Introduction
Nous nous sommes intéressés aux propriétés de la fonction logarithme népérien, en montrant par exemple la relation , pour tout et , réels strictement positifs. Dans cette démonstration, nous allons nous intéresser à la dérivée de la fonction logarithme.
Théorème :
La fonction logarithme népérien est dérivable sur et :
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :
- La fonction exponentielle est continue et dérivable sur et
- La fonction logarithme népérien est continue sur
Démonstration
On sait que la fonction est continue sur .
On commence par chercher le domaine de définition de la dérivée de la fonction logarithme.
On revient à la définition de la dérivée, c'est à dire on cherche tout réel pour lesquels la limite suivante est finie :
Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable.
On pose et . On a alors et , car la fonction exponentielle est la fonction inverse de la fonction .
Aussi, si tend vers alors tend vers , car la fonction est continue sur .
La limite devient alors :
Or la fonction exponentielle est dérivable sur et sa dérivée en est elle-même, on peut en déduire que :
On revient à la définition de la dérivée, cette fois pour la fonction logarithme :
Cette limite est donc strictement positive pour .
On en déduit que la limite existe pour tout et :
La fonction est dérivable sur et .