ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU Classe : Première Enseignement : Spécialité « Mathématiques » Durée de l’épreuve : 2 heures Calculatrice autorisée. |
SUJET 2020 – SPÉCIMEN 1 – CORRIGÉ |
Exercice 1 (5 points)
Exercice 1 (5 points)
Question 1
Question 1
L’énoncé donne directement :
Et, puisque le nombre de grains double entre la case et la case , puis entre la case et la case :
Question 2
Question 2
De manière générale, le nombre de grains entre une case et la suivante double ; nous avons donc, pour tout entier naturel non nul :
Question 3
Question 3
Dans l’expression de la question 2, nous reconnaissons celle d’une suite géométrique, de raison et de premier terme .
- Nous avons donc, pour tout entier naturel non nul :
Question 4
Question 4
Le nombre de grains de riz disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage est égal à la somme de l’ensemble des grains de riz présents sur les cases.
- D’après la propriété sur la somme des termes consécutifs des termes d’une suite géométrique de raison et de premier terme , nous avons :
Question 5
Question 5
Ce que l’on souhaite, c’est, tant que le nombre de grains présents sur le plateau (variable ) n’atteint pas le nombre (entré en paramètre de la fonction), y ajouter le nombre de grains correspondant à la case suivante (nouvelle valeur de la variable ).
- Nous complétons donc ainsi l’algorithme :
Exercice 2 (5 points)
Exercice 2 (5 points)
Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.
Il y a au total jetons.
Il y a jetons marqués « gagnant ».
- Donc : .
Il y a jetons rouges.
- Donc : .
Parmi ces jetons rouges, est marqué « gagnant ».
- Dpnc : .
Il y a jetons verts.
- Donc : .
- On peut aussi écrire, puisqu’on remarque que l’événement est le contraire de l’événement :
Parmi ces jetons verts, sont marqués « gagnant ».
- Donc : .
Question 1
Question 1
Nous avons en brouillon noté les probabilités données directement par l’énoncé. Nous les reportons donc sur les branches concernées et complétons l’arbre avec les probabilités des événements contraires :
Question 2
Question 2
L’événement « le jeton tiré est un jeton vert et marqué gagnant » correspond à : .
- En nous appuyant sur l’arbre pondéré :
Question 3
Question 3
Nous l’avons déduit au brouillon en préambule. Mais, ici, est attendue une application plus mathématique du cours. Nous pourrons ainsi vérifier que les résultats sont identiques et correspondent à celui de la question.
et forment une partition de .
- Donc, d’après la formule des probabilités totales :
- Nous trouvons bien :
Question 4
Question 4
La probabilité cherchée, c’est : .
- En utilisant la définition des probabilités conditionnelles :
Nous pouvons vérifier notre résultat intuitivement. En effet, il y a d’après l’énoncé jetons gagnants, et seul jeton rouge est gagnant.
- Parmi les jetons gagnants, il y a rouge.
Question 5
Question 5
Il s’agit ici d’un tirage simultané, et non successif sans remise. Nous ne pouvons nous contenter d’écrire que la probabilité recherchée est égale à : .
Nous trouverons un résultat identique, comme nous allons le voir, mais le raisonnement est différent.
Ici, nous ne nous intéressons qu’au fait que le jeton soit marqué « gagnant » ou non, nous ne tenons plus compte de la couleur.
- Il y a jetons marqués « gagnant », que nous différencions en les notant : , , , .
- Puisqu’il y a au total jetons, il reste donc jetons perdants, que nous différencions aussi : , , , , , .
Nous tirons simultanément jetons. Nous allons recenser l’ensemble des tirages possibles, pour avoir le nombre d’issues de l’univers de l’expérience aléatoire.
Remarquons que, le tirage étant simultané, l’ordre ne compte pas, c’est-à-dire que, par exemple, tirer et , c’est la même chose que tirer et .
cas peuvent se présenter.
- Cas 1 : « les deux jetons sont perdants »
Le tableau suivant recense les issues qui réalisent cet événement :
- les cases en jaune clair sont laissées vides car il s’agit de doublons des cases en jaune foncé ;
- on ne peut évidemment pas avoir deux fois le même jeton (cases grises).
et | et | et | et | et | ||
et | et | et | et | |||
et | et | et | ||||
et | et | |||||
et | ||||||
- issues réalisent l’événement : « les deux jetons sont perdants ».
- Cas 2 : « les deux jetons sont gagnants »
De la même façon que pour le cas 1 :
et | et | et | ||
et | et | |||
et | ||||
- issues réalisent l’événement : « les deux jetons sont gagnants ».
- Cas 3 : « un jeton est gagnant, l’autre est perdant »
Toujours selon la même logique :
et | et | et | et | et | et | |
et | et | et | et | et | et | |
et | et | et | et | et | et | |
et | et | et | et | et | et |
- issues réalisent l’événement : « un jeton est gagnant, l’autre est perdant ».
