Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :

• La dérivée de la fonction logarithme népérien, $f(x)=\text{ln}\ x$, est la fonction inverse $f'(x)=\dfrac1x$
• Une primitive de la fonction inverse, $f(x)=\dfrac1x$, est la fonction logarithme népérien $F(x)=\text{ln}\ x$. De manière générale, pour obtenir la primitive on ajoute une constante $k$ appartenant à $\mathbb{R}$ soit $F(x)=\text{ln}\ x+k$
• La fonction logarithme népérien prend la valeur $0$ en $x=1$ $\text{ln}(1)=0$

Soient $f(x)=\text{ln}(ax)$ et $g(x)=\text{ln}(x)$t

La fonction logarithme népérien étant définie et dérivable sur $]0 ;+\infty[$, $a$ et $x$ sont deux réels strictement positifs.

Nous avons : $f'(x)=a(\dfrac{1}{ax})=\dfrac1x$ et $g'(x)=\dfrac1x$

On a alors $f'(x)=g'(x)$, $f$ et $g$ sont donc des primitives de la fonction inverse sur $]0 ;+\infty[$, égales à une constante près.

Déterminons $K$ :
$\begin {aligned} f(1)&=g(1)+K \ \text{ln}(a \times 1)&=\text{ln}(1)+K \ f(1)&=g(1)+K \ \text{ln}(a\times 1)&=\text{ln}(1) +K \ \text{ln}(a)&=0+K \ \text{ln}(a)&=K \end {aligned}$

Finalement, on a :
$\begin {aligned} f(x)&=g(x)+\text{ln}(a) \ \text{ln}(ax)&=\text{ln}(x)+\text{ln}(a)\end {aligned}$

Donc  on a bien : $\text{ln}(a\times b)=\text{ln}\ a+\text{ln}\ b$