Démonstration de la propriété du conjugué d'un nombre complexe

Introduction

Un nombre complexe est composé d’une partie réelle et d’une partie imaginaire, et il peut être placé dans un plan.
Nous allons nous attarder sur quelques propriétés des nombres complexes, liées à leurs parties réel et imaginaire.

Propriétés :

$z$ est réel si $z=\overline{z}$
$z$ est imaginaire pur si $z=-\overline{z}$

Prérequis

Propriété :

On note $z=a+bi$ , avec $a$ et $b$ deux nombres réels, et $i$ le nombre imaginaire tel que $i^2=-1$ .
Le conjugué d’un nombre complexe $z= a + bi$ se définit comme suit : $\overline{z}=a-bi$

Démonstration

Nous allons maintenant montrer les deux propriétés précédentes.

Propriété

$z=\overline{z}$ $z=\overline{z} \Leftrightarrow a+bi =a-bi \Leftrightarrow 2bi=0 \Leftrightarrow b=0$ si $b=0$
alors $z=a$ . Or, $b$ est la partie imaginaire de $z$ .
$z$ est donc un réel pur.

Propriété

$z=-\overline{z}\Leftrightarrow a+bi=-(a-bi) \Leftrightarrow a+bi=-a+bi \Leftrightarrow 2a=0 \Leftrightarrow a=0$ si $a=0$
alors $z=bi$ . Or, $a$ est la partie réelle de $z$ . $z$ est donc un imaginaire pur.