- Conclusion
- Nous venons de voir qu’il y avait au total tirages (ou issues) possibles, chacun avec la même probabilité de se réaliser.
- Nous avons aussi vu que l’événement « les deux jetons sont gagnants » est réalisé par tirages.
- La probabilité cherchée est donc :
Nous découvrirons en terminale des formules pour calculer cette probabilité de manière plus directe et rapide. Certains l’ont peut-être déjà vue, nous donnons donc très rapidement la méthode.
- Le nombre de tirages différents possibles correspond au nombre de combinaisons de éléments d’un ensemble de éléments, soit :
- Le nombre de tirages qui comportent jetons gagnants correspond au nombre de combinaisons de éléments d’un ensemble de éléments, soit :
- Comme il y a équiprobabilité, la probabilité recherchée est égale à :
Exercice 3 (5 points)
Exercice 3 (5 points)
Question 1
Question 1
Comme fonction polynôme,
Dans la question suivante, il nous est demandé d’étudier le signe d’une expression. Nous pouvons nous douter qu’il s’agit de l’expression de
Question 2
Question 2
Le coefficient du terme de second degré est
Nous savons alors que :
est du signe def ′ ( x ) f^{\prime}(x) , donc strictement positif, sur3 3 ] − ∞ ; x 1 [ = ] − ∞ ; − 11 3 [ ]-\infty\ ;\, x1[\ =\,\left]-\infty\ ;\,-\frac {11}3 \right[
et sur ;] x 2 ; + ∞ [ = ] − 1 ; + ∞ [ ]x2\ ;\, +\infty[\ =\ ]-1\ ;\, +\infty [ est du signe def ′ ( x ) f^{\prime}(x) , donc strictement négatif, sur− 3 -3 .] x 1 ; x 2 [ = ] − 11 3 ; − 1 [ ]x1\ ;\, x2[\ =\ \left]-\frac {11}3\ ;\, -1 \right[
Donnons le tableau de signes de
- La solution dans
de l’inéquationR \mathbb R est donc :3 x 2 + 14 x + 11 > 0 ⇔ f ′ ( x ) > 0 3x^2+14x+11 > 0\Leftrightarrow f^{\prime}(x) > 0
- Nous pouvons maintenant tracer le tableau de variations de
:f f
Question 3
Question 3
Si
Calculons
- L’équation de la tangente à
est ainsi :C \mathcal C
Question 4
Question 4
Nous avons bien :
- Donc,
:f ( 1 ) = 0 f(1)=0 s’annule enf f .1 1
Développons :
- Là aussi, nous avons bien, pour tout
réel :x x
Question 5
Question 5
- Étudions pour commencer le signe du trinôme :
, et calculons son discriminantx 2 + 8 x + 19 x^2+8x+19 :Δ ′ \Delta^{\prime}
Le trinôme n’admet pas de racines sur
sera du signe def ( x ) f(x) .x − 1 x-1 - Étudions donc le signe de
:x − 1 x-1
- On peut maintenant dresser le tableau de signes de
surf f :R \mathbb R
Comme toujours, quand vous étudiez une fonction, n’hésitez pas à tracer sa courbe représentative avec votre calculatrice.
- Cela vous permettra de vérifier la cohérence de vos résultats.
Exercice 4 (5 points)
Exercice 4 (5 points)
Même si aucune figure n’est demandée, n’hésitez pas si vous le pouvez à représenter, rapidement au brouillon, les éléments au fur et à mesure.
- Vous pourrez ainsi mieux visualiser les choses.
Question 1
Question 1
Montrons que les coordonnées de
Les coordonnées de $A$ et $B$ vérifient l’équation
- C’est donc bien une équation cartésienne de la droite
.( A B ) (AB)
Question 2
Question 2
Soit
- Un vecteur directeur de
est :D \mathcal D
- Un vecteur normal de
est :D \mathcal D
La droite
Déterminons
- Une équation cartésienne de
est donc :d d
Question 3
Question 3
Puisque
Nous allons donc résoudre (par substitution) le système :
- Ainsi,
a pour coordonnées :K K
Question 4
Question 4
Nous travaillons dans le repère orthonormé
a ainsi pour coordonnées :M M .( 0 ; 2 ) \boxed{(0\ ;\, 2)}
Question 5
Question 5
Le cercle de diamètre
Il a pour rayon :
Nous savons qu’une équation de ce cercle est :
- Nous trouvons donc qu’une équation du cercle de diamètre
est :[ A B ] [AB]
Nous donnons, pour information, la figure récapitulant l’ensemble des éléments et pouvons vérifier que nos résultats sont cohérents :