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Sujet spécimen 2020-4 - Spécialité mathématiques - Corrigé
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Corrigé bac

ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU

Classe : Première

Enseignement : Spécialité « Mathématiques »

Durée de l’épreuve : 2 heures

Calculatrice autorisée.

SUJET 2020 – SPÉCIMEN 4 – CORRIGÉ

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.

Question 1

  • La bonne réponse est : « f(x)=(x+2)exf^\prime(x) = (x + 2)\text{e}^x ».
bannière rappel

Rappel

Si uu et vv sont deux fonctions définies sur un intervalle II, alors leur produit est dérivable sur II et :

(uv)=uv+uv(uv)^{\prime}=uv^{\prime}+u^{\prime}v

Par ailleurs, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même :

exp=exp\exp^{\prime}=\exp

Comme produit de fonctions dérivables sur R\mathbb R, ff est dérivable sur R\mathbb R et, pour tout xx réel :

f(x)=(x+1)ex+1×ex=(x+1+1)ex=(x+2)ex\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=(x+1)\text{e}^x+1\times \text{e}^x \ &=(x+1+1)\text{e}^x \ &=(x+2)\text{e}^x \end{aligned}

Question 2

  • La bonne réponse est : ebea\frac {\text{e}^b}{\text{e}^{-a}} ».
bannière rappel

Rappel

Pour tout xx réel, nous avons :

ex=1x\text{e}^{-x}=\dfrac 1x

Nous avons :

eaeb=ea×1eb\dfrac {\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}=\text{e}^a\times \dfrac 1{\text{e}^{-b}}

Or, d’après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, pour tous aa et bb réels :

ea=e(a)=1ea1eb=eb\begin{aligned} \text{e}^a&=\text{e}^{-(-a)} \ &=\dfrac 1{\text{e}^{-a}} \ \ \dfrac 1{\text{e}^{-b}}&=\text{e}^b \end{aligned}

Nous obtenons donc :

eaeb=1ea×eb=ebea\begin{aligned} \dfrac {\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}&=\dfrac 1{\text{e}^{-a}}\times \text{e}^b \ &=\dfrac {\text{e}^b}{\text{e}^{-a}} \end{aligned}

Question 3

  • La bonne réponse est : u0=6u_0 = 6 et R=12R = -\frac 12 ».
bannière rappel

Rappel

Si (un)nN(un){n\in \mathbb N} est une suite arithmétique de raison RR, alors, pour tous mm et pp entiers naturels :

um=up+(mp)×Rum=up+(m-p)\times R

Nous connaissons u3u3 et u6u6. Nous avons donc :

u6=u3+(63)Ru6=u3+(6-3)R

Nous obtenons :

3=92+3R3R=32R=12\begin{aligned} 3=\dfrac 92+3R &\Leftrightarrow 3R=-\dfrac 32 \ &\Leftrightarrow R=-\dfrac 12 \end{aligned}

De la même façon, nous avons :

u0=u3+(03)R=923×(12)=92+32=6\begin{aligned} u0&=u3+(0-3)R \ &=\dfrac 92-3\times \left( -\dfrac12\right) \ &=\dfrac 92+\dfrac 32 \ &=6 \end{aligned}

Question 4

  • La bonne réponse est : « 12751\,275 ».

L’instruction  for i in range(51):\purple{\text{ for i in range(51):}} signifie que la variable i\purple{\text{i}} prendra les valeurs entières comprises entre 00 et 5050 (soit 5151 valeurs en tout).

  • La variable s\purple{\text{s}} contiendra donc, à la fin de l’exécution du programme, la somme :

0+0+1+2+3+49+50=1+2+3+49+500+0+1+2+3…+49+50=1+2+3…+49+50

C’est-à-dire la somme des 5050 premiers entiers naturels non nuls.

bannière rappel

Rappel

Nous connaissons la propriété da la somme des nn premiers entiers naturels non nuls :

1+2++(n1)+n=n(n+1)21+2+…+(n-1)+n=\dfrac{n(n+1)}2

À la fin de l’exécution du programme, s\purple{\text{s}} contiendra donc la valeur :

1+2++49+50=50×(50+1)2=25502=1275\begin{aligned} 1+2+…+49+50&=\dfrac {50\times (50+1)}2 \ &=\dfrac{2\,550}2 \ &=1\,275 \end{aligned}

Question 5

  • La bonne réponse est : « 2(12)152-\left(\frac 12 \right)^{15} ».

