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Marianne

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Démonstration de la primitive de la fonction f sur [a, b]
Démonstration

Introduction

Dans cette démonstration, nous allons nous pencher sur la manière de déterminer la primitive d’une fonction ff, sur un intervalle [a,b][a, b] donné.

Voici le théorème que nous allons démontrer :

Soit une fonction ff continue et positive sur un intervalle [a;b][a; b]alors, pour toute primitivesi FF est une primitive de ff sur [a;b][a; b] on a :

abf(x)dx=F(b)F(a)\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)

En une phrase, cette propriété nous permet de faire le lien entre la notion d’intégration, et celle d’aire sous la courbe de la fonction considérée.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de la propriété pré-requise ci dessous, qui nous donne l’unique primitive d’une fonction ff qui s’annule à un point donné de l’intervalle [a,b][a,b] (il faut en effet se rappeler qu’une fonction a une infinité de primitives, identiques à une constante près : quand on dérive une constante, on obtient 00).

Propriété :

Soit ff une fonction continue sur [a;b][a; b]; et cc un point de l'intervalle [a;b][a; b] . On considère la fonction Fc(x)Fc(x) qui à xx de [a;b][a; b]associe : Fc(x)=cxf(t)dtFc(x)=\int^xcf(t)dt
Alors FcF
c est l'unique primitive de ff qui s'annule au point cc.

  • On cherche donc ici la primitive de ff, en fixant cette constante, de manière à annuler la primitive au point cc choisi par avance.

Démonstration

Soit FF est une primitive de ff sur un intervalle [a;b][a; b] , Et F(x)=axf(t)dtF(x)=\int^x_af(t)dt est la fonction qui à xx associe la primitive de ff, sur l’intervalle [a,x][a, x]aussi une primitive de f sur avec x appartenant au même intervalleà [a,,b][a,, b], alors il existe un réel kk tel que :

F(x)=axf(t)dt+kF(x)=\int^x_af(t)dt+k

Ainsi F(a)=aaf(t)dt+k=0+k=kF(a)=\int^aaf(t)dt+k=0+k=k et F(b)=abf(t)dt+kF(b)=\int^baf(t)dt+k

On peut déduire que : F(b)F(a)=abf(x)dxF(b)-F(a)=\int^b_af(x)dx