Sujet spécimen 2020-4 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener.

Question 1

• La bonne réponse est : « $f^\prime(x) = (x + 2)\text{e}^x$ ».

Rappel

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $I$, alors leur produit est dérivable sur $I$ et :

$(uv)^{\prime}=uv^{\prime}+u^{\prime}v$

Par ailleurs, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même :

$\exp^{\prime}=\exp$

Comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et, pour tout $x$ réel :

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=(x+1)\text{e}^x+1\times \text{e}^x \ &=(x+1+1)\text{e}^x \ &=(x+2)\text{e}^x \end{aligned}$

Question 2

• La bonne réponse est : $\frac {\text{e}^b}{\text{e}^{-a}}$ ».

Rappel

Pour tout $x$ réel, nous avons :

$\text{e}^{-x}=\dfrac 1x$

Nous avons :

$\dfrac {\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}=\text{e}^a\times \dfrac 1{\text{e}^{-b}}$

Or, d’après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, pour tous $a$ et $b$ réels :

$\begin{aligned} \text{e}^a&=\text{e}^{-(-a)} \ &=\dfrac 1{\text{e}^{-a}} \ \ \dfrac 1{\text{e}^{-b}}&=\text{e}^b \end{aligned}$

Nous obtenons donc :

$\begin{aligned} \dfrac {\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}&=\dfrac 1{\text{e}^{-a}}\times \text{e}^b \ &=\dfrac {\text{e}^b}{\text{e}^{-a}} \end{aligned}$

Question 3

• La bonne réponse est : $u_0 = 6$ et $R = -\frac 12$ ».

Rappel

Si $(u$n){n\in \mathbb N} est une suite arithmétique de raison $R$, alors, pour tous $m$ et $p$ entiers naturels :

$u$m=up+(m-p)\times R

Nous connaissons $u$3u3​ et $u$6. Nous avons donc :

$u$6=u3+(6-3)R

Nous obtenons :

$\begin{aligned} 3=\dfrac 92+3R &\Leftrightarrow 3R=-\dfrac 32 \ &\Leftrightarrow R=-\dfrac 12 \end{aligned}$

De la même façon, nous avons :

$\begin{aligned} u$0&=u3+(0-3)R \ &=\dfrac 92-3\times \left( -\dfrac12\right) \ &=\dfrac 92+\dfrac 32 \ &=6 \end{aligned}

Question 4

• La bonne réponse est : « $1\,275$ ».

L’instruction $\purple{\text{ for i in range(51):}}$ signifie que la variable $\purple{\text{i}}$ prendra les valeurs entières comprises entre $0$ et $50$ (soit $51$ valeurs en tout).

• La variable $\purple{\text{s}}$ contiendra donc, à la fin de l’exécution du programme, la somme :

$0+0+1+2+3…+49+50=1+2+3…+49+50$

C’est-à-dire la somme des $50$ premiers entiers naturels non nuls.

Rappel

Nous connaissons la propriété da la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls :

$1+2+…+(n-1)+n=\dfrac{n(n+1)}2$

À la fin de l’exécution du programme, $\purple{\text{s}}$ contiendra donc la valeur :

$\begin{aligned} 1+2+…+49+50&=\dfrac {50\times (50+1)}2 \ &=\dfrac{2\,550}2 \ &=1\,275 \end{aligned}$

Question 5

• La bonne réponse est : « $2-\left(\frac 12 \right)^{15}$ ».

Nous reconnaissons la somme des $16$ premiers termes d’une suite géométrique, que nous notons $(u$n){n\in \mathbb N}, de raison $q=\frac 12$ et de premier terme $u_0=1$.
Ainsi, nous avons, pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{aligned} u$n&=u0\times q^n \ &= \left(\dfrac 12\right)^n \end{aligned}

Et donc :

$\green 1 + \purple {\dfrac 12} + \blue {\left(\dfrac 12\right)^2} +…+ \red{\left(\dfrac 12\right)^{15}}=\green{u$0}+\purple{u1}+\blue{u2}+…+\red{u{15}}

Attention

Il y a bien $16$ termes, il ne faut pas oublier de compter $u_0$.

