Démonstration de la propriété exp(-a)=1/(exp a)

Introduction

La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique etc. Dans cette fiche, nous allons montrer la propriété suivante : $exp(-a)= \dfrac{1}{exp(a)}$ essentielle de la fonction exponentielle.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété, nous avons besoin de ce théorème prérequis :

Unicité de la fonction exponentielle :

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f=f'$ et $f(0)=1$ .
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note $exp$ .

Démonstration

Soient $a$ et $b$ deux réels, $exp(-a)= \dfrac{1}{exp(a)}$

D’après la première propriété : $\dfrac{exp(a+x)}{exp(a)}= exp(x)$ ,

Avec $x=-a$ , on a : $\dfrac{exp(a-a)}{exp(a)}=exp(-a)$

De plus, $exp(a-a)=exp(0)=1$

et comme $exp(a) \neq 0$ (car la fonction exponentielle ne s’annule jamais), on a : $exp(-a)= \dfrac{1}{exp(a)}$