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Marianne

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Démonstration de la primitive d'une fonction
Démonstration

Introduction

Nous allons démontrer la propriété suivante :

Soit ff une fonction continue sur [a;b][a ;b] et cc un point de l'intervalle [a;b][a ;b] On considère la fonction Fc(x)Fc(x), qui à xx de [a;b][a ;b] associe : Fc(x)=cxf(t)dtFc(x)=\int^x_cf(t)dt

Alors FcF_c est l'unique primitive de ff qui s'annule au point cc.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces pré-requis :

Définition :
Si ff est une fonction continue sur un intervalle II, si FF est une primitive de ff et si aa et bb sont deux réels quelconques de II, alors on appelle intégrale de ff entre aa et bb la différence entre F(b)F(a)F(b) - F(a).

Propriétés :

  • Si ff est une fonction continue sur [a;b][a ; b], pour tout c appartenant à cet intervalle, on a :
    ccf(x)dx=0\int^c_cf(x)dx=0
  • Si FF est l’un des primitives de ff sur l’intervalle II, les autres primitives de ff sont les fonction F(x)+kF(x)+k, où kk est une constante réelle.

Démonstration

Soit ff une fonction continue sur [a;b][a ; b] et cc un point de l'intervalle [a;b][a ; b].
On considère la fonction F(x)F(x), qui à xx de [a;b][a ; b] associe :
F(x) =cxf(t)dtF(x) =\int^xcf(t)dt
Par définition de l’intégrale, on a cxf(t)dt=F(x)F(c)\int^x
cf(t)dt=F(x)-F(c)
F(c)=ccf(t)dt=F(c)F(c)=0F(c)=\int^c_cf(t)dt=F(c)-F(c)=0

Soit GG une autre primitive de ff. Par propriété, il existe une constante réelle kk, telle que G(x)=F(x)+kG(x)= F(x) + k pour tout xx appartenant à [a;b][a ; b].
G(c)=F(c)+k=kG(c) = F(c) + k = k
Donc si k0k\neq 0, la fonction GG ne s’annule pas au point cc et FF et GG sont deux primitives distinctes de ff.
FF est donc l'unique primitive de ff qui s'annule en cc.