Sujet spécimen 2020-3 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.

Question 1

• La bonne réponse est : « $f^\prime(x) = 2x + 1$ ».

Rappel

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.
Alors : $(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$.

Ensuite, pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto x^n$ a pour dérivée : $x\mapsto nx^{n-1}$

Question 2

• La bonne réponse est : « $2^{11} - 1$ ».

Nous reconnaissons la somme des $11$ premiers termes d’une suite géométrique, que nous notons $(u$n){n\in \mathbb N}, de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=1$.

• En effet, nous avons :

$\green 1 + \purple 2 + \blue {2^2} + \red{2^3} + … + \textcolor{#FFA500}{2^{10}}=\underbrace{\green 1}${\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u0 \phantom 2}}} + \underbrace{\purple {2\times 1}}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u1=2u0}}} +\underbrace{\blue {2\times 2}}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u2=2u1}}}+\underbrace{\red {2\times 2^2}}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u3=2u2}}}+…+\underbrace{\textcolor{#FFA500}{2\times 2^9}}{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u{10}=2u9}}}

Attention

Il y a bien $11$ termes, il ne faut pas oublier de compter $u_0$. Le détail de la formule donnée plus haut permet de vous en rendre compte.

Nous appliquons la propriété sur la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :

$\begin{aligned} S&= \text{premier terme}\times \dfrac{1-q^\text{nombre de termes}}{1-q} \ &= 1 \times \dfrac{1-2^{11}}{1-2} \ &=2^{11}-1 \end{aligned}$

Question 3

• La bonne réponse est : « $S = -2$ et $P = -8$ ».

D’après la propriété sur la somme et le produit des racines : si on a un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$, $b$ et $c$ des réels), de discriminant positif, alors :

• la somme $S$ de ses racines est égale à : $-\frac ba$ ;
• le produit $P$ de ses racines est égal à : $\frac ca$.
• Nous l’appliquons ici, avec $a=1$, $b=2$, $c=-8$.

Tout d’abord, nous avons bien :

$\begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac \ &=2^2-4\times 1\times (-8) \ &=36 \ &> 0 \end{aligned}$

L’équation $x^2 + 2x - 8 = 0$ admet deux solutions distinctes.

• Nous avons donc :

$\begin{aligned} S&=-\dfrac 21=-2 \ P&=\dfrac {-8}1=-8 \end{aligned}$

Astuce

Remarquons que $2$ est une racine évidente et que ces formules permettent de trouver la seconde : $-4$.

Question 4

• La bonne réponse est : « $\pi+x$ ».

Comme $M^{\prime}$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$, $M$ et $M^{\prime}$ sont diamétralement opposés sur $\mathcal C$ :

• $M^{\prime}$ est associé à $\pi+x$.

Question 5

• La bonne réponse est : « $\cos{(x + 2\pi)} = \cos {(x)}$ ».

La fonction cosinus (comme la fonction sinus) est périodique de période $2\pi$.

• Autrement dit, pour tout $x$ réel : $\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)}$.

Par ailleurs :

• la fonction cosinus est paire, donc : $\cos{(-x)}=\cos{(x)}$ ;
• la fonction sinus est impaire, donc : $\sin{(-x)}=-\sin{(x)}$ ;
• $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.

Exercice 2 (5 points)

Astuce

N’hésitez pas, tout au long de l’exercice, à vous servir du graphe donné, afin de vérifier la cohérence de vos résultats. Vous pouvez aussi la tracer sur votre calculatrice, si vous souhaitez plus de précision.

Question 1

Les éventuels points d’intersection entre $\mathscr C_f$ et l’axe des abscisses auront bien sûr pour ordonnée $0$.

• Cela revient donc à résoudre l’équation :

$\begin{aligned} f(x)=0 &\Leftrightarrow (2x + 1)\text{e}^x=0 \ &\Leftrightarrow 2x + 1=0 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car la fonction exponentielle ne s’annule pas sur$$\mathbb R$]}}} \ &\Leftrightarrow x=-\dfrac 12 \end{aligned}

• Il y a donc un seul point d’intersection, de coordonnées :

$\boxed{(-\dfrac 12\ ;\, 0)}$

Question 2

Rappel

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $I$, alors leur produit est dérivable sur $I$ et :

$(uv)^{\prime}=uv^{\prime}+u^{\prime}v$

Par ailleurs, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même :

$\exp^{\prime}=\exp$

Comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et, pour tout $x$ réel :

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&= (2x+1)\text{e}^x+2\text{e}^x \ &=(2x+1+2)\text{e}^x \ &=\boxed{(2x+3)\text{e}^x} \end{aligned}$

Question 3

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$.

• $f^{\prime}(x)$ sera donc du signe de $2x+3$.

Et nous avons :

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0 &\Leftrightarrow 2x+3=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac 32 \ f^{\prime}(x) < 0 &\Leftrightarrow 2x+3 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac 32 \ f^{\prime}(x) > 0 &\Leftrightarrow 2x+3 < 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac 32 \ \end{aligned}$

• Nous en déduisons le tableau de signes de $f^{\prime}(x)$ et les variations de $f$ :

Question 4

Rappel

Si $f$ est dérivable en $a$, alors l’équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ est donnée par :

$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$

• $f$ est dérivable en $0$, et l’équation réduite de $\mathcal T$ est :

$y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$

Calculons $f^{\prime}(0)$ et $f(0)$ :

$\begin{aligned} f^{\prime}(0)&=(2\times 0+3)\text{e}^0=3 \ f(0)&=(2\times 0+1)\text{e}^0=1 \end{aligned}$

• L’équation de $\mathcal T$, tangente à $\mathscr C_f$ au point d’abscisse $0$, est donc :

$\boxed{y=3x+1}$

• Nous voyons graphiquement que la courbe $\mathscr C_f$ semble toujours être au-dessus de $\mathcal T$, en se « touchant » au point d’abscisse $1$.

