Démonstration de la positivité de la fonction exponentielle

Nous avons démontré dans une autre fiche que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels. Nous allons à présent nous intéresser à sa positivité.

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :

• La fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels :
  $exp(x) \neq 0$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.

• Si la fonction $f$ est continue et strictement monotone (croissante ou bien décroissante) sur $[a ;b]$ et si un réel $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x)=k$ possède une unique solution dans l'intervalle $[a ;b]$

On sait que la fonction exponentielle est non nulle et continue sur $\mathbb{R}$.
On sait que $\text{exp}(0)=1$, ce qui signifie qu’il existe au moins une valeur de $x$ pour laquelle $\text{exp}(x)$ est positive.

S’il existait un réel $a$ tel que $exp<0$, d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existerait un réel $\alpha$ tel que $exp(\alpha)=0$. Or $\text{exp}(x)\neq 0$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.
La fonction exponentielle ne s’annule donc jamais.

La fonction exponentielle est donc strictement positive sur $\mathbb{R}$.

La fonction exponentielle est donc strictement positive sur l’ensemble de son domaine de définition, qui est $\mathbb{R}$.