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Marianne

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Démonstration de la propriété du conjugué d'un nombre complexe
Démonstration

Introduction

Un nombre complexe est composé d’une partie réelle et d’une partie imaginaire, et il peut être placé dans un plan.
Nous allons nous attarder sur quelques propriétés des nombres complexes, liées à leurs parties réel et imaginaire.

Propriétés :

  • zz est réel si z=zz=\overline{z}
  • zz est imaginaire pur si z=zz=-\overline{z}

Prérequis

Propriété :

On note z=a+biz=a+bi, avec aa et bb deux nombres réels, et ii le nombre imaginaire tel que i2=1i^2=-1.
Le conjugué d’un nombre complexe z=a+biz= a + bi se définit comme suit : z=abi\overline{z}=a-bi

Démonstration

Nous allons maintenant montrer les deux propriétés précédentes.

  • Propriété

z=zz=\overline{z} z=za+bi=abi2bi=0b=0z=\overline{z} \Leftrightarrow a+bi =a-bi \Leftrightarrow 2bi=0 \Leftrightarrow b=0 si b=0b=0
alors z=az=a. Or, bb est la partie imaginaire de zz.
zz est donc un réel pur.

  • Propriété

z=za+bi=(abi)a+bi=a+bi2a=0a=0z=-\overline{z}\Leftrightarrow a+bi=-(a-bi) \Leftrightarrow a+bi=-a+bi \Leftrightarrow 2a=0 \Leftrightarrow a=0 si a=0a=0
alors z=biz=bi. Or, aa est la partie réelle de zz. zz est donc un imaginaire pur.