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Marianne

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Démonstration de la dérivabilité de la fonction logarithme népérien
Démonstration

Introduction

Nous nous sommes intéressés aux propriétés de la fonction logarithme népérien, en montrant par exemple la relation ln(ab)=ln(a)+ln(b)ln(ab) = ln(a) + ln(b), pour tout aa et bb, réels strictement positifs. Dans cette démonstration, nous allons nous intéresser à la dérivée de la fonction logarithme.

Théorème :
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+[]0 ;+\infty[ et : (ln x)=1x(ln\ x)'=\dfrac1x

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :

  • La fonction exponentielle est continue et dérivable sur R\mathbb{R} et (exp x)=exp x(\text{exp}\ x)'= \text{exp}\ x
  • La fonction logarithme népérien est continue sur ]0;+[]0 ;+\infty[

Démonstration

On sait que la fonction lnln est continue sur ]0;+[]0 ;+\infty[.

On commence par chercher le domaine de définition de la dérivée de la fonction logarithme.
On revient à la définition de la dérivée, c'est à dire on cherche tout réel a]0;+[a \in ]0 ;+\infty[ pour lesquels la limite suivante est finie :

limln xln (a)xaxa\large \lim\limits_{\stackrel{x \to a}{\frac{\text{ln}\ x-\text{ln}\ (a)}{x-a}}}

Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable.

On pose X=ln xX=\text{ln}\ x et A=ln aA=\text{ln}\ a. On a alors x=eXx=e^X et a=eAa=e^A, car la fonction exponentielle est la fonction inverse de la fonction lnln.

Aussi, si xx tend vers aa alors ln x\text{ln}\ x tend vers ln a\text{ln}\ a, car la fonction lnln est continue sur ]0;+[]0 ;+\infty[.

La limite devient alors :
limln eXln eaexeaXln a=limXAeXeAXln a\large \lim\limits{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{\text{ln}\ e^X- \text{ln}\ e^a}{e^x-e^a}}}=\lim\limits{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{X-A}{e^{X}-e^{A}}}}

Or la fonction exponentielle est dérivable sur R\mathbb{R} et sa dérivée en lnaln a est elle-même, on peut en déduire que :

limeXeAXAXln a=(eA)=eA\large \lim\limits_{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{e^X-e^A}{X-A}}}=(e^A)'=e^A

On revient à la définition de la dérivée, cette fois pour la fonction logarithme :

limXAeXeAXln a=1eA=1a\large \lim\limits_{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{X-A}{e^X-e^A}}}=\dfrac{1}{e^A}=\dfrac 1a

Cette limite est donc strictement positive pour a]0;+[a \in ]0 ;+\infty[.

On en déduit que la limite existe pour tout a]0;+[a \in ]0 ;+\infty[ et :

limXAeXeAXln a=1a\large \lim\limits_{\stackrel{X \to \text{ln}\ a}{\frac{X-A}{e^X-e^A}}}=\dfrac 1a

La fonction ln\text{ln} est dérivable sur ]0;+[]0 ;+\infty[ et (ln x)=1x(ln\ x)'=\dfrac1x.