Sujet brevet corrigé - Mathématiques 2019

Astuce

De manière générale, il faut gérer son temps proportionnellement au barème.

• Le 1^er exercice vaut $10$ points sur $100$, il doit représenter environ $10/100$ du temps, soit $10/100 \times 2\ \text{h} = 12\ \text{min}$.

Il faut également penser à rédiger une phrase reprenant la question pour présenter le résultat.

Exercice 1

Astuce

Utiliser les critères de divisibilité et tester les nombres premiers par ordre croissant.

1. $69$ est divisible par $3$ car $6+9=15$ et $15$ est multiple de $3$.
$69÷3=23$, qui est un nombre premier.

• Donc $69 = 3 \times 23$

$1150÷2=575$
$575÷5=115$
$115÷5=23$

• Donc $1150 = 2 \times 5\times 5 \times 23$

$4140÷2=2070$
$2070÷2=1035$
$1035÷3=345$
$345÷3=115$
$115÷5=23$

• Donc $4140=2\times2\times3\times3\times5\times 23$

Astuce

On peut également rédiger la réponse en posant la décomposition.

$\left. \begin{aligned} 69& \\ 23& \\ 1& \end{aligned} \right| \begin{aligned} 3& \\ 23& \\ & \end{aligned} $

$\left. \begin{aligned} 1150& \\ 575& \\ 115& \\ 23&\\ 1& \end{aligned} \right| \begin{aligned} 2& \\ 5& \\ 5&\\ 23& \\ & \end{aligned}$

$\left. \begin{aligned} 4140& \\ 2070& \\ 1035& \\ 345&\\ 115&\\ 23&\\ 1& \end{aligned} \right| \begin{aligned} 2& \\ 2& \\ 3&\\ 3&\\ 5&\\ 23&\\ & \end{aligned} $

Donc :

• $69 = 3 \times 23$
• $1150 = 2 \times 5\times 5 \times 23$
• $4140=2\times2\times3\times3\times5\times 23$

2. On sait que le partage est équitable, cela signifie que chaque marin reçoit les mêmes quantités.
De plus, tout a été distribué, il n’y a pas de reste, les trois quantités sont donc divisibles par le nombre de marins recherché.
En comparant les décompositions des trois nombres, le seul diviseur commun est $23$.

• Il y a donc $23$ marins.

Exercice 2

1. Comme $[AM]$ appartient au triangle $ADM$ rectangle en $A$, on utilise la trigonométrie pour trouver sa longueur.

Astuce

On se récite « CAH SOH TOA » pour retrouver les formules trigonométriques dans un triangle rectangle. Comme on ne connaît pas l’hypoténuse du triangle, on utilise ici la formule « TOA » qui signifie $\tan=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

Par rapport à l’angle $\widehat{\text{ADM}} = 60\degree$, on cherche son côté opposé $AM$ et on connaît son côté adjacent $AD = 2\ \text{m}$

$\begin{aligned} \tan\widehat{\text{ADM}} &=\dfrac{AM}{AD} \\ \Leftrightarrow AM&=AD\times \tan \widehat{\text{ADM}} \\ \Leftrightarrow AM&=2\times \tan 60\degree \\ \Leftrightarrow AM&≈3,46\ \text{m} \end{aligned}$

• Le segment $[AM]$ mesure $3,46\ \text{m}$ (arrondi au centième).

2. Dans le rectangle $ABCD$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ appartient à $DC$. On cherche ainsi la proportion que représente $MBCN$ dans $ABCD$.

Or, $AMND$ et $MNCB$ sont deux rectangles de même largeur car $ABCD$ est un rectangle et $MN\perp AB$.

On calcule : $MB=AB-AM\approx 4-3,46\approx0,54$ ;
puis la proportion $\dfrac{MB}{AB}\approx\dfrac{0,54}{4}\approx 0,135\approx 0,14$

• Environ $14\ \%$ de la plaque n’est pas utilisée.

3. Des triangles sont semblables s'ils ont deux angles homologues.

Dans le triangle $ADM$ on a :

• $\widehat{MAD} = 90\degree$ ;
• $\widehat{ADM}= 60\degree$ ;
• donc $\widehat{AMD} = 180\degree - 90\degree - 60\degree = 30\degree$.

Astuce

On peut calculer la valeur de l’angle $\widehat{AMD}$ car on sait que la somme des angles d'un triangle vaut $180\degree$.

Dans le triangle $DPN$ on a :

• $\widehat{DPN} = 90\degree$ ;
• $\widehat{PDN}= \widehat{ADN} - \widehat{ADM} = 90\degree - 60\degree= 30\degree$ ;
• et $\widehat{DNP} = 180\degree - 90\degree - 30\degree = 60\degree$.

Dans le triangle MPN on a :

• $\widehat{MPN} = 90\degree$ ;
• $\widehat{PNM}= \widehat{DNM} - \widehat{DNP} =90\degree - 60\degree= 30\degree$ ;
• et $\widehat{DNP} = 180\degree - 90\degree - 30\degree = 60\degree$.
• Les trois triangles $AMD$, $PDN$ et $PMN$ ont des angles homologues ($90\degree$, $60\degree$ et $30\degree$). Ils sont bien semblables.

Astuce

Il suffit de trouver deux angles homologues pour chaque triangle pour prouver qu’ils sont semblables.

On peut également justifier par les côtés homologues.

Dans le triangle $AMD$, les côtés de l’angle droit sont $AM = 3,46$ et $AD = 2$.

Dans le triangle $PND$, les côtés de l’angle droit sont $PN = 3,46\times \sin 30\degree = 1,73$ et $PD = 3,46\times \cos 30\degree = 3$.

Dans le triangle $PMN$, les côtés de l’angle droit sont $PM = 2\times \cos 60\degree = 1$ et $PN = 2 \times \sin 60\degree = 1,73$.

On a bien $\dfrac{3,46}{2}=\dfrac{3}{1,73}=\dfrac{1,73}{1}$.

• Les trois triangles $AMD$, $PDN$ et $PMN$ ont des côtés homologues. Ils sont bien semblables.

4. Les triangles $PDN$ et $AMD$ sont semblables. Leurs côtés sont proportionnels.
On a donc $\dfrac{DM}{DN}=\dfrac{AM}{PD}=\dfrac{AD}{PN}$

Astuce

Attention à bien faire « grand » / « petit » et non l’inverse.

Calculons par exemple $DM$. Dans le triangle $ADM$, on a $\cos\widehat{ADM}=\dfrac{AD}{DM}\Leftrightarrow DM=\dfrac{AD}{\cos\widehat{ADM}}=\dfrac{2}{\cos60\degree}=4$

Calculons la proportion $\dfrac{DM}{DN}=\dfrac{4}{3,46}\approx 1,16$

• Le coefficient d’agrandissement est bien plus petit que $1,5$.

Exercice 3

1. a.

$\begin{aligned} V_{sable}&=\dfrac{2}{3}\times V_{cylindre}\\ &=\dfrac{2}{3}\times B_{cylindre} \times h_{cylindre} \\ &=\dfrac{2}{3}\times \pi\times \left(\dfrac{1,5}{2}\right)^2\times 4,2\\ &≈4,95\ \text{cm}^3 \end{aligned}$

• Le volume de sable est d’environ $4,95\ \text{cm}^3$.

b.

Astuce

On utilise un tableau de proportionnalité pour calculer le temps découlement total.

$$2,5\ \text{min}= 2\ \text{min} + 0,5\ \text{min} = 2\ \text{min} + 30\ \text{s}$$

• Le sable mettra $2$ minutes et $30$ secondes à sécouler dans le cylindre inférieur.

2. En réalité, le débit d'écoulement d'un même sablier n'est pas constant.
Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d'écoulement de ce sablier.

Voici les différents temps récapitulés dans le tableau suivant :

a. $\text{Nombre\ total\ de\ tests} = 1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3 = 40$

• $40$ tests ont été effectués en tout.

b. $étendue =2\ \text{min}\ 38\ \text{s} - 2\ \text{min}\ 22\ \text{s} = 16\ \text{s}$

• L’étendue des temps est inférieure à $20\ \text{s}$, la condition est validée.

L’effectif est pair, la médiane est la moyenne entre la 20^e valeur et la 21^e valeur (classées par ordre croissant), soit la moyenne entre $2\ \text{min}\ 29\ \text{s}$ et $2\ \text{min}\ 30\ \text{s}$.

• La médiane des temps est bien comprise entre $2\ \text{min}\ 29\ \text{s}$ et $2\ \text{min}\ 31\ \text{s}$, la condition est validée.

Pour calculer la moyenne, il faut convertir les temps en minutes et secondes, minutes uniquement, ou secondes uniquement.
On choisit de simplifier le calcul en retirant les $2\ \text{min}$ communes à chaque valeur.

$$\dfrac{\begin{aligned}1\times22+1\times24+2\times26+6\times27+3\times28+7\times29+6\times30 \\ +3\times31+1\times32+2\times33+3\times34+2\times35+3\times38\end{aligned}}{40}=\dfrac{1204}{40}=30,1$$

• Le temps moyen est donc de $2\ \text{min}\ 30,1\ \text{s}$, compris entre $2\ \text{min}\ 28\ \text{s}$ et $2\ \text{min}\ 32\ \text{s}$, la condition est validée.
• Les 3 conditions sont validées, le sablier testé n’est pas éliminé.

Astuce

Pour éviter des erreurs de calcul on peut utiliser le mode statistique de la calculatrice.
En cas de calcul direct, évitez l’erreur courante d’oublier les parenthèses autour de la somme des temps. Sinon, seul le dernier terme du numérateur est divisé par $40$.

Exercice 4

1. Soient $D$ le point de départ du tracé, et $F$ le point de fin du tracé, le carré tracé a des côtés de longueur $\dfrac{10\ \text{pixels} \times 1\ \text{cm}}{2\ \text{pixels}}=5\ \text{cm}$

2. Le script 1 correspond au dessin B : il reproduit $23$ fois le même motif, un carré suivi d’un tiret.
Le script 2 correspond au dessin A : il trace de façon aléatoire des carrés ou des tirets.

3. a. Le nombre aléatoire est choisi entre 2 valeurs : le $1$ qui trace un carré , ou le $2$ qui trace un tiret.
Chaque tracé a $1$ chance sur $2$ d’apparaître. Soit $p$, la probabilité que le premier élément tracé soit un carré : $$p = \dfrac{1}{2} = 0,5$$

• La probabilité que le premier élément tracé soit un carré est de $0,5$.

b. On renouvelle le tirage aléatoire pour un deuxième tracé, les différentes issues possibles sont présentées dans le tableau ci-dessous :

$$p( \text{(carré ; carré)} ) = \dfrac{1}{4} = 0,25$$

• La probabilité que les deux premiers éléments soient des carrés est de $0,25$.

4. On introduit une instruction du type « si … alors … sinon … ».
On reprend un test ayant $50\ \%$ de chance pour chacune des deux issues (voir 3.a.).

• On insère l’instruction en 7^e position, avant les instructions de tracé.

Exercice 5

1. a. Le rectangle $3$ est l'image du rectangle $4$ par la translation qui transforme $C$ en $E$.
b. Le rectangle $3$ est l'image du rectangle $1$ par la rotation de centre $F$ et d'angle $90\degree$ dans le sens des aiguilles d'une montre.
c. Le rectangle $ABCD$ est l'image du rectangle $4$ par l'homothétie de centre $C$ et de rapport $3$.

Astuce

On peut se placer aussi du point de vue du centre $B$ dans le rectangle $3$, ou du centre $D$ dans le rectangle $2$.

2. Il y a un rapport $3$ entre les dimensions du rectangle $ABCD$, et les petits rectangles, $1$, $2$, $3$ ou $4$, et donc un rapport $3^2$ entre les aires de $ABCD$ et les aires des petits rectangles.

• L’aire d’un petit rectangle est de $\dfrac{1,215}{3^2} =0,135\ \text{m}^2$.

3. On sait que, pour tous les rectangles, $\dfrac{L}{l}=\dfrac{3}{2}$ (on en déduit que $L=\dfrac{3}{2}\times l$) et que $A_{ABCD}=L\times l=1,215\ \text{m}^2$.

$$\begin{aligned} \dfrac{3}{2}\times l \times l&=1,215 \\ l^2&=\dfrac{2}{3}\times 1,215 \\ l^2&=0,81 \\ l&=\sqrt{0,81}\\ l&=0,9 \end{aligned}$$

On peut donc calculer $L=\dfrac{3}{2}\times 0,9=1,35$

• Dans le rectangle $ABCD$ la longueur vaut $1,35\ \text{m}$ et la largeur $0,9\ \text{m}$.

Astuce

On peut vérifier son résultat en faisant $0,9 \times 1,35 = 1,215$.

Exercice 6

1. Si on choisit 5 comme nombre de départ :

• le résultat du programme 1 vaut $5\times3+1=16$ ;
• le résultat du programme 2 vaut $(5-1)\times (5+2)= 4\times 7 =28$.

2. a. $A(x)=x\times 3+1=3x+1$
b. On cherche $x$ tel que $A(x) = 0$ $$\begin{aligned} A(x)&=3x+1 \\ 0&=3x+1 \\ 3x&=-1 \\ x&=-\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$

• Pour obtenir $0$ comme résultat du programme 1, il faut choisir $-\dfrac{1}{3}$ au départ.

3. $$\begin{aligned} B(x) &= (x - 1)(x + 2) \\ &=x\times x+x\times2-1\times x-1×2\\ &=x^2+2x-x-2\\ &=x^2+x-2 \end{aligned}$$

4. a.

$\begin{aligned}B(x)-A(x)&=(x-1)(x+2)-(3x+1)\\ &=x^2+x-2-3x-1\\ &=x^2-2x-3\end{aligned}$

$\begin{aligned}(x+1)(x-3)&=x^2-3x+x-3 \\ &=x^2-2x-3\end{aligned}$

• On a bien $B(x)-A(x)=(x+1)(x-3)$

b. Les deux programmes donnent le même résultat équivaut à l'égalité $A(x) = B(x)$ ou $B(x)-A(x) = 0$.

$$\begin{aligned}B(x)-A(x) &=0\\ (x+1)(x-3)&=0\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} x+1=0\ \ &\text{ou} &x-3=0 \\ x=-1\ \ &\text{ou} & x=3\end{aligned}$$

Astuce

On peut vérifier le résultat :

• $A(-1)=3×-1+1=-2$
  $B(-1)=(-1-1)(-1+2)=-2$
• $A(3)=3×3+1=10$
  $B(3)=(3-1)(3+2)=10$

• Pour que le programme 1 et le programme 2 donnent le même résultat, on peut choisir $-1$ ou $3$ au départ.