ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU Classe : Première Enseignement : Spécialité « Mathématiques » Durée de l’épreuve : 2 heures Calculatrice autorisée. |
SUJET 2020 – SPÉCIMEN 3 – CORRIGÉ |
Exercice 1 (5 points)
Exercice 1 (5 points)
Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.
Question 1
Question 1
- La bonne réponse est : « ».
Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle .
Alors : .
Ensuite, pour tout entier naturel , la fonction a pour dérivée :
Question 2
Question 2
- La bonne réponse est : « ».
Nous reconnaissons la somme des premiers termes d’une suite géométrique, que nous notons , de raison et de premier terme .
- En effet, nous avons :
Il y a bien termes, il ne faut pas oublier de compter . Le détail de la formule donnée plus haut permet de vous en rendre compte.
Nous appliquons la propriété sur la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :
Question 3
Question 3
- La bonne réponse est : « et ».
D’après la propriété sur la somme et le produit des racines : si on a un trinôme du second degré (, et des réels), de discriminant positif, alors :
- la somme de ses racines est égale à : ;
- le produit de ses racines est égal à : .
- Nous l’appliquons ici, avec , , .
Tout d’abord, nous avons bien :
L’équation admet deux solutions distinctes.
- Nous avons donc :
Remarquons que est une racine évidente et que ces formules permettent de trouver la seconde : .
Question 4
Question 4
- La bonne réponse est : « ».
Comme est le symétrique de par rapport à , et sont diamétralement opposés sur :
- est associé à .
Question 5
Question 5
- La bonne réponse est : « ».
La fonction cosinus (comme la fonction sinus) est périodique de période .
- Autrement dit, pour tout réel : .
Par ailleurs :
- la fonction cosinus est paire, donc : ;
- la fonction sinus est impaire, donc : ;
- .
Exercice 2 (5 points)
Exercice 2 (5 points)
N’hésitez pas, tout au long de l’exercice, à vous servir du graphe donné, afin de vérifier la cohérence de vos résultats. Vous pouvez aussi la tracer sur votre calculatrice, si vous souhaitez plus de précision.
Question 1
Question 1
Les éventuels points d’intersection entre et l’axe des abscisses auront bien sûr pour ordonnée .
- Cela revient donc à résoudre l’équation :
- Il y a donc un seul point d’intersection, de coordonnées :
Question 2
Question 2
Si
Par ailleurs, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même :
Comme produit de fonctions dérivables sur
Question 3
Question 3
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$.
sera donc du signe def ′ ( x ) f^{\prime}(x) .2 x + 3 2x+3
Et nous avons :
- Nous en déduisons le tableau de signes de
et les variations def ′ ( x ) f^{\prime}(x) :f f
Question 4
Question 4
Si
est dérivable enf f , et l’équation réduite de0 0 est :T \mathcal T
Calculons
- L’équation de
, tangente àT \mathcal T au point d’abscisseC f \mathscr C_f , est donc :0 0
- Nous voyons graphiquement que la courbe
semble toujours être au-dessus deC f \mathscr C_f , en se « touchant » au point d’abscisseT \mathcal T .1 1
Or, l’équation de
Et l’équation de
- Donc, pour tout réel
, nous avons bien :x x
Exercice 3 (5 points)
Exercice 3 (5 points)
Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.
- Donc :
, et :P ( L ) = 0 , 4 \text{P}(L)=0,4 .P ( L ‾ ) = 0 , 6 \text{P}(\overline L)=0,6
Parmi les étudiants du cycle de « licence »,
- Donc :
, etP L ( B ) = 0 , 08 \text{P}L(B)=0,08 .P L ( B ‾ ) = 0 , 92 \text{P}L(\overline B)=0,92
Parmi les étudiants du cycle de « spécialisation »,
- Donc :
, etP L ‾ ( B ) = 0 , 10 \text{P}{\overline L}(B)=0,10 .P L ‾ ( B ‾ ) = 0 , 90 \text{P}{\overline L}(\overline B)=0,90
PARTIE A |
Question 1
Question 1
Nous avons en brouillon noté les probabilités données par l’énoncé. Nous les reportons donc facilement sur l’arbre :
Question 2
Question 2
La probabilité que l’étudiant choisi soit en cycle « licence » et membre du BDS, c’est :
Question 3
Question 3
En utilisant l’arbre pondéré, et avec la formule des probabilités totales, nous avons :
PARTIE B |
Question 1
Question 1
- soit il fait partie du BDS, la somme est alors de
;60 euros 60\ \text{euros} - soit il n’en fait pas partie, la somme alors due est de
.20 euros 20\ \text{euros} prend donc ses valeurs dans l’ensemble :X X .{ 20 , 60 } \boxed{\lbrace 20,\,60 \rbrace}
Question 2
Question 2
- La probabilité que
prenne la valeurX X est égale à la probabilité que l’étudiant fasse partie du BDS, soit, d’après la question précédent :20 20
- La probabilité que
prenne la valeurX X est égale à la probabilité que l’étudiant ne fasse pas partie du BDS, soit :60 60
- Nous pouvons maintenant donner la loi de probabilité de
avec le tableau suivant :X X
- L’espérance
deE E est donc :X X
Exercice 4 (5 points)
Exercice 4 (5 points)
Question 1
Question 1
Avec la même logique :
Question 2
Question 2
En généralisant le raisonnement de la première question, nous obtenons, pour tout entier naturel
Question 3
Question 3
La suite
- Nous avons donc, pour tout entier naturel
non nul :n n
Question 4
Question 4
La distance parcourue par Bob lors de son
- On arrondit donc à
près (et pas à1 0 − 3 10^{-3} .31 km ) 31\ \text{km})
Question 5
Question 5
On souhaite, tant que la distance à parcourir le
- On complète donc l’algorithme ainsi :