ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU Classe : Première Enseignement : Spécialité « Mathématiques » Durée de l’épreuve : 2 heures Calculatrice autorisée. |
SUJET 2020 – SPÉCIMEN 4 – CORRIGÉ |
Exercice 1 (5 points)
Exercice 1 (5 points)
Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.
Question 1
Question 1
- La bonne réponse est : « ».
Si et sont deux fonctions définies sur un intervalle , alors leur produit est dérivable sur et :
Par ailleurs, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même :
Comme produit de fonctions dérivables sur , est dérivable sur et, pour tout réel :
Question 2
Question 2
- La bonne réponse est : ».
Pour tout réel, nous avons :
Nous avons :
Or, d’après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, pour tous et réels :
Nous obtenons donc :
Question 3
Question 3
- La bonne réponse est : et ».
Si est une suite arithmétique de raison , alors, pour tous et entiers naturels :
Nous connaissons et . Nous avons donc :
Nous obtenons :
De la même façon, nous avons :
Question 4
Question 4
- La bonne réponse est : « ».
L’instruction signifie que la variable prendra les valeurs entières comprises entre et (soit valeurs en tout).
- La variable contiendra donc, à la fin de l’exécution du programme, la somme :
C’est-à-dire la somme des premiers entiers naturels non nuls.
Nous connaissons la propriété da la somme des premiers entiers naturels non nuls :
À la fin de l’exécution du programme, contiendra donc la valeur :
Question 5
Question 5
- La bonne réponse est : « ».
Nous reconnaissons la somme des premiers termes d’une suite géométrique, que nous notons , de raison et de premier terme .
Ainsi, nous avons, pour tout entier naturel :
Et donc :
Il y a bien termes, il ne faut pas oublier de compter .
Nous appliquons la propriété sur la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :
Exercice 2 (5 points)
Exercice 2 (5 points)
PARTIE A : Répondre par lecture graphique aux deux questions suivantes |
Question 1
Question 1
Comme la courbe donnée représente la puissance en fonction du temps, nous retrouvons logiquement le temps en abscisse et la puissance en ordonnée.
Il suffit donc de trouver le maximum de la fonction représentée :
- Nous lisons ainsi que la puissance maximale atteinte par ce rameur est environ égale à .
Question 2
Question 2
- Graphiquement, nous voyons que la puissance développée reste au-dessus de durant environ :
PARTIE B : Modélisation par une fonction |
C’est admis dans l’exercice, mais, pour nous entraîner, nous pouvons retrouver rapidement l’expression de la dérivée de .
Comme produit de fonctions dérivables sur , et donc sur , est dérivable sur et, pour tout :
Question 1
Question 1
Nous savons que la fonction exponentielle est strictement positive sur , et donc sur .
- est donc du signe de .
Ainsi, sur :
- Nous pouvons dresser le tableau de variations de la fonction :
- est croissante sur et décroissante sur .
Question 2
Question 2
La fonction atteint son maximum en et vaut :
Nous pouvons rapidement vérifier, à la calculatrice, que notre résultat est cohérent avec la lecture graphique de la partie A :
Soit la meilleure performance atteinte au bout de mois. Ainsi :
- , d’après le dernier résultat, car il s’agit de la performance au bout de mois ;
- (puisque le sportif améliore sa performance de chaque mois) ;
- ;
- et ainsi de suite.
La suite est une suite géométrique de raison et de premier terme . Donc, pour tout entier naturel :
De plus, , est strictement croissante.
Il nous suffit donc de trouver pour quelle valeur de dépasse le seuil de pour la première fois. En nous servant de la calculatrice, nous trouvons :
- mois d’entraînement seront donc nécessaires pour que le sportif dépasse les .
Exercice 3 (5 points)
Exercice 3 (5 points)
Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.
- La probabilité pour qu’un client achète un canapé est .
- .
- La probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il a acheté un canapé est .
- .
- La probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il n’achète pas de canapé est .
- .
Question 1
Question 1
Nous avons noté au brouillon les probabilités données par l’énoncé, nous les reportons donc sur l’arbre (en vert ci-dessous), puis nous complétons avec la probabilité des événements contraires :
Question 2
Question 2
La probabilité que le client achète un canapé et une table de salon, c’est :
Question 3
Question 3
En utilisant l’arbre pondéré et avec la formule des probabilités totales :
Question 4
Question 4
Dans ce magasin, le prix moyen d’un canapé est de et le prix moyen d’une table de salon est de . On note la variable aléatoire correspondant à la somme payée par le client.
- Question a.
, c’est la probabilité que le client n’ait rien acheté :
, c’est la probabilité que le client ait acheté uniquement une table de salon :
, c’est la probabilité que le client ait acheté uniquement un canapé :
, c’est la probabilité que le client ait acheté un canapé et une table de salon :
- Nous avons tous les éléments pour compléter la loi de probabilité de :
- Question b.
L’espérance de vaut :
- Nous interprétons ce résultat ainsi : un client de ce magasin dépense en moyenne .
Exercice 4 (5 points)
Exercice 4 (5 points)
Question 1
Question 1
Nous avons, avec les coordonnées de :
Les coordonnées de vérifient l’équation de .
- appartient donc à .
Pour tracer la droite, nous avons besoin des coordonnées d’un autre point appartenant à . Prenons par exemple le point d’ordonnée (car cela nous donnera très vite l’abscisse correspondante) appartenant à la droite, point que nous notons :
- Nous pouvons maintenant tracer la droite , en reliant et :
Question 2
Question 2
Soit une droite d’équation cartésienne (, , réels).
- Un vecteur directeur de est :
- Un vecteur normal de est :
La droite est perpendiculaire à . Un vecteur directeur de sera donc un vecteur normal à , dont nous avons une équation cartésienne : . Nous en déduisons donc les coordonnées d’un vecteur normal à :
étant un vecteur directeur de , une équation cartésienne de est :
Déterminons avec les coordonnées de , qui appartient à :
- Une équation cartésienne de est donc bien :
Question 3
Question 3
Puisque et sont perpendiculaires et que appartient à , le projeté orthogonal de sur est le point d’intersection de et . Les coordonnées de vérifient donc les équations cartésiennes de et .
Nous allons donc résoudre le système suivant :
- a donc pour coordonnées :
Nous pouvons vérifier sur notre représentation graphique que ce résultat est cohérent, en plaçant le point , en traçant et en regardant les coordonnées du point d’intersection de et :
Question 4
Question 4
- Question a.
Dans un repère orthonormé, une équation d’un cercle de centre et de rayon est :
Calculons les coordonnées de , centre de .
Les coordonnées du milieu d’un segment , avec et , se calculent ainsi :
a pour diamètre . Son centre est donc le milieu de .
Nous pouvons donc calculer les coordonnées de :
- a pour coordonnées :
Calculons le rayon de .
Dans un repère orthonormé, la longueur d’un segment se calcule ainsi :
Nous avons :
- Une équation du cercle , de centre et de rayon , est donc :
- Question b.
Pour savoir si le point appartient à , il suffit de regarder si ses coordonnées vérifient l’équation que nous avons déterminée à la question précédente :
- appartient à .
Dans cette dernière résolution, nous nous sommes logiquement servis de l’équation de trouvée.
Nous pouvons toutefois tout simplement remarquer que, comme est le projeté orthogonal de sur la droite , à laquelle appartient, le triangle est rectangle en .
- Ce triangle est donc inscrit dans le cercle de diamètre , c’est-à-dire , et appartient ainsi à .
Pour terminer, nous donnons, à titre d’information, la construction complète de la figure :