Nous appliquons la propriété sur la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :

$\begin{aligned} S&= \text{premier terme}\times \dfrac{1-q^\text{nombre de termes}}{1-q} \ &= u_0 \times \dfrac{1-q^{16}}{1-q} \ &=1\times \dfrac{1-\left(\frac 12\right)^{16}}{1-\frac 12} \ &=2\times \Bigg(1-\left(\frac 12\right)^{16}\Bigg) \ &=2-2\times \dfrac 12\times \left(\frac 12\right)^{15} \ &=2-\left(\frac 12\right)^{15} \end{aligned}$

Exercice 2 (5 points)

Question 1

Comme la courbe donnée représente la puissance en fonction du temps, nous retrouvons logiquement le temps en abscisse et la puissance en ordonnée.
Il suffit donc de trouver le maximum de la fonction représentée :

• Nous lisons ainsi que la puissance maximale atteinte par ce rameur est environ égale à $\boxed{160\ \text{watts}}$.

Question 2

• Graphiquement, nous voyons que la puissance développée reste au-dessus de $100\ \text{watts}$ durant environ :

$3,7-1,7=\boxed{2\ \text{dixièmes de seconde}}$

Démonstration

C’est admis dans l’exercice, mais, pour nous entraîner, nous pouvons retrouver rapidement l’expression de la dérivée de $f$.

Comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, et donc sur $[0,2\ ;\, 4]$, $f$ est dérivable sur $[0,2\ ;\, 4]$ et, pour tout $x \in [0,2\ ;\, 4]$ :

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&= (-8x + 32)\text{e}^x-8\text{e}^x \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $(uv)^{\prime}=uv^{\prime}+u^{\prime}v$ et $\exp^{\prime}=\exp$]}}} \ &=(-8x+32-8)\text{e}^x \ &=(-8x+24)\text{e}^x \end{aligned}$

Question 1

Nous savons que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$, et donc sur $[0,2\ ;\, 4]$.

• $f^{\prime}(x)$ est donc du signe de $-8x+24$.

Ainsi, sur $[0,2\ ;\, 4]$ :

$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0&\Leftrightarrow -8x+24=0 \ &\Leftrightarrow x=3 \ f^{\prime}(x) < 0&\Leftrightarrow -8x+24 < 0 \ &\Leftrightarrow x > 3 \ f^{\prime}(x) > 0&\Leftrightarrow -8x+24=0 \ &\Leftrightarrow x < 3 \end{aligned}$

• Nous pouvons dresser le tableau de variations de la fonction $f$ :

• $f$ est croissante sur $[0,2\ ;\, 3]$ et décroissante sur $[3\ ;\, 4]$.

Question 2

La fonction $f$ atteint son maximum en $x=3$ et vaut :

$\begin{aligned} f(3)&=(-8\times 3+32)\text{e}^3 \ &=\boxed{8\text{e}^3} \end{aligned}$

Astuce

Nous pouvons rapidement vérifier, à la calculatrice, que notre résultat est cohérent avec la lecture graphique de la partie A :

$8\text{e}^3\approx 160,68$

Soit $u_n$ la meilleure performance atteinte au bout de $n$ mois. Ainsi :

• $u_0=8\text{e}^3$, d’après le dernier résultat, car il s’agit de la performance au bout de $0$ mois ;
• $u$1=u0+0,05u0=1,05u0 (puisque le sportif améliore sa performance de $5\,\%$ chaque mois) ;
• $u$2=1,05u1 ;
• et ainsi de suite.

La suite $(u$n)(un​) est une suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u$0=8\text{e}^3. Donc, pour tout $n$ entier naturel :

$u_n=8\text{e}^3\times 1,05^n$

De plus, $q = 1,05 > 1$, $(u$n)(un​) est strictement croissante.
Il nous suffit donc de trouver pour quelle valeur de $n$ $u$n=8\text{e}^3\times 1,05^n dépasse le seuil de $200\ \text{W}$ pour la première fois. En nous servant de la calculatrice, nous trouvons :

$\begin{aligned} u$1&=8\text{e}^3\times 1,05^1\approx 168,72 \ u2&=8\text{e}^3\times 1,05^2\approx 177,15 \ u3&=8\text{e}^3\times 1,05^3\approx 186,01 \ u4&=8\text{e}^3\times 1,05^4\approx 195,31 \ \boxed{u_5}&=8\text{e}^3\times 1,05^5\approx \red{205,08} \end{aligned}

• $5$ mois d’entraînement seront donc nécessaires pour que le sportif dépasse les $200\ \text{W}$.

Exercice 3 (5 points)

Astuce

Dans un exercice de probabilité, il est important de traduire en termes mathématiques les données de l’énoncé, ce que l’on peut faire sur une feuille de brouillon.

• La probabilité pour qu’un client achète un canapé est $0,24$.
• $P(C)=0,24$.
• La probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il a acheté un canapé est $0,25$.
• $P_C(T)=0,25$.
• La probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il n’achète pas de canapé est $0,1$.
• $P_{\overline C}(T)=0,1$.

