Introduction
La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique etc. Dans cette fiche, nous allons montrer la propriété suivante : essentielle de la fonction exponentielle.
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété, nous avons besoin de ce théorème prérequis :
Unicité de la fonction exponentielle :
Il existe une unique fonction dérivable sur telle que et .
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note .
Démonstration
Soient et deux réels
Soit la fonction h définie sur par : , avec réel quelconque
est dérivable sur et ,
De plus,
On a donc et
Or, d'après le théorème de l'unicité, une telle fonction est unique, et c'est la fonction exponentielle.
D'où
C'est-à-dire
Ou encore
En particulier, pour on a :