.

$3$ cas peuvent se présenter.

  • Cas 1 : « les deux jetons sont perdants »

Le tableau suivant recense les issues qui réalisent cet événement :

  • les cases en jaune clair sont laissées vides car il s’agit de doublons des cases en jaune foncé ;
  • on ne peut évidemment pas avoir deux fois le même jeton (cases grises).

$P_1$ $P_2$ $P_3$ $P_4$ $P_5$ $P_6$
$P_1$ $P_1$ et $P_2$ $P_1$ et $P_3$ $P_1$ et $P_4$ $P_1$ et $P_5$ $P_1$ et $P_6$
$P_2$ $P_2$ et $P_3$ $P_2$ et $P_4$ $P_2$ et $P_5$ $P_2$ et $P_6$
$P_3$ $P_3$ et $P_4$ $P_3$ et $P_5$ $P_3$ et $P_6$
$P_4$ $P_4$ et $P_5$ $P_4$ et $P_6$
$P_5$ $P_5$ et $P_6$
$P_6$
  • $15$ issues réalisent l’événement : « les deux jetons sont perdants ».
  • Cas 2 : « les deux jetons sont gagnants »

De la même façon que pour le cas 1 :

$G_1$ $G_2$ $G_3$ $G_4$
$G_1$ $G_1$ et $G_2$ $G_1$ et $G_3$ $G_1$ et $G_4$
$G_2$ $G_2$ et $G_3$ $G_3$ et $G_4$
$G_3$ $G_3$ et $G_4$
$G_4$
  • $6$ issues réalisent l’événement : « les deux jetons sont gagnants ».
  • Cas 3 : « un jeton est gagnant, l’autre est perdant »

Toujours selon la même logique :

$P_1$ $P_2$ $P_3$ $P_4$ $P_5$ $P_6$
$G_1$ $G_1$ et $P_1$ $G_1$ et $P_2$ $G_1$ et $P_3$ $G_1$ et $P_4$ $G_1$ et $P_5$ $G_1$ et $P_6$
$G_2$ $G_2$ et $P_1$ $G_2$ et $P_2$ $G_2$ et $P_3$ $G_2$ et $P_4$ $G_2$ et $P_5$ $G_2$ et $P_6$
$G_3$ $G_3$ et $P_1$ $G_3$ et $P_2$ $G_3$ et $P_3$ $G_3$ et $P_4$ $G_3$ et $P_5$ $G_3$ et $P_6$
$G_4$ $G_4$ et $P_1$ $G_4$ et $P_2$ $G_4$ et $P_3$ $G_4$ et $P_4$ $G_4$ et $P_5$ $G_4$ et $P_6$
  • $24$ issues réalisent l’événement : « un jeton est gagnant, l’autre est perdant ».
  • Conclusion
  • Nous venons de voir qu’il y avait au total $15+6+24=45$ tirages (ou issues) possibles, chacun avec la même probabilité de se réaliser.
  • Nous avons aussi vu que l’événement « les deux jetons sont gagnants » est réalisé par $6$ tirages.
  • La probabilité cherchée est donc :

$$\dfrac 6{45}=\boxed{\dfrac 2{15}}$$

bannière astuce

Astuce

Nous découvrirons en terminale des formules pour calculer cette probabilité de manière plus directe et rapide. Certains l’ont peut-être déjà vue, nous donnons donc très rapidement la méthode.

  • Le nombre de tirages différents possibles correspond au nombre de combinaisons de $2$ éléments d’un ensemble de $10$ éléments, soit :

$$\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}=45$$

  • Le nombre de tirages qui comportent $2$ jetons gagnants correspond au nombre de combinaisons de $2$ éléments d’un ensemble de $4$ éléments, soit :

$$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}=6$$

  • Comme il y a équiprobabilité, la probabilité recherchée est égale à :

$$\dfrac{\text{Nombre de tirages comportant $2$ jetons gagnants}}{\text{Nombre de tirages total}}=\dfrac 6{45}=\dfrac 2{15}$$

Exercice 3 (5 points)

Question 1

Comme fonction polynôme, $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et, pour tout $x$ réel :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=3x^2+7\times 2x+11\times 1 \\ &=\boxed{3x^2+14x+11} \end{aligned}$$

bannière astuce

Astuce

Dans la question suivante, il nous est demandé d’étudier le signe d’une expression. Nous pouvons nous douter qu’il s’agit de l’expression de $f^{\prime}(x)$ et ainsi vérifier notre résultat.

