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Démonstration de l’orthogonalité d’une droite à un plan
Démonstration

Introduction

Soient Δ\Delta une droite et PP un plan de l’espace.
Il y a équivalence entre les deux propositions suivantes :

  • Δ\Delta orthogonale à deux droites sécantes de PP ; (1)
  • Δ\Delta orthogonale à toute droite de PP. (2)

Dans ce cas on dit que Δ\Delta est orthogonale à PP et l’on écrit ΔP\Delta \perp P.

Démonstration

Il suffit bien sûr de montrer 121\Leftrightarrow 2.
Soit u\vec {u} un vecteur directeur de Δ\Delta.
Supposons donc que Δ\Delta soit orthogonale à deux droites D1D1 et D2D2 de PP, de vecteurs directeurs respectifs u1\vec {u1} et u2\vec {u2}. Alors le plan PP est dirigé par le couple de vecteurs (u1,u2)(\vec {u1}, \vec {u2})

Soit D3D3, de vecteur directeur u3\vec {u3}, une autre droite de PP.
Puisque u1\vec {u
1} et u2\vec {u2} sont deux vecteurs non colinéaires du plan PP et que u3\vec {u3}, est un vecteur du plan PP, on sait qu’il existe deux réels α\alpha et β\beta tels que
u3=αu1+βu2\vec {u3}= \alpha \vec{u1} + \beta \vec{u_2}

Puisque la droite Δ\Delta est orthogonale aux droites D1D1 et D2D2 , on a u.u1=0\vec {u}.\vec {u1}=0 et u.u2=0\vec {u}.\vec {u2}=0.

Maintenant, prouvons que ΔP\Delta \perp P :
u1.u3=u.(αu1+βu2)=αuu1+βuu2=0+0=0\vec {u1}.\vec {u3}= \vec {u}.(\alpha \vec{u1} + \beta \vec{u2})=\alpha \vec{u} \vec{u1} + \beta \vec{u}\vec{u2}=0+0=0

On a montré que uu3\vec{u} \perp \vec{u3}, et cela implique que ΔD3\Delta \perp D3.

Cas d’utilisation : Pour démontrer des orthogonalités dans l’espace.

  • Exemple

Soient ABCABC et ABKABK deux triangles rectangles en AA. Soit PP un plan contenant A,B,CA, B, C mais pas KK.
Montrer que (AB)(KC)(AB)\perp(KC).

Réponse :
(AB)(AC)(AB) \perp (AC) et (AB)(AK(AB)\perp(AK) à cause des triangles rectangles. Ainsi, (AB)(AB) est orthogonale à deux droits sécantes du plan (AKC)(AKC) donc elle est orthogonale à toute droite du plan (AKC)(AKC), en particulier à (KC)(KC).