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Marianne

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Intervalle de fluctuation asymptotique
Définition

Définition

Soit XnX_n une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p)B(n,p), α\alpha un réel tel que 0<α<10<\alpha < 1 et YY une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0,1)N(0,1).

On appelle uαu{\alpha} l’unique réel tel que : P(uαYuα)=1αP(-u{\alpha} \leq Y \leq u_{\alpha}) = 1 - \alpha

On appelle InIn l’intervalle : In=[puαp(1p)n;p+αp(1p)n]In = \left[p-u{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]

Alors :

limn+p(XnnIn)=1α\lim\limits{n \rightarrow +\infty} p \left( \dfrac{Xn}{n} \in I_n \right) = 1 - \alpha

L’intervalle In=[puαp(1p)n;p+uαp(1p)n]In = \left[p-u{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] contient la fréquence Fn=XnnFn = \dfrac{X_n}{n} avec une probabilité qui se rapproche de 1α1 - \alpha lorsque nn augmente.

On dit que c’est un intervalle de fluctuation asymptotique de FnF_n au seuil de 1α1 - \alpha.

Cette approximation est valable lorsque n30n \geq 30, np5np \geq 5 et n(1p)5n(1-p) \geq 5.