Nous reconnaissons la somme des 1616 premiers termes d’une suite géométrique, que nous notons (un)nN(un){n\in \mathbb N}, de raison q=12q=\frac 12 et de premier terme u0=1u_0=1.
Ainsi, nous avons, pour tout entier naturel nn :

un=u0×qn=(12)n\begin{aligned} un&=u0\times q^n \ &= \left(\dfrac 12\right)^n \end{aligned}

Et donc :

1+12+(12)2++(12)15=u0+u1+u2++u15\green 1 + \purple {\dfrac 12} + \blue {\left(\dfrac 12\right)^2} +…+ \red{\left(\dfrac 12\right)^{15}}=\green{u0}+\purple{u1}+\blue{u2}+…+\red{u{15}}

bannière attention

Attention

Il y a bien 1616 termes, il ne faut pas oublier de compter u0u_0.

Nous appliquons la propriété sur la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :

S=premier terme×1qnombre de termes1q=u0×1q161q=1×1(12)16112=2×(1(12)16)=22×12×(12)15=2(12)15\begin{aligned} S&= \text{premier terme}\times \dfrac{1-q^\text{nombre de termes}}{1-q} \ &= u_0 \times \dfrac{1-q^{16}}{1-q} \ &=1\times \dfrac{1-\left(\frac 12\right)^{16}}{1-\frac 12} \ &=2\times \Bigg(1-\left(\frac 12\right)^{16}\Bigg) \ &=2-2\times \dfrac 12\times \left(\frac 12\right)^{15} \ &=2-\left(\frac 12\right)^{15} \end{aligned}

Exercice 2 (5 points)

PARTIE A : Répondre par lecture graphique aux deux questions suivantes

Question 1

Comme la courbe donnée représente la puissance en fonction du temps, nous retrouvons logiquement le temps en abscisse et la puissance en ordonnée.
Il suffit donc de trouver le maximum de la fonction représentée :

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  • Nous lisons ainsi que la puissance maximale atteinte par ce rameur est environ égale à 160 watts\boxed{160\ \text{watts}}.

Question 2

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  • Graphiquement, nous voyons que la puissance développée reste au-dessus de 100 watts100\ \text{watts} durant environ :

3,71,7=2 dixieˋmes de seconde3,7-1,7=\boxed{2\ \text{dixièmes de seconde}}

PARTIE B : Modélisation par une fonction
bannière demonstration

Démonstration

C’est admis dans l’exercice, mais, pour nous entraîner, nous pouvons retrouver rapidement l’expression de la dérivée de ff.

Comme produit de fonctions dérivables sur R\mathbb R, et donc sur [0,2 ;4][0,2\ ;\, 4], ff est dérivable sur [0,2 ;4][0,2\ ;\, 4] et, pour tout x[0,2 ;4]x \in [0,2\ ;\, 4] :

f(x)=(8x+32)ex8ex[car (uv)=uv+uv et exp=exp]=(8x+328)ex=(8x+24)ex\begin{aligned} f^{\prime}(x)&= (-8x + 32)\text{e}^x-8\text{e}^x \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $(uv)^{\prime}=uv^{\prime}+u^{\prime}v$ et $\exp^{\prime}=\exp$]}}} \ &=(-8x+32-8)\text{e}^x \ &=(-8x+24)\text{e}^x \end{aligned}

Question 1

Nous savons que la fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb R, et donc sur [0,2 ;4][0,2\ ;\, 4].

  • f(x)f^{\prime}(x) est donc du signe de 8x+24-8x+24.

Ainsi, sur [0,2 ;4][0,2\ ;\, 4] :

f(x)=08x+24=0x=3f(x)<08x+24<0x>3f(x)>08x+24=0x<3\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0&\Leftrightarrow -8x+24=0 \ &\Leftrightarrow x=3 \ f^{\prime}(x) < 0&\Leftrightarrow -8x+24 < 0 \ &\Leftrightarrow x > 3 \ f^{\prime}(x) > 0&\Leftrightarrow -8x+24=0 \ &\Leftrightarrow x < 3 \end{aligned}

  • Nous pouvons dresser le tableau de variations de la fonction ff :

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  • ff est croissante sur [0,2 ;3][0,2\ ;\, 3] et décroissante sur [3 ;4][3\ ;\, 4].

