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Sujet spécimen 2020-3 - Spécialité mathématiques - Corrigé
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Corrigé bac

ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU

Classe : Première

Enseignement : Spécialité « Mathématiques »

Durée de l’épreuve : 2 heures

Calculatrice autorisée.

SUJET 2020 – SPÉCIMEN 3 – CORRIGÉ

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.

Question 1

  • La bonne réponse est : « f(x)=2x+1f^\prime(x) = 2x + 1 ».
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Rappel

Soit uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II.
Alors : (u+v)=u+v(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}.

Ensuite, pour tout entier naturel nn, la fonction xxnx\mapsto x^n a pour dérivée : xnxn1x\mapsto nx^{n-1}

Question 2

  • La bonne réponse est : « 21112^{11} - 1 ».

Nous reconnaissons la somme des 1111 premiers termes d’une suite géométrique, que nous notons (un)nN(un){n\in \mathbb N}, de raison q=2q=2 et de premier terme u0=1u_0=1.

  • En effet, nous avons :

1+2+22+23++210=1u02+2×1u1=2u0+2×2u2=2u1+2×22u3=2u2++2×29u10=2u9\green 1 + \purple 2 + \blue {2^2} + \red{2^3} + … + \textcolor{#FFA500}{2^{10}}=\underbrace{\green 1}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u0 \phantom 2}}} + \underbrace{\purple {2\times 1}}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u1=2u0}}} +\underbrace{\blue {2\times 2}}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u2=2u1}}}+\underbrace{\red {2\times 2^2}}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u3=2u2}}}+…+\underbrace{\textcolor{#FFA500}{2\times 2^9}}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u{10}=2u9}}}

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Attention

Il y a bien 1111 termes, il ne faut pas oublier de compter u0u_0. Le détail de la formule donnée plus haut permet de vous en rendre compte.

Nous appliquons la propriété sur la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :

S=premier terme×1qnombre de termes1q=1×121112=2111\begin{aligned} S&= \text{premier terme}\times \dfrac{1-q^\text{nombre de termes}}{1-q} \ &= 1 \times \dfrac{1-2^{11}}{1-2} \ &=2^{11}-1 \end{aligned}

Question 3

  • La bonne réponse est : « S=2S = -2 et P=8P = -8 ».

D’après la propriété sur la somme et le produit des racines : si on a un trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+c (a0a\neq 0, bb et cc des réels), de discriminant positif, alors :

  • la somme SS de ses racines est égale à : ba-\frac ba ;
  • le produit PP de ses racines est égal à : ca\frac ca.
  • Nous l’appliquons ici, avec a=1a=1, b=2b=2, c=8c=-8.

Tout d’abord, nous avons bien :

Δ=b24ac=224×1×(8)=36>0\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=2^2-4\times 1\times (-8) \ &=36 \ &> 0 \end{aligned}

L’équation x2+2x8=0x^2 + 2x - 8 = 0 admet deux solutions distinctes.

  • Nous avons donc :

S=21=2P=81=8\begin{aligned} S&=-\dfrac 21=-2 \ P&=\dfrac {-8}1=-8 \end{aligned}

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Astuce

Remarquons que 22 est une racine évidente et que ces formules permettent de trouver la seconde : 4-4.

Question 4

  • La bonne réponse est : « π+x\pi+x ».

Comme MM^{\prime} est le symétrique de MM par rapport à OO, MM et MM^{\prime} sont diamétralement opposés sur C\mathcal C :

Alt première mathématiques sujet bac spécimen corrigé

  • MM^{\prime} est associé à π+x\pi+x.

Question 5

  • La bonne réponse est : « cos(x+2π)=cos(x)\cos{(x + 2\pi)} = \cos {(x)} ».

La fonction cosinus (comme la fonction sinus) est périodique de période 2π2\pi.

  • Autrement dit, pour tout xx réel : cos(x+2π)=cos(x)\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)}.

Par ailleurs :

  • la fonction cosinus est paire, donc : cos(x)=cos(x)\cos{(-x)}=\cos{(x)} ;
  • la fonction sinus est impaire, donc : sin(x)=sin(x)\sin{(-x)}=-\sin{(x)} ;
  • cos2(x)+sin2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.

Exercice 2 (5 points)

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Astuce

N’hésitez pas, tout au long de l’exercice, à vous servir du graphe donné, afin de vérifier la cohérence de vos résultats. Vous pouvez aussi la tracer sur votre calculatrice, si vous souhaitez plus de précision.

Question 1

Les éventuels points d’intersection entre Cf\mathscr C_f et l’axe des abscisses auront bien sûr pour ordonnée 00.

