Introduction
Nous avons démontré dans une autre fiche que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels. Nous allons à présent nous intéresser à sa positivité.
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :
La fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels :
pour tout appartenant à .Si la fonction est continue et strictement monotone (croissante ou bien décroissante) sur et si un réel est compris entre et , alors l'équation possède une unique solution dans l'intervalle
Démonstration
On sait que la fonction exponentielle est non nulle et continue sur .
On sait que , ce qui signifie qu’il existe au moins une valeur de pour laquelle est positive.
S’il existait un réel tel que , d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existerait un réel tel que . Or pour tout appartenant à .
La fonction exponentielle ne s’annule donc jamais.
La fonction exponentielle est donc strictement positive sur .
La fonction exponentielle est donc strictement positive sur l’ensemble de son domaine de définition, qui est .