Question 2

$f^{\prime}$ est un trinôme du second degré. Calculons son discriminant $\Delta$ :

$$\begin{aligned} \Delta&=14^2-4\times 3\times 11 \\ &=64 \\ &=8^2 \end{aligned}$$

$f^{\prime}$ admet donc $2$ racines distinctes $x_1$ et $x_2$ :

$$\begin{aligned} x_1&=\dfrac{-14-8}{2\times 3} \\ &=-\dfrac {22}6 \\ &=-\dfrac {11}3 \\ \\ x_1&=\dfrac{-14+8}{2\times 3} \\ &=-\dfrac 66 \\ &=-1 \end{aligned}$$

Le coefficient du terme de second degré est $3$.
Nous savons alors que :

  • $f^{\prime}(x)$ est du signe de $3$, donc strictement positif, sur $]-\infty\ ;\, x_1[\ =\,\left]-\infty\ ;\,-\frac {11}3 \right[$
    et sur $]x_2\ ;\, +\infty[\ =\ ]-1\ ;\, +\infty [$ ;
  • $f^{\prime}(x)$ est du signe de $-3$, donc strictement négatif, sur $]x_1\ ;\, x_2[\ =\ \left]-\frac {11}3\ ;\, -1 \right[$.

Donnons le tableau de signes de $f^{\prime}(x)=3x^2+14x+11$ :

Alt mathématiques première corrigé sujet spécimen

  • La solution dans $\mathbb R$ de l’inéquation $3x^2+14x+11 > 0\Leftrightarrow f^{\prime}(x) > 0$ est donc :

$$\boxed{S=\left]-\infty\ ;\,-\dfrac {11}3 \right[ \cup\ ]-1\ ;\, +\infty [}$$

$f^{\prime}$ s’annule en $-\frac {11}3$ et en $-1$, en changeant de signe. $f$ atteint donc des extremums en $-\frac {11}3$ et en $-1$, que nous calculons :

$$\begin{aligned} f\left(-\frac {11}3\right)&=\left(-\dfrac{11}3 \right)^3+7\times \left( -\dfrac {11}3\right)^2 +11\times \left( -\dfrac {11}3\right) -19 \\ &=-\dfrac{1\,331}{27}+\dfrac{847}9-\dfrac{121}3-19 \\ &=\dfrac{-1\,331+2\,541-1\,089-519}{27} \\ &=-\dfrac{392}{27} \approx -14,519 \\ \\ f(-1)&=(-1)^3+7\times (-1)^2+11\times (-1)-19 \\ &=-24 \end{aligned}$$

  • Nous pouvons maintenant tracer le tableau de variations de $f$ :

Alt mathématiques première corrigé sujet spécimen

Question 3

bannière rappel

Rappel

Si $f$ est dérivable en $a$, alors l’équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ est donnée par :

$$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$$

$f$ est dérivable en $0$, donc l’équation réduite de la tangente à $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$ est :

$$y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$$

Calculons $f^{\prime}(0)$ et $f(0)$ :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(0)&=3\times 0^2+14\times 0+11 \\ &=11 \\ f(0)&=0^3+7\times 0^2+11\times 0-19 \\ &=-19 \end{aligned}$$

  • L’équation de la tangente à $\mathcal C$ est ainsi :

$$\boxed{y=11x-19}$$

Question 4

Nous avons bien :

$$\begin{aligned} 1^3+7\times 1^2+11\times 1-19&=1+7+11-19 \\ &=0 \end{aligned}$$

  • Donc, $f(1)=0$ : $f$ s’annule en $1$.

Développons :

$$\begin{aligned} (x - 1)(x^2 + 8x + 19)&=x^3+8x^2+19x-x^2-8x-19 \\ &=x^3+7x^2+11x-19 \\ &=f(x) \end{aligned}$$

  • Là aussi, nous avons bien, pour tout $x$ réel :

$$\boxed{f(x)=(x-1)(x^2+8x+19)}$$

Question 5

  • Étudions pour commencer le signe du trinôme : $x^2+8x+19$, et calculons son discriminant $\Delta^{\prime}$ :

$$\begin{aligned} \Delta^{\prime}&=8^2-4\times 1\times 19 \\ &=-12 \\ &< 0 \end{aligned}$$

Le trinôme n’admet pas de racines sur $\mathbb R$. Et il est du signe du coefficient du terme de second degré : $1$, donc strictement positif sur $\mathbb R$.

