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Démonstration de la propriété exp⁡(a+b)=exp⁡(a)×exp⁡(b)
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Démonstration

Introduction

La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique etc. Dans cette fiche, nous allons montrer la propriété suivante : exp(a+b)=exp(a)×exp(b)exp (a+b) =exp (a) \times exp (b) essentielle de la fonction exponentielle.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété, nous avons besoin de ce théorème prérequis :

Unicité de la fonction exponentielle :

Il existe une unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que f=ff=f’ et f(0)=1f(0)=1.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note expexp.

Démonstration

Soient aa et bb deux réels exp(a+b)=exp(a)×exp(b)exp (a+b)= exp (a) \times exp (b)

Soit la fonction h définie sur R\mathbb{R} par : h(x)=exp(a+x)exp(a)h(x)=\dfrac{exp(a+x)}{exp(a)}, avec aa réel quelconque

hh est dérivable sur R\mathbb{R} et h(x)=exp(a+x)exp(a)=)=exp(a+x)exp(a)=h(x)h'(x)=\dfrac{exp'(a+x)}{exp(a)}= )=\dfrac{exp(a+x)}{exp(a)}=h(x),

De plus, h(0)=exp(a+0)exp(a)=exp(a)exp(a)=1h(0)=\dfrac{exp(a+0)}{exp(a)}=\dfrac{exp(a)}{exp(a)}=1

On a donc h=hh'=h et h(0)=1h(0)=1

Or, d'après le théorème de l'unicité, une telle fonction est unique, et c'est la fonction exponentielle.

D'où h(x)=exp(x)h(x)=exp(x)

C'est-à-dire

exp(a+x)exp(a)=exp(x)\dfrac{exp(a+x)}{exp(a)}= exp(x)

Ou encore exp(a+x)=exp(a)×exp(x)exp(a+x)= exp (a) \times exp (x)

En particulier, pour x=bx=b on a : exp(a+b)=exp(a)×exp(b)exp(a+b) = exp (a) \times exp(b)