Afin de démontrer cette propriété, nous avons besoin de ce théorème prérequis :

Unicité de la fonction exponentielle :

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f=f'$ et $f(0)=1$. Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note $exp$.

Soient $a$ un réel et $n$ un entier relatif $exp(na)=(exp(a))^n$

On montre cette relation par récurrence sur $N$. Soit $P(n)$, la proposition qui affirme que : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $exp(nx)=(exp(x))^n$

• Initialisation :

$P(0)$ est vraie car si $n = 0$, on a $exp(nx)= exp(0)=1$ et $(exp x)^n=(expx)^0=1$

car $exp x \neq 0$ pour tout $x$.

• Hypothèse de récurrence :

On suppose que pour un entier naturel $n$, $exp(nx) = (exp(x))^n$, c’est-à-dire qu’on suppose $P(n)$ vraie.

• Hérédité : Montrons que $P(n+1)$ est vraie, c’est-à-dire que $exp ((n+1)x)= exp(x))^{(n+1)}$

$exp ((n+1)x)= exp(nx+x)$

• D’après la première propriété : $exp ((n+1)x)= exp (nx) \times exp (x)$

• D’après l'hypothèse de récurrence : $exp ((n+1)x)= exp (x) ^n \times exp (x)$

On a alors : $exp ((n+1)x)= exp (x)^{n+1}$

La propriété $P(n+1)$ est donc vraie.
$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

On peut donc conclure que, pour tout entier naturel, $P(n)$ est vraie.

Voyons maintenant le cas où $n$ est négatif. Soit $p\in\mathbb{Z}$

On peut alors poser $p = -n$ avec $n\in\mathbb{N}$

Alors $exp(px)=exp(-nx)=\dfrac{1}{exp(nx)}=\dfrac{1}{(exp\ x)^n}=(exp\ x)^{-n}$

soit $exp(px)=(expx)^p$