Introduction
Nous allons démontrer la propriété suivante :
Soit une fonction continue sur et un point de l'intervalle On considère la fonction , qui à de associe :
Alors est l'unique primitive de qui s'annule au point .
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces pré-requis :
Définition :
Si est une fonction continue sur un intervalle , si est une primitive de et si et sont deux réels quelconques de , alors on appelle intégrale de entre et la différence entre .
Propriétés :
- Si est une fonction continue sur , pour tout c appartenant à cet intervalle, on a :
- Si est l’un des primitives de sur l’intervalle , les autres primitives de sont les fonction , où est une constante réelle.
Démonstration
Soit une fonction continue sur et un point de l'intervalle .
On considère la fonction , qui à de associe :
Par définition de l’intégrale, on a
Soit une autre primitive de . Par propriété, il existe une constante réelle , telle que pour tout appartenant à .
Donc si , la fonction ne s’annule pas au point et et sont deux primitives distinctes de .
est donc l'unique primitive de qui s'annule en .