Introduction
Soient une droite et un plan de l’espace.
Il y a équivalence entre les deux propositions suivantes :
- orthogonale à deux droites sécantes de ; (1)
- orthogonale à toute droite de . (2)
Dans ce cas on dit que est orthogonale à et l’on écrit .
Démonstration
Il suffit bien sûr de montrer .
Soit un vecteur directeur de .
Supposons donc que soit orthogonale à deux droites et de , de vecteurs directeurs respectifs et . Alors le plan est dirigé par le couple de vecteurs
Soit , de vecteur directeur , une autre droite de .
Puisque et sont deux vecteurs non colinéaires du plan et que , est un vecteur du plan , on sait qu’il existe deux réels et tels que
Puisque la droite est orthogonale aux droites et , on a et .
Maintenant, prouvons que :
On a montré que , et cela implique que .
Cas d’utilisation : Pour démontrer des orthogonalités dans l’espace.
- Exemple
Soient et deux triangles rectangles en . Soit un plan contenant mais pas .
Montrer que .
Réponse :
et ) à cause des triangles rectangles. Ainsi, est orthogonale à deux droits sécantes du plan donc elle est orthogonale à toute droite du plan , en particulier à .