Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Démonstration de l’orthogonalité d’une droite à un plan
Découvrez, sur SchoolMouv, des milliers de contenus pédagogiques, du CP à la Terminale, rédigés par des enseignants de l’Éducation nationale.
Les élèves de troisième, de première ou de terminale bénéficient, en plus, de contenus spécifiques pour réviser efficacement leur brevet des collèges, leur bac de français ou leur baccalauréat édition 2023.
Démonstration

Introduction

Soient Δ\Delta une droite et PP un plan de l’espace.
Il y a équivalence entre les deux propositions suivantes :

  • Δ\Delta orthogonale à deux droites sécantes de PP ; (1)
  • Δ\Delta orthogonale à toute droite de PP. (2)

Dans ce cas on dit que Δ\Delta est orthogonale à PP et l’on écrit ΔP\Delta \perp P.

Démonstration

Il suffit bien sûr de montrer 121\Leftrightarrow 2.
Soit u\vec {u} un vecteur directeur de Δ\Delta.
Supposons donc que Δ\Delta soit orthogonale à deux droites D1D1 et D2D2 de PP, de vecteurs directeurs respectifs u1\vec {u1} et u2\vec {u2}. Alors le plan PP est dirigé par le couple de vecteurs (u1,u2)(\vec {u1}, \vec {u2})

Soit D3D3, de vecteur directeur u3\vec {u3}, une autre droite de PP.
Puisque u1\vec {u
1} et u2\vec {u2} sont deux vecteurs non colinéaires du plan PP et que u3\vec {u3}, est un vecteur du plan PP, on sait qu’il existe deux réels α\alpha et β\beta tels que
u3=αu1+βu2\vec {u3}= \alpha \vec{u1} + \beta \vec{u_2}

Puisque la droite Δ\Delta est orthogonale aux droites D1D1 et D2D2 , on a u.u1=0\vec {u}.\vec {u1}=0 et u.u2=0\vec {u}.\vec {u2}=0.

Maintenant, prouvons que ΔP\Delta \perp P :
u1.u3=u.(αu1+βu2)=αuu1+βuu2=0+0=0\vec {u1}.\vec {u3}= \vec {u}.(\alpha \vec{u1} + \beta \vec{u2})=\alpha \vec{u} \vec{u1} + \beta \vec{u}\vec{u2}=0+0=0

On a montré que uu3\vec{u} \perp \vec{u3}, et cela implique que ΔD3\Delta \perp D3.

Cas d’utilisation : Pour démontrer des orthogonalités dans l’espace.

  • Exemple

Soient ABCABC et ABKABK deux triangles rectangles en AA. Soit PP un plan contenant A,B,CA, B, C mais pas KK.
Montrer que (AB)(KC)(AB)\perp(KC).

Réponse :
(AB)(AC)(AB) \perp (AC) et (AB)(AK(AB)\perp(AK) à cause des triangles rectangles. Ainsi, (AB)(AB) est orthogonale à deux droits sécantes du plan (AKC)(AKC) donc elle est orthogonale à toute droite du plan (AKC)(AKC), en particulier à (KC)(KC).