Question 2

La fonction ff atteint son maximum en x=3x=3 et vaut :

f(3)=(8×3+32)e3=8e3\begin{aligned} f(3)&=(-8\times 3+32)\text{e}^3 \ &=\boxed{8\text{e}^3} \end{aligned}

bannière astuce

Astuce

Nous pouvons rapidement vérifier, à la calculatrice, que notre résultat est cohérent avec la lecture graphique de la partie A :

8e3160,688\text{e}^3\approx 160,68

Soit unu_n la meilleure performance atteinte au bout de nn mois. Ainsi :

  • u0=8e3u_0=8\text{e}^3, d’après le dernier résultat, car il s’agit de la performance au bout de 00 mois ;
  • u1=u0+0,05u0=1,05u0u1=u0+0,05u0=1,05u0 (puisque le sportif améliore sa performance de 5%5\,\% chaque mois) ;
  • u2=1,05u1u2=1,05u1 ;
  • et ainsi de suite.

La suite (un)(un) est une suite géométrique de raison q=1,05q=1,05 et de premier terme u0=8e3u0=8\text{e}^3. Donc, pour tout nn entier naturel :

un=8e3×1,05nu_n=8\text{e}^3\times 1,05^n

De plus, q=1,05>1q = 1,05 > 1, (un)(un) est strictement croissante.
Il nous suffit donc de trouver pour quelle valeur de nn un=8e3×1,05nu
n=8\text{e}^3\times 1,05^n dépasse le seuil de 200 W200\ \text{W} pour la première fois. En nous servant de la calculatrice, nous trouvons :

u1=8e3×1,051168,72u2=8e3×1,052177,15u3=8e3×1,053186,01u4=8e3×1,054195,31u5=8e3×1,055205,08\begin{aligned} u1&=8\text{e}^3\times 1,05^1\approx 168,72 \ u2&=8\text{e}^3\times 1,05^2\approx 177,15 \ u3&=8\text{e}^3\times 1,05^3\approx 186,01 \ u4&=8\text{e}^3\times 1,05^4\approx 195,31 \ \boxed{u_5}&=8\text{e}^3\times 1,05^5\approx \red{205,08} \end{aligned}

  • 55 mois d’entraînement seront donc nécessaires pour que le sportif dépasse les 200 W200\ \text{W}.

Exercice 3 (5 points)

bannière astuce

Astuce

Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.

  • La probabilité pour qu’un client achète un canapé est 0,240,24.
  • P(C)=0,24P(C)=0,24.
  • La probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il a acheté un canapé est 0,250,25.
  • PC(T)=0,25P_C(T)=0,25.
  • La probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il n’achète pas de canapé est 0,10,1.
  • PC(T)=0,1P_{\overline C}(T)=0,1.

Question 1

Nous avons noté au brouillon les probabilités données par l’énoncé, nous les reportons donc sur l’arbre (en vert ci-dessous), puis nous complétons avec la probabilité des événements contraires :

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Question 2

La probabilité que le client achète un canapé et une table de salon, c’est :

P(CT)=P(C)×PC(T)=0,24×0,25=0,06\begin{aligned} P(C\cap T)&=P(C)\times P_C(T) \ &=0,24\times 0,25 \ &=\boxed{0,06} \end{aligned}

Question 3

En utilisant l’arbre pondéré et avec la formule des probabilités totales :

P(T)=P(CT)+P(CT)=0,06+P(C)×PC(T)=0,06+0,76×0,1=0,136\begin{aligned} P(T)&=P(C\cap T)+P(\overline C \cap T) \ &=0,06+P(\overline C)\times P_{\overline C}(T) \ &=0,06+0,76\times 0,1 \ &=\boxed{0,136} \end{aligned}

Question 4

Dans ce magasin, le prix moyen d’un canapé est de 1000 euros1\,000\ \text{euros} et le prix moyen d’une table de salon est de 300 euros300\ \text{euros}. On note XX la variable aléatoire correspondant à la somme payée par le client.

  • Question a.

