Introduction
La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique, etc. Dans cette fiche, nous allons montrer la propriété suivante : essentielle de la fonction exponentielle.
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété, nous avons besoin de ce théorème prérequis :
Unicité de la fonction exponentielle :
Il existe une unique fonction dérivable sur telle que et . Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note .
Démonstration
Soient un réel et un entier relatif
On montre cette relation par récurrence sur . Soit , la proposition qui affirme que : pour tout ,
- Initialisation :
est vraie car si , on a et
car pour tout .
- Hypothèse de récurrence :
On suppose que pour un entier naturel , , c’est-à-dire qu’on suppose vraie.
- Hérédité : Montrons que est vraie, c’est-à-dire que
D’après la première propriété :
D’après l'hypothèse de récurrence :
On a alors :
La propriété est donc vraie.
est vraie et est héréditaire.
On peut donc conclure que, pour tout entier naturel, est vraie.
Voyons maintenant le cas où est négatif. Soit
On peut alors poser avec
Alors
soit