Démonstration de la propriété exp⁡(a+b)=exp⁡(a)×exp⁡(b)

Introduction

La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique etc. Dans cette fiche, nous allons montrer la propriété suivante : $exp (a+b) =exp (a) \times exp (b)$ essentielle de la fonction exponentielle.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété, nous avons besoin de ce théorème prérequis :

Unicité de la fonction exponentielle :

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f=f’$ et $f(0)=1$ .
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note $exp$ .

Démonstration

Soient $a$ et $b$ deux réels $exp (a+b)= exp (a) \times exp (b)$

Soit la fonction h définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\dfrac{exp(a+x)}{exp(a)}$ , avec $a$ réel quelconque

$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(x)=\dfrac{exp'(a+x)}{exp(a)}= )=\dfrac{exp(a+x)}{exp(a)}=h(x)$ ,

De plus, $h(0)=\dfrac{exp(a+0)}{exp(a)}=\dfrac{exp(a)}{exp(a)}=1$

On a donc $h'=h$ et $h(0)=1$

Or, d'après le théorème de l'unicité, une telle fonction est unique, et c'est la fonction exponentielle.

D'où $h(x)=exp(x)$

C'est-à-dire

$\dfrac{exp(a+x)}{exp(a)}= exp(x)$

Ou encore $exp(a+x)= exp (a) \times exp (x)$

En particulier, pour $x=b$ on a : $exp(a+b) = exp (a) \times exp(b)$