P(X=0)P(X=0), c’est la probabilité que le client n’ait rien acheté :

P(X=0)=P(CT)=P(C)×PC(T)=0,76×0,9=0,684\begin{aligned} P(X=0)&=P(\overline C \cap \overline T) \ &= P(\overline C)\times P_{\overline C}(\overline T) \ &=0,76\times 0,9 \ &=0,684 \end{aligned}

P(X=300)P(X=300), c’est la probabilité que le client ait acheté uniquement une table de salon :

P(X=300)=P(CT)=P(C)×PC(T)=0,76×0,1=0,076\begin{aligned} P(X=300)&=P(\overline C \cap T) \ &= P(\overline C)\times P_{\overline C}(T) \ &=0,76\times 0,1 \ &=0,076 \end{aligned}

P(X=1000)P(X=1\,000), c’est la probabilité que le client ait acheté uniquement un canapé :

P(X=1000)=P(CT)=P(C)×PC(T)=0,24×0,75=0,18\begin{aligned} P(X=1\,000)&=P(C \cap \overline T) \ &= P(C)\times P_C(\overline T) \ &=0,24\times 0,75 \ &=0,18 \end{aligned}

P(X=1300)P(X=1\,300), c’est la probabilité que le client ait acheté un canapé et une table de salon :

P(X=1300)=P(CT)=0,06 [d’apreˋs la question 2]\begin{aligned} P(X=1\,300)&=P(C \cap T) \ &= 0,06 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après la question 2]}}} \end{aligned}

  • Nous avons tous les éléments pour compléter la loi de probabilité de XX :

xixi 00 300300 10001\,000 13001\,300
P(X=xi)P(X=xi) 0,6840,684 0,0760,076 0,180,18 0,060,06
  • Question b.

L’espérance de XX vaut :

E(X)=0×0,684+300×0,076+1000×0,18+1300×0,06=280,8\begin{aligned} E(X)&=0\times 0,684+300\times 0,076+1\,000\times 0,18+1\,300\times 0,06 \ &=280,8 \end{aligned}

  • Nous interprétons ce résultat ainsi : un client de ce magasin dépense en moyenne 280,8 euros280,8\ \text{euros}.

Exercice 4 (5 points)

Question 1

Nous avons, avec les coordonnées de A(2 ;1)A\,(\green 2\ ;\, \purple 1) :

2+3×15=0\green 2+3\times \purple 1-5=0

Les coordonnées de AA vérifient l’équation de DD.

  • AA appartient donc à DD.

Pour tracer la droite, nous avons besoin des coordonnées d’un autre point appartenant à DD. Prenons par exemple le point d’ordonnée 00 (car cela nous donnera très vite l’abscisse correspondante) appartenant à la droite, point que nous notons A(xA ;0)A^{\prime}\,(x_{A^{\prime}}\ ;\,0) :

xA+3×05=0xA=5x{A^{\prime}}+3\times 0-5=0 \Leftrightarrow x{A^{\prime}}=5

  • Nous pouvons maintenant tracer la droite DD, en reliant A(2 ;1)A\,(2\ ;\, 1) et A(5 ;0)A^{\prime}\,(5\ ;\, 0) :

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Question 2

bannière rappel

Rappel

Soit (d)(d) une droite d’équation cartésienne ax+by+c=0ax+by+c=0 (aa, bb, cc réels).

  • Un vecteur directeur de (d)(d) est :

u(ba)\vec u\begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix}

  • Un vecteur normal de (d)(d) est :

n(ab)\vec n\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}

La droite DD^{\prime} est perpendiculaire à DD. Un vecteur directeur de DD^{\prime} sera donc un vecteur normal à DD, dont nous avons une équation cartésienne : x+3y5=0 x + 3y - 5 = 0. Nous en déduisons donc les coordonnées d’un vecteur normal à DD :

n(31)\vec n \begin{pmatrix} -3 \ 1 \end{pmatrix}

n\vec n étant un vecteur directeur de DD^{\prime}, une équation cartésienne de DD^{\prime} est :

3xy+c=03x-y+c=0

Déterminons cc avec les coordonnées de B(4 ;2)B\,(4\ ;\, 2), qui appartient à DD^{\prime} :

3×42+c=0c=103\times 4-2+c=0\Leftrightarrow c=-10

  • Une équation cartésienne de dd est donc bien :

3xy10=0\boxed{3x-y-10=0}

Question 3

Puisque DD et DD^{\prime} sont perpendiculaires et que BB appartient à DD^{\prime}, le projeté orthogonal HH de BB sur DD est le point d’intersection de DD et DD^{\prime}. Les coordonnées de HH vérifient donc les équations cartésiennes de DD et DD^{\prime}.
Nous allons donc résoudre le système suivant :