  • $f(x)$ sera du signe de $x-1$.
  • Étudions donc le signe de $x-1$ :

$$\begin{aligned} x-1 < 0 &\Leftrightarrow x < 1 \\ x-1=0&\Leftrightarrow x=1 \\ x-1 > 0 &\Leftrightarrow x > 1 \end{aligned}$$

  • On peut maintenant dresser le tableau de signes de $f$ sur $\mathbb R$ :

Alt mathématiques première corrigé sujet spécimen

bannière astuce

Astuce

Comme toujours, quand vous étudiez une fonction, n’hésitez pas à tracer sa courbe représentative avec votre calculatrice.

  • Cela vous permettra de vérifier la cohérence de vos résultats.

Alt mathématiques première corrigé sujet spécimen

Exercice 4 (5 points)

bannière astuce

Astuce

Même si aucune figure n’est demandée, n’hésitez pas si vous le pouvez à représenter, rapidement au brouillon, les éléments au fur et à mesure.

  • Vous pourrez ainsi mieux visualiser les choses.

Question 1

Montrons que les coordonnées de $A$ et $B$ vérifient l’équation donnée :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Point $A$\ :\ }} 3+3\times 1-6&=0 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Point $B$\ :\ }} -3+3\times 3-6&=0 \end{aligned}$$

Les coordonnées de $A$ et $B$ vérifient l’équation $x + 3y - 6 = 0$.

  • C’est donc bien une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

Question 2

bannière rappel

Rappel

Soit $\mathcal D$ une droite d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ ($a$, $b$, $c$ réels).

  • Un vecteur directeur de $\mathcal D$ est :

$$\vec u\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$$

  • Un vecteur normal de $\mathcal D$ est :

$$\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$

La droite $d$ est perpendiculaire à $(AB)$. Un vecteur directeur de $d$ sera donc un vecteur normal à $(AB)$, dont nous avons donné une équation cartésienne. Nous en déduisons donc les coordonnées d’un vecteur normal à $(AB)$ :

$$\vec n \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$\vec n$ étant un vecteur directeur de $d$, une équation cartésienne de $d$ est :

$$-3x+y+c=0$$

Déterminons $c$ avec les coordonnées de $C$, qui appartient à $d$ :

$$-3\times 2+4+c=0\Leftrightarrow c=2$$

  • Une équation cartésienne de $d$ est donc :

$$\boxed{-3x+y+2=0}$$

Question 3

Puisque $d$ est perpendiculaire à $(AB)$ et qu’elle passe par $C$, le projeté orthogonal $K$ de $C$ sur $(AB)$ est le point d’intersection de $d$ et $(AB)$. Les coordonnées de $K$ vérifient donc les équations cartésiennes de $d$ et $(AB)$.
Nous allons donc résoudre (par substitution) le système :

$$\begin{aligned} \begin{cases} x+3y-6=0 \\ -3x+y+2=0 \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} x=-3y+6 \\ -3(-3y+6)+y+2=0 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=-3y+6 \\ 9y-18+y+2=0 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=-3y+6 \\ 10y=16 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=-3\times \frac 85+6 \\ y=\frac 85 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac 65 \\ y=\frac 85 \end{cases} \\ \end{aligned}$$

  • Ainsi, $K$ a pour coordonnées :

$$\boxed{\left(\dfrac 65\ ;\, \dfrac 85\right)}$$

Question 4

Nous travaillons dans le repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$. Donc :

$$\begin{aligned} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\ &=\sqrt{(-3-3)^2+(3-1)^2} \\ &=\sqrt{36+4} \\ &=\sqrt{40} \\ &=\boxed{2\sqrt{10}} \end{aligned}$$

$M$, milieu de $[AB]$, a pour coordonnées : $\left(\frac{x_A+x_B}2\ ;\, \frac {y_A+y_B}2\right)$ :

$$\begin{aligned} x_M&=\dfrac {3-3}2=0 \\ y_M&=\dfrac {1+3}2=2 \end{aligned}$$

  • $M$ a ainsi pour coordonnées : $\boxed{(0\ ;\, 2)}$.

Question 5

Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour centre le milieu de $[AB]$, soit $M\,(0\ ;\, 2)$.
Il a pour rayon :

$$\begin{aligned} R&=\dfrac {AB}2 \\ &=\dfrac{2\sqrt{10}}2 \\ &=\sqrt{10} \end{aligned}$$

Nous savons qu’une équation de ce cercle est :

$$(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=R^2$$

  • Nous trouvons donc qu’une équation du cercle de diamètre $[AB]$ est :

$$\begin{aligned} &(x-0)^2 +(y-2)^2= \sqrt{10}^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} &\boxed {x^2+(y-2)^2=10} \end{aligned}$$

bannière astuce

Astuce

Nous donnons, pour information, la figure récapitulant l’ensemble des éléments et pouvons vérifier que nos résultats sont cohérents :

Alt texte