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Marianne

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Démonstration de l'indépendance de deux évènements
Démonstration

Introduction

Si AA et BB sont deux événements indépendants, alors Aˉ\bar{A} et BB le sont aussi.

Démonstration

La définition de l’indépendance de Aˉ\bar{A} et BB :
P(AB)=P(A)×P(B)P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

D’après la formule des probabilités totales :
P(B)=P(BA)+P(BAˉ)P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ \bar{A}),

et donc
P(AˉB)=P(B)P(BA)P(\bar{A}∩B) = P(B) - P(B ∩ A)
P(AˉB)=P(B)P(B)×P(A)P(\bar{A}∩B) = P(B) - P(B) × P(A)
P(AˉB)=(1P(A))×P(B)P(\bar{A}∩B) = (1 - P(A)) × P(B)
P(AˉB)=P(Aˉ)×P(B).P(\bar{A}∩B) = P(\bar{A} ) × P(B).
et donc les événements Aˉ\bar{A} et BB sont indépendants.

Cas d’utilisation : Dans certains exercices d’indépendance.

  • Exemple

Deux entreprises fabriquent un composant, E1E1 en fournit 8080 chaque mois et E2E2 en fournit 2020 par mois. Parfois le composant fourni est défectueux.
On choisit un composant au hasard dans le stock fourni ce mois-ci. On note :

  • E1E1 la probabilité que le composant provient de l’entreprise E1E1. On a donc P(E1)=80%P(E1)= 80\%
  • E2E2 la probabilité que le composant provient de l’entreprise E2E2. On a donc P(E2)=20%P(E2) = 20\%.
  • DD la probabilité que le composant soit défectueux.

On suppose que PE1(Dˉ)=p(Dˉ))P{E1}(\bar{D}) = p(\bar{D})). Calculer PD(E1PD(E1).

Réponse :
De PE1(Dˉ)=p(Dˉ))P_{E1}(\bar{D}) = p(\bar{D})) on déduit que E1E1 et sont indépendants :

  • vision intuitive : la probabilité que soit réalisé ne dépend pas du fait que E1E1 soit réalisé ou non.
  • rédaction rigoureuse avec la formule des probabilités conditionnelles :
    PE1(Dˉ)=p(Dˉ))p(E1Dˉ)p(E1)=P(Dˉ)P_{E1}(\bar{D}) = p(\bar{D})) \Leftrightarrow \frac {p(E1 ∩ \bar{D})} {p(E1)} = P(\bar{D})
    P(E1Dˉ)=P(Dˉ)×P(E1)\Leftrightarrow P(E1 ∩ \bar{D})= P(\bar{D}) \times P(E1)

D’après ce qui précède on peut alors affirmer que E1E1 et DD sont indépendants. Par conséquent, PD(E1)=P(E1)=80%P_D(E1) = P(E1) = 80\%.