Or, l’équation de $\mathscr C_f$ est : $y=(2x + 1)\text{e}^x$.
Et l’équation de $\mathcal T$ est : $y=3x+1$.

• Donc, pour tout réel $x$, nous avons bien :

$\boxed{(2x + 1)\text{e}^x \geq 3x + 1}$

Exercice 3 (5 points)

Astuce

Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.

$40\,\%$ des étudiants sont dans le cycle « licence », et $60\, \%$ dans le cycle de « spécialisation ».

• Donc : $\text{P}(L)=0,4$, et : $\text{P}(\overline L)=0,6$.

Parmi les étudiants du cycle de « licence », $8\, \%$ sont membres du BDS.

• Donc : $\text{P}$L(B)=0,08PL​(B)=0,08, et $\text{P}$L(\overline B)=0,92.

Parmi les étudiants du cycle de « spécialisation », $10\, \%$ sont membres du BDS.

• Donc : $\text{P}${\overline L}(B)=0,10PL​(B)=0,10, et $\text{P}${\overline L}(\overline B)=0,90.

Question 1

Nous avons en brouillon noté les probabilités données par l’énoncé. Nous les reportons donc facilement sur l’arbre :

Question 2

La probabilité que l’étudiant choisi soit en cycle « licence » et membre du BDS, c’est : $\text{P}(L\cap B)$ :

$\begin{aligned} \text{P}(L\cap B)&=\text{P}(L)\times \text{P}_L(B) \ &=0,4\times 0,08 \ &=\boxed{0,032} \end{aligned}$

Question 3

En utilisant l’arbre pondéré, et avec la formule des probabilités totales, nous avons :

$\begin{aligned} \text{P}(B)&=\text{P}(L\cap B)+\text{P}(\overline L\cap B) \ &=0,032+\text{P}(\overline L)\times \text{P}_{\overline L}(B) \ &=0,032+0,6\times 0,1 \ &=\boxed{0,092} \end{aligned}$

Question 1

$X$ donne la somme à payer par l’étudiant :

• soit il fait partie du BDS, la somme est alors de $60\ \text{euros}$ ;
• soit il n’en fait pas partie, la somme alors due est de $20\ \text{euros}$.
• $X$ prend donc ses valeurs dans l’ensemble : $\boxed{\lbrace 20,\,60 \rbrace}$.

Question 2

• La probabilité que $X$ prenne la valeur $20$ est égale à la probabilité que l’étudiant fasse partie du BDS, soit, d’après la question précédent :

$\text{P}(B)=0,092$

• La probabilité que $X$ prenne la valeur $60$ est égale à la probabilité que l’étudiant ne fasse pas partie du BDS, soit :

$\begin{aligned} \text{P}(\overline B)&=1-\text{P}(B) \ &=1-0,092 \ &=0,908 \end{aligned}$

• Nous pouvons maintenant donner la loi de probabilité de $X$ avec le tableau suivant :

• L’espérance $E$ de $X$ est donc :

$\begin{aligned} E&= \sum${i=1}^2 xi\times \text{P}(X=x_i) \ &=20\times 0,092 + 60\times 0,908 \ &=\boxed{56,32} \end{aligned}

Exercice 4 (5 points)

Question 1

$d_2$ est la distance que Bob doit courir le $2^\text{e}$ jour ; elle est égale, d’après l’énoncé, à la distance courue le $1^\text{er}$ jour à laquelle on ajoute $5\,\%=0,05$ de cette distance, soit :

$\begin{aligned} d$2&=d1+0,05d_1 \ &=20+0,05\times 20 \ &=\boxed{21} \end{aligned}

Avec la même logique :

$\begin{aligned} d$3&=d2+0,05d_2 \ &=21+0,05\times 21 \ &=\boxed{22,05} \end{aligned}

Question 2

En généralisant le raisonnement de la première question, nous obtenons, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$\begin{aligned} d${n+1}&=dn+0,05 dn \ &=(1+0,05)dn \ &=\boxed{1,05d_n} \end{aligned}

Question 3

La suite $(d$n)(dn​) est une suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $d$1=20.

• Nous avons donc, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$\begin{aligned} d$n&=d1\times q^{n-1} \ &=\boxed{20\times 1,05^{n-1}} \end{aligned}

Question 4

La distance parcourue par Bob lors de son $10^\text{e}$ jour d’entraînement est donnée par $d_{10}$, que nous calculons grâce à la formule explicite montrée à la question 3 :

$\begin{aligned} d_{10}&=20\times 1,05^{10-1} \ &=20\times 1,05^9 \ &\approx \boxed{31,027\ \text{km}} \end{aligned}$

Attention

$d_{10}$ donne la distance en kilomètres et l’on nous demande d’arrondir à $1$ mètre près.

• On arrondit donc à $10^{-3}$ près (et pas à $31\ \text{km})$.

Question 5

On souhaite, tant que la distance à parcourir le $n \text{-ième}$ jour n’a pas atteint $43\ \text{km}$ (c’est-à-dire tant que $d < 43$), calculer la distance à parcourir le $(n+1) \text{-ième}$ jour, s’arrêter dès que c’est le cas et renvoyer la valeur de $n$ ainsi obtenue.

• On complète donc l’algorithme ainsi :