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Marianne

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Démonstration de la propriété exp(na)=exp(a)ⁿ
Démonstration

Introduction

La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique, etc. Dans cette fiche, nous allons montrer la propriété suivante : exp(na)=(exp(a)n)exp(na)=(exp(a)^n) essentielle de la fonction exponentielle.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété, nous avons besoin de ce théorème prérequis :

Unicité de la fonction exponentielle :

Il existe une unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que f=ff=f' et f(0)=1f(0)=1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note expexp.

Démonstration

Soient aa un réel et nn un entier relatif exp(na)=(exp(a))nexp(na)=(exp(a))^n

On montre cette relation par récurrence sur NN. Soit P(n)P(n), la proposition qui affirme que : pour tout nNn\in\mathbb{N}, exp(nx)=(exp(x))nexp(nx)=(exp(x))^n

  • Initialisation :

P(0)P(0) est vraie car si n=0n = 0, on a exp(nx)=exp(0)=1exp(nx)= exp(0)=1 et (expx)n=(expx)0=1(exp x)^n=(expx)^0=1

car expx0 exp x \neq 0 pour tout xx.

  • Hypothèse de récurrence :

On suppose que pour un entier naturel nn, exp(nx)=(exp(x))nexp(nx) = (exp(x))^n, c’est-à-dire qu’on suppose P(n)P(n) vraie.

  • Hérédité : Montrons que P(n+1)P(n+1) est vraie, c’est-à-dire que exp((n+1)x)=exp(x))(n+1)exp ((n+1)x)= exp(x))^{(n+1)}

exp((n+1)x)=exp(nx+x)exp ((n+1)x)= exp(nx+x)

  • D’après la première propriété : exp((n+1)x)=exp(nx)×exp(x)exp ((n+1)x)= exp (nx) \times exp (x)

  • D’après l'hypothèse de récurrence : exp((n+1)x)=exp(x)n×exp(x)exp ((n+1)x)= exp (x) ^n \times exp (x)

On a alors : exp((n+1)x)=exp(x)n+1 exp ((n+1)x)= exp (x)^{n+1}

La propriété P(n+1)P(n+1) est donc vraie.
P(0)P(0) est vraie et PP est héréditaire.

On peut donc conclure que, pour tout entier naturel, P(n)P(n) est vraie.

Voyons maintenant le cas où nn est négatif. Soit pZp\in\mathbb{Z}

On peut alors poser p=np = -n avec nNn\in\mathbb{N}

Alors exp(px)=exp(nx)=1exp(nx)=1(exp x)n=(exp x)nexp(px)=exp(-nx)=\dfrac{1}{exp(nx)}=\dfrac{1}{(exp\ x)^n}=(exp\ x)^{-n}

soit exp(px)=(expx)pexp(px)=(expx)^p