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Marianne

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Démonstration de la positivité de la fonction exponentielle
Démonstration

Introduction

Nous avons démontré dans une autre fiche que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels. Nous allons à présent nous intéresser à sa positivité.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :

  • La fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels :
    exp(x)0exp(x) \neq 0 pour tout xx appartenant à R\mathbb{R}.

  • Si la fonction ff est continue et strictement monotone (croissante ou bien décroissante) sur [a;b][a ;b] et si un réel kk est compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), alors l'équation f(x)=kf(x)=k possède une unique solution dans l'intervalle [a;b][a ;b]

Démonstration

On sait que la fonction exponentielle est non nulle et continue sur R\mathbb{R}.
On sait que exp(0)=1\text{exp}(0)=1, ce qui signifie qu’il existe au moins une valeur de xx pour laquelle exp(x)\text{exp}(x) est positive.

S’il existait un réel aa tel que exp<0exp<0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existerait un réel α\alpha tel que exp(α)=0exp(\alpha)=0. Or exp(x)0\text{exp}(x)\neq 0 pour tout xx appartenant à R\mathbb{R}.
La fonction exponentielle ne s’annule donc jamais.

La fonction exponentielle est donc strictement positive sur R\mathbb{R}.

La fonction exponentielle est donc strictement positive sur l’ensemble de son domaine de définition, qui est R\mathbb{R}.