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Démonstration de la propriété ln⁡(a×b)= ln a+ln b
Démonstration

Introduction

Dans un chapitre précédent, nous nous sommes intéressés aux propriétés de la fonction exponentielle, en montrant par exemple la relation $e^{a+b}=e^a \times e^b$, pour tout $a$ et $b$, réels quelconques. En observant les courbes des fonctions logarithme népérien et exponentielle et en remarquant qu’elles sont les fonctions inverses l’une de l’autre, on peut raisonnablement penser que leurs propriétés vont être inversées. Et c’est le cas.
Voilà donc le sujet de cette démonstration: les propriétés de calculs de la fonction logarithme népérien.

Alt texte

Théorème :
Pour tout réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a $\text{ln}(a\times b)=\text{ln}a+\text{ln} b$

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :

  • La dérivée de la fonction logarithme népérien, $f(x)=\text{ln}\ x$, est la fonction inverse $f'(x)=\dfrac1x$
  • Une primitive de la fonction inverse, $f(x)=\dfrac1x$, est la fonction logarithme népérien $F(x)=\text{ln}\ x$. De manière générale, pour obtenir la primitive on ajoute une constante $k$ appartenant à $\mathbb{R}$ soit $F(x)=\text{ln}\ x+k$
  • La fonction logarithme népérien prend la valeur $0$ en $x=1$ $\text{ln}(1)=0$

Démonstration

Soient $f(x)=\text{ln}(ax)$ et $g(x)=\text{ln}(x)$t

La fonction logarithme népérien étant définie et dérivable sur $]0 ;+\infty[$, $a$ et $x$ sont deux réels strictement positifs.

Nous avons : $$f'(x)=a(\dfrac{1}{ax})=\dfrac1x$$ et $$g'(x)=\dfrac1x$$

On a alors $f'(x)=g'(x)$, $ f$ et $g$ sont donc des primitives de la fonction inverse sur $]0 ;+\infty[$, égales à une constante près.

Déterminons $K$ :
$\begin {aligned} f(1)&=g(1)+K \\ \text{ln}(a \times 1)&=\text{ln}(1)+K \\ f(1)&=g(1)+K \\ \text{ln}(a\times 1)&=\text{ln}(1) +K \\ \text{ln}(a)&=0+K \\ \text{ln}(a)&=K \end {aligned}$

Finalement, on a :
$\begin {aligned} f(x)&=g(x)+\text{ln}(a) \\ \text{ln}(ax)&=\text{ln}(x)+\text{ln}(a)\end {aligned}$

Donc on a bien : $$\text{ln}(a\times b)=\text{ln}\ a+\text{ln}\ b$$