Introduction
Dans cette démonstration, nous allons nous pencher sur la manière de déterminer la primitive d’une fonction , sur un intervalle donné.
Voici le théorème que nous allons démontrer :
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle alors, pour toute primitivesi est une primitive de sur on a :
En une phrase, cette propriété nous permet de faire le lien entre la notion d’intégration, et celle d’aire sous la courbe de la fonction considérée.
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de la propriété pré-requise ci dessous, qui nous donne l’unique primitive d’une fonction qui s’annule à un point donné de l’intervalle (il faut en effet se rappeler qu’une fonction a une infinité de primitives, identiques à une constante près : quand on dérive une constante, on obtient ).
Propriété :
Soit une fonction continue sur ; et un point de l'intervalle .
On considère la fonction qui à de associe :
Alors est l'unique primitive de qui s'annule au point .
- On cherche donc ici la primitive de , en fixant cette constante, de manière à annuler la primitive au point choisi par avance.
Démonstration
Soit est une primitive de sur un intervalle , Et est la fonction qui à associe la primitive de , sur l’intervalle aussi une primitive de f sur avec x appartenant au même intervalleà , alors il existe un réel tel que :
Ainsi et
On peut déduire que :