Afin de démontrer ces 4 cas de figures, nous aurons besoin de deux théorèmes pré-requis :

• Le théorème de Bernoulli :
  Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$, nous avons $(x + 1)^n \leq nx + 1$
• Le théorème de comparaison :
  Soit $q \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$. Si $q>1$, alors
  $\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{q^n=+\infty}}$

Soit $(v$n)(vn​) une suite géométrique de raison q non nulle. Pour tout entier naturel $n$, $v$n=v_0 \times q^n

• cas n°1

Si $q = 1$, $q^n = 1$ quel que soit $n$. Alors :
$\large \lim\limits${\stackrel{n \to +\infty}{q^n=1}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{v0\times q^nv0}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{vn=v_0}}

• cas n°2

Si $q