Question 1

Nous avons noté au brouillon les probabilités données par l’énoncé, nous les reportons donc sur l’arbre (en vert ci-dessous), puis nous complétons avec la probabilité des événements contraires :

Question 2

La probabilité que le client achète un canapé et une table de salon, c’est :

$\begin{aligned} P(C\cap T)&=P(C)\times P_C(T) \ &=0,24\times 0,25 \ &=\boxed{0,06} \end{aligned}$

Question 3

En utilisant l’arbre pondéré et avec la formule des probabilités totales :

$\begin{aligned} P(T)&=P(C\cap T)+P(\overline C \cap T) \ &=0,06+P(\overline C)\times P_{\overline C}(T) \ &=0,06+0,76\times 0,1 \ &=\boxed{0,136} \end{aligned}$

Question 4

Dans ce magasin, le prix moyen d’un canapé est de $1\,000\ \text{euros}$ et le prix moyen d’une table de salon est de $300\ \text{euros}$. On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la somme payée par le client.

• Question a.

$P(X=0)$, c’est la probabilité que le client n’ait rien acheté :

$\begin{aligned} P(X=0)&=P(\overline C \cap \overline T) \ &= P(\overline C)\times P_{\overline C}(\overline T) \ &=0,76\times 0,9 \ &=0,684 \end{aligned}$

$P(X=300)$, c’est la probabilité que le client ait acheté uniquement une table de salon :

$\begin{aligned} P(X=300)&=P(\overline C \cap T) \ &= P(\overline C)\times P_{\overline C}(T) \ &=0,76\times 0,1 \ &=0,076 \end{aligned}$

$P(X=1\,000)$, c’est la probabilité que le client ait acheté uniquement un canapé :

$\begin{aligned} P(X=1\,000)&=P(C \cap \overline T) \ &= P(C)\times P_C(\overline T) \ &=0,24\times 0,75 \ &=0,18 \end{aligned}$

$P(X=1\,300)$, c’est la probabilité que le client ait acheté un canapé et une table de salon :

$\begin{aligned} P(X=1\,300)&=P(C \cap T) \ &= 0,06 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [d’après la question 2]}}} \end{aligned}$

• Nous avons tous les éléments pour compléter la loi de probabilité de $X$ :

• Question b.

L’espérance de $X$ vaut :

$\begin{aligned} E(X)&=0\times 0,684+300\times 0,076+1\,000\times 0,18+1\,300\times 0,06 \ &=280,8 \end{aligned}$

• Nous interprétons ce résultat ainsi : un client de ce magasin dépense en moyenne $280,8\ \text{euros}$.

Exercice 4 (5 points)

Question 1

Nous avons, avec les coordonnées de $A\,(\green 2\ ;\, \purple 1)$ :

$\green 2+3\times \purple 1-5=0$

Les coordonnées de $A$ vérifient l’équation de $D$.

• $A$ appartient donc à $D$.

Pour tracer la droite, nous avons besoin des coordonnées d’un autre point appartenant à $D$. Prenons par exemple le point d’ordonnée $0$ (car cela nous donnera très vite l’abscisse correspondante) appartenant à la droite, point que nous notons $A^{\prime}\,(x_{A^{\prime}}\ ;\,0)$ :

$x${A^{\prime}}+3\times 0-5=0 \Leftrightarrow x{A^{\prime}}=5

• Nous pouvons maintenant tracer la droite $D$, en reliant $A\,(2\ ;\, 1)$ et $A^{\prime}\,(5\ ;\, 0)$ :

Question 2

Rappel

Soit $(d)$ une droite d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ ($a$, $b$, $c$ réels).

• Un vecteur directeur de $(d)$ est :

$\vec u\begin{pmatrix} -b \ a \end{pmatrix}$

• Un vecteur normal de $(d)$ est :

$\vec n\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}$

La droite $D^{\prime}$ est perpendiculaire à $D$. Un vecteur directeur de $D^{\prime}$ sera donc un vecteur normal à $D$, dont nous avons une équation cartésienne : $x + 3y - 5 = 0$. Nous en déduisons donc les coordonnées d’un vecteur normal à $D$ :

$\vec n \begin{pmatrix} -3 \ 1 \end{pmatrix}$

$\vec n$ étant un vecteur directeur de $D^{\prime}$, une équation cartésienne de $D^{\prime}$ est :

$3x-y+c=0$

Déterminons $c$ avec les coordonnées de $B\,(4\ ;\, 2)$, qui appartient à $D^{\prime}$ :

$3\times 4-2+c=0\Leftrightarrow c=-10$

• Une équation cartésienne de $d$ est donc bien :

$\boxed{3x-y-10=0}$

Question 3

Puisque $D$ et $D^{\prime}$ sont perpendiculaires et que $B$ appartient à $D^{\prime}$, le projeté orthogonal $H$ de $B$ sur $D$ est le point d’intersection de $D$ et $D^{\prime}$. Les coordonnées de $H$ vérifient donc les équations cartésiennes de $D$ et $D^{\prime}$.
Nous allons donc résoudre le système suivant :

$\begin{aligned} \begin{cases} x+3y-5=0 \ 3x-y-10=0 \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} x+3(3x-10)-5=0 \ y=3x-10 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} 10x-35=0 \ y=3x-10 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac 72 \ y=3\times \frac 72-10 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac 72 \ y= \frac {21}2-\frac {20}2 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac 72 \ y= \frac 12\end{cases} \end{aligned}$

• $H$ a donc pour coordonnées :

$\boxed{\left(\dfrac 72\ ;\, \dfrac 12\right)}$

Astuce

Nous pouvons vérifier sur notre représentation graphique que ce résultat est cohérent, en plaçant le point $B$, en traçant $D^{\prime}$ et en regardant les coordonnées du point d’intersection de $D$ et $D^{\prime}$ :

Question 4

• Question a.

Rappel

Dans un repère orthonormé, une équation d’un cercle de centre $\Omega\,(x$\Omega\ ;\, y\Omega) et de rayon $R$ est :

$(x-x$\Omega)^2+(y-y\Omega)=R^2

Calculons les coordonnées de $\Omega$, centre de $\mathcal C$.

Rappel

Les coordonnées du milieu d’un segment $[AB]$, avec $A\,(x$A\ ;\, yB) et $B\,(x$B\ ;\, yB), se calculent ainsi :

$\left(\dfrac{x$A+xB}2\ ;\, \dfrac {yA+yB}2 \right)

$\mathcal C$ a pour diamètre $[AB]$. Son centre $\Omega\,(x$\Omega\ ;\, y\Omega) est donc le milieu de $[AB]$.
Nous pouvons donc calculer les coordonnées de $\Omega$ :

$\begin{aligned} x$\Omega&=\dfrac {2 + 4}2=3 \ y\Omega&=\dfrac {1+2}2=\dfrac 32 \end{aligned}

• $\Omega$ a pour coordonnées :

$\boxed{\left(3\ ;\, \dfrac 32\right)}$

Calculons le rayon $R$ de $\mathcal C$.

Rappel

Dans un repère orthonormé, la longueur d’un segment $[AB]$ se calcule ainsi :

$AB=\sqrt{(x$B-xA)^2+(yB-yA)^2}

Nous avons :

$\begin{aligned} R&=\dfrac {AB}2 \ &=\dfrac {\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2}}2 \ &=\boxed{\dfrac {\sqrt 5}2} \end{aligned}$

• Une équation du cercle $\mathcal C$, de centre $\Omega\left(3\ ;\, \frac 32\right)$ et de rayon $\frac {\sqrt 5}2$, est donc :

$\begin{aligned} &(x-3)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\left(\dfrac {\sqrt{5}}2\right)^2 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} &\boxed{(x-3)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 54} \end{aligned}$

• Question b.

Pour savoir si le point $H$ appartient à $\mathcal C$, il suffit de regarder si ses coordonnées $\left(\frac 72\ ;\, \frac 12\right)$ vérifient l’équation que nous avons déterminée à la question précédente :

$\begin{aligned} \left(\dfrac 72-3\right)^2+\left(\dfrac 12-\dfrac 32\right)^2&=\left(\dfrac 12\right)^2+(-1)^2 \ &=\dfrac 14+1 \ &=\dfrac 54 \end{aligned}$

• $H$ appartient à $\mathcal C$.

Astuce

Dans cette dernière résolution, nous nous sommes logiquement servis de l’équation de $\mathcal C$ trouvée.
Nous pouvons toutefois tout simplement remarquer que, comme $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $D$, à laquelle $A$ appartient, le triangle $AHB$ est rectangle en $H$.

• Ce triangle est donc inscrit dans le cercle de diamètre $[AB]$, c’est-à-dire $\mathcal C$, et $H$ appartient ainsi à $\mathcal C$.

Pour terminer, nous donnons, à titre d’information, la construction complète de la figure :