{x+3y5=03xy10=0{x+3(3x10)5=0y=3x10{10x35=0y=3x10{x=72y=3×7210{x=72y=212202{x=72y=12\begin{aligned} \begin{cases} x+3y-5=0 \ 3x-y-10=0 \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} x+3(3x-10)-5=0 \ y=3x-10 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} 10x-35=0 \ y=3x-10 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac 72 \ y=3\times \frac 72-10 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac 72 \ y= \frac {21}2-\frac {20}2 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac 72 \ y= \frac 12\end{cases} \end{aligned}

  • HH a donc pour coordonnées :

(72 ;12)\boxed{\left(\dfrac 72\ ;\, \dfrac 12\right)}

bannière astuce

Astuce

Nous pouvons vérifier sur notre représentation graphique que ce résultat est cohérent, en plaçant le point BB, en traçant DD^{\prime} et en regardant les coordonnées du point d’intersection de DD et DD^{\prime} :

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Question 4

  • Question a.
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Rappel

Dans un repère orthonormé, une équation d’un cercle de centre Ω(xΩ ;yΩ)\Omega\,(x\Omega\ ;\, y\Omega) et de rayon RR est :

(xxΩ)2+(yyΩ)=R2(x-x\Omega)^2+(y-y\Omega)=R^2

Calculons les coordonnées de Ω\Omega, centre de C\mathcal C.

bannière rappel

Rappel

Les coordonnées du milieu d’un segment [AB][AB], avec A(xA ;yB)A\,(xA\ ;\, yB) et B(xB ;yB)B\,(xB\ ;\, yB), se calculent ainsi :

(xA+xB2 ;yA+yB2)\left(\dfrac{xA+xB}2\ ;\, \dfrac {yA+yB}2 \right)

C\mathcal C a pour diamètre [AB][AB]. Son centre Ω(xΩ ;yΩ)\Omega\,(x\Omega\ ;\, y\Omega) est donc le milieu de [AB][AB].
Nous pouvons donc calculer les coordonnées de Ω\Omega :

xΩ=2+42=3yΩ=1+22=32\begin{aligned} x\Omega&=\dfrac {2 + 4}2=3 \ y\Omega&=\dfrac {1+2}2=\dfrac 32 \end{aligned}

  • Ω\Omega a pour coordonnées :

(3 ;32)\boxed{\left(3\ ;\, \dfrac 32\right)}

Calculons le rayon RR de C\mathcal C.

bannière rappel

Rappel

Dans un repère orthonormé, la longueur d’un segment [AB][AB] se calcule ainsi :

AB=(xBxA)2+(yByA)2AB=\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}

Nous avons :

R=AB2=(42)2+(21)22=52\begin{aligned} R&=\dfrac {AB}2 \ &=\dfrac {\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2}}2 \ &=\boxed{\dfrac {\sqrt 5}2} \end{aligned}

  • Une équation du cercle C\mathcal C, de centre Ω(3 ;32)\Omega\left(3\ ;\, \frac 32\right) et de rayon 52\frac {\sqrt 5}2, est donc :

(x3)2+(y32)2=(52)2Soit : (x3)2+(y32)2=54\begin{aligned} &(x-3)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\left(\dfrac {\sqrt{5}}2\right)^2 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} &\boxed{(x-3)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 54} \end{aligned}

  • Question b.

Pour savoir si le point HH appartient à C\mathcal C, il suffit de regarder si ses coordonnées (72 ;12)\left(\frac 72\ ;\, \frac 12\right) vérifient l’équation que nous avons déterminée à la question précédente :

(723)2+(1232)2=(12)2+(1)2=14+1=54\begin{aligned} \left(\dfrac 72-3\right)^2+\left(\dfrac 12-\dfrac 32\right)^2&=\left(\dfrac 12\right)^2+(-1)^2 \ &=\dfrac 14+1 \ &=\dfrac 54 \end{aligned}

  • HH appartient à C\mathcal C.
bannière astuce

Astuce

Dans cette dernière résolution, nous nous sommes logiquement servis de l’équation de C\mathcal C trouvée.
Nous pouvons toutefois tout simplement remarquer que, comme HH est le projeté orthogonal de BB sur la droite DD, à laquelle AA appartient, le triangle AHBAHB est rectangle en HH.

  • Ce triangle est donc inscrit dans le cercle de diamètre [AB][AB], c’est-à-dire C\mathcal C, et HH appartient ainsi à C\mathcal C.

Pour terminer, nous donnons, à titre d’information, la construction complète de la figure :

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