  • Cela revient donc à résoudre l’équation :

f(x)=0(2x+1)ex=02x+1=0[car la fonction exponentielle ne s’annule pas sur R]x=12\begin{aligned} f(x)=0 &\Leftrightarrow (2x + 1)\text{e}^x=0 \ &\Leftrightarrow 2x + 1=0 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car la fonction exponentielle ne s’annule pas sur R\mathbb R]}}} \ &\Leftrightarrow x=-\dfrac 12 \end{aligned}

  • Il y a donc un seul point d’intersection, de coordonnées :

(12 ;0)\boxed{(-\dfrac 12\ ;\, 0)}

Question 2

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Rappel

Si uu et vv sont deux fonctions définies sur un intervalle II, alors leur produit est dérivable sur II et :

(uv)=uv+uv(uv)^{\prime}=uv^{\prime}+u^{\prime}v

Par ailleurs, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même :

exp=exp\exp^{\prime}=\exp

Comme produit de fonctions dérivables sur R\mathbb R, ff est dérivable sur R\mathbb R et, pour tout xx réel :

f(x)=(2x+1)ex+2ex=(2x+1+2)ex=(2x+3)ex\begin{aligned} f^{\prime}(x)&= (2x+1)\text{e}^x+2\text{e}^x \ &=(2x+1+2)\text{e}^x \ &=\boxed{(2x+3)\text{e}^x} \end{aligned}

Question 3

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$.

  • f(x)f^{\prime}(x) sera donc du signe de 2x+32x+3.

Et nous avons :

f(x)=02x+3=0x=32f(x)<02x+3<0x<32f(x)>02x+3<0x>32\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0 &\Leftrightarrow 2x+3=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac 32 \ f^{\prime}(x) < 0 &\Leftrightarrow 2x+3 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac 32 \ f^{\prime}(x) > 0 &\Leftrightarrow 2x+3 < 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac 32 \ \end{aligned}

  • Nous en déduisons le tableau de signes de f(x)f^{\prime}(x) et les variations de ff :

Alt première mathématiques sujet bac spécimen corrigé

Question 4

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Rappel

Si ff est dérivable en aa, alors l’équation de la tangente à la courbe représentative de ff au point d’abscisse aa est donnée par :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

  • ff est dérivable en 00, et l’équation réduite de T\mathcal T est :

y=f(0)(x0)+f(0)y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)

Calculons f(0)f^{\prime}(0) et f(0)f(0) :

f(0)=(2×0+3)e0=3f(0)=(2×0+1)e0=1\begin{aligned} f^{\prime}(0)&=(2\times 0+3)\text{e}^0=3 \ f(0)&=(2\times 0+1)\text{e}^0=1 \end{aligned}

  • L’équation de T\mathcal T, tangente à Cf\mathscr C_f au point d’abscisse 00, est donc :

y=3x+1\boxed{y=3x+1}

  • Nous voyons graphiquement que la courbe Cf\mathscr C_f semble toujours être au-dessus de T\mathcal T, en se « touchant » au point d’abscisse 11.

Or, l’équation de Cf\mathscr C_f est : y=(2x+1)exy=(2x + 1)\text{e}^x.
Et l’équation de T\mathcal T est : y=3x+1y=3x+1.

  • Donc, pour tout réel xx, nous avons bien :

(2x+1)ex3x+1\boxed{(2x + 1)\text{e}^x \geq 3x + 1}

Exercice 3 (5 points)

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Astuce

Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.

40%40\,\% des étudiants sont dans le cycle « licence », et 60%60\, \% dans le cycle de « spécialisation ».

  • Donc : P(L)=0,4\text{P}(L)=0,4, et : P(L)=0,6\text{P}(\overline L)=0,6.

Parmi les étudiants du cycle de « licence », 8%8\, \% sont membres du BDS.

  • Donc : PL(B)=0,08\text{P}L(B)=0,08, et PL(B)=0,92\text{P}L(\overline B)=0,92.

Parmi les étudiants du cycle de « spécialisation », 10%10\, \% sont membres du BDS.

  • Donc : PL(B)=0,10\text{P}{\overline L}(B)=0,10, et PL(B)=0,90\text{P}{\overline L}(\overline B)=0,90.

PARTIE A

Question 1

Nous avons en brouillon noté les probabilités données par l’énoncé. Nous les reportons donc facilement sur l’arbre :

Alt première mathématiques sujet bac spécimen corrigé

Question 2

La probabilité que l’étudiant choisi soit en cycle « licence » et membre du BDS, c’est : P(LB)\text{P}(L\cap B) :

P(LB)=P(L)×PL(B)=0,4×0,08=0,032\begin{aligned} \text{P}(L\cap B)&=\text{P}(L)\times \text{P}_L(B) \ &=0,4\times 0,08 \ &=\boxed{0,032} \end{aligned}

Question 3

En utilisant l’arbre pondéré, et avec la formule des probabilités totales, nous avons :

P(B)=P(LB)+P(LB)=0,032+P(L)×PL(B)=0,032+0,6×0,1=0,092\begin{aligned} \text{P}(B)&=\text{P}(L\cap B)+\text{P}(\overline L\cap B) \ &=0,032+\text{P}(\overline L)\times \text{P}_{\overline L}(B) \ &=0,032+0,6\times 0,1 \ &=\boxed{0,092} \end{aligned}

PARTIE B

Question 1

XX donne la somme à payer par l’étudiant :

  • soit il fait partie du BDS, la somme est alors de 60 euros60\ \text{euros} ;
  • soit il n’en fait pas partie, la somme alors due est de 20 euros20\ \text{euros}.
  • XX prend donc ses valeurs dans l’ensemble : {20,60}\boxed{\lbrace 20,\,60 \rbrace}.

Question 2

  • La probabilité que XX prenne la valeur 2020 est égale à la probabilité que l’étudiant fasse partie du BDS, soit, d’après la question précédent :

P(B)=0,092\text{P}(B)=0,092

  • La probabilité que XX prenne la valeur 6060 est égale à la probabilité que l’étudiant ne fasse pas partie du BDS, soit :

P(B)=1P(B)=10,092=0,908\begin{aligned} \text{P}(\overline B)&=1-\text{P}(B) \ &=1-0,092 \ &=0,908 \end{aligned}

  • Nous pouvons maintenant donner la loi de probabilité de XX avec le tableau suivant :

xixi x1=20x1=20 x2=60x2=60
P(X=xi)\text P(X=xi) 0,0920,092 0,9080,908
  • L’espérance EE de XX est donc :

E=i=12xi×P(X=xi)=20×0,092+60×0,908=56,32\begin{aligned} E&= \sum{i=1}^2 xi\times \text{P}(X=x_i) \ &=20\times 0,092 + 60\times 0,908 \ &=\boxed{56,32} \end{aligned}

Exercice 4 (5 points)

Question 1

d2d_2 est la distance que Bob doit courir le 2e2^\text{e} jour ; elle est égale, d’après l’énoncé, à la distance courue le 1er1^\text{er} jour à laquelle on ajoute 5%=0,055\,\%=0,05 de cette distance, soit :

d2=d1+0,05d1=20+0,05×20=21\begin{aligned} d2&=d1+0,05d_1 \ &=20+0,05\times 20 \ &=\boxed{21} \end{aligned}

Avec la même logique :

d3=d2+0,05d2=21+0,05×21=22,05\begin{aligned} d3&=d2+0,05d_2 \ &=21+0,05\times 21 \ &=\boxed{22,05} \end{aligned}

Question 2

En généralisant le raisonnement de la première question, nous obtenons, pour tout entier naturel nn non nul :

dn+1=dn+0,05dn=(1+0,05)dn=1,05dn\begin{aligned} d{n+1}&=dn+0,05 dn \ &=(1+0,05)dn \ &=\boxed{1,05d_n} \end{aligned}

Question 3

La suite (dn)(dn) est une suite géométrique de raison q=1,05q=1,05 et de premier terme d1=20d1=20.

  • Nous avons donc, pour tout entier naturel nn non nul :

dn=d1×qn1=20×1,05n1\begin{aligned} dn&=d1\times q^{n-1} \ &=\boxed{20\times 1,05^{n-1}} \end{aligned}

Question 4

La distance parcourue par Bob lors de son 10e10^\text{e} jour d’entraînement est donnée par d10d_{10}, que nous calculons grâce à la formule explicite montrée à la question 3 :

d10=20×1,05101=20×1,05931,027 km\begin{aligned} d_{10}&=20\times 1,05^{10-1} \ &=20\times 1,05^9 \ &\approx \boxed{31,027\ \text{km}} \end{aligned}

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Attention

d10d_{10} donne la distance en kilomètres et l’on nous demande d’arrondir à 11 mètre près.

  • On arrondit donc à 10310^{-3} près (et pas à 31 km)31\ \text{km}).

Question 5

On souhaite, tant que la distance à parcourir le n-ieˋmen \text{-ième} jour n’a pas atteint 43 km43\ \text{km} (c’est-à-dire tant que d<43d < 43), calculer la distance à parcourir le (n+1)-ieˋme(n+1) \text{-ième} jour, s’arrêter dès que c’est le cas et renvoyer la valeur de nn ainsi obtenue.

  • On complète donc l’algorithme ainsi :

1= 12= 203while d < 43:4= n + 15= 1.05  d\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1}}&\quad\text{n \purple = \green 1} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2}}&\quad\text{d \purple = \green{20}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3}}&\quad \text{\green{while} \red{d < 43}:} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{4}}&\quad \qquad\text{n \purple = \red{n + 1}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{5}}&\quad \qquad\text{d \purple = \green{1.05} $\purple{\ast}$ d} \end{aligned}