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Les modèles démographiques

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Dans le cadre de l’étude de l’évolution des populations, il est important de prédire leur effectif futur mais aussi la manière dont vont évoluer les ressources qui leur sont nécessaires. Pour prédire l’évolution d’un système quelconque, les scientifiques utilisent des modèles mathématiques. La présentation de l’exemple historique de Malthus permet de mettre en œuvre cette démarche mathématique dans le cas discret (correspondant à une variation par paliers).

Savoirs
Un modèle mathématique simple est le modèle linéaire. Une grandeur discrète u varie de manière linéaire en fonction d’un palier entier n si sa variation absolue u(n+1)-u(n) est constante. Dans ce cas, les points (n, u(n)) sont situés sur une droite affine. Dans la réalité, pour une population dont la variation absolue est presque constante d’un palier à l’autre, on peut ajuster le nuage de points qui la représente par une droite (modèle linéaire).

Le modèle linéaire est inadapté pour représenter l’évolution d’une grandeur dont la variation absolue change fortement d’un palier à l’autre. Une grandeur discrète u varie de manière exponentielle en fonction du palier entier n si sa variation absolue est proportionnelle à sa valeur courante. Dans ce cas, sa variation relative (ou taux de variation) est constante. Dans la réalité, pour une population dont le taux de variation est presque constant d’un palier à l’autre, on peut ajuster le nuage de points par un modèle exponentiel. Le modèle démographique de Malthus est un modèle exponentiel d’évolution de l’effectif de la population. Il prévoit que l’effectif de la population décroît vers 0 si le taux de mortalité est supérieur au taux de natalité et croît vers l’infini si le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité. Si les prédictions du modèle de Malthus peuvent se révéler correctes sur un temps court, elles sont irréalistes sur un temps long, notamment en raison de l’insuffisance des ressources disponibles. Des modèles plus élaborés prévoient que la population mondiale atteindra environ 10 milliards d’humains en 2050.

Savoir-faire
Exprimer u(n) en fonction de u(0) et n. Produire et interpréter des graphiques statistiques traduisant l’évolution d’effectif d’une population ou de ressources, notamment sous forme de nuages de points. À l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, ajuster un nuage de points par une droite et utiliser ce modèle linéaire pour effectuer des prévisions.

Exprimer u(n) en fonction de u(0) et de n. À partir de données démographiques, calculer le taux de variation d’une population entre deux dates. Calculer l’effectif final d’une population à partir de son effectif initial, de son taux de natalité et de son taux de mortalité. Selon le modèle de Malthus, prédire l’effectif d’une population au bout de n années. À l’aide d’un tableur, d’une calculatrice ou d’une représentation graphique, calculer le temps de doublement d’une population sous l’hypothèse de croissance exponentielle. À partir de documents fournis, proposer un modèle de croissance de ressources alimentaires (par exemple la production mondiale de blé ou de riz) et la comparer à une croissance exponentielle. Comparer les valeurs fournies par un modèle à des données réelles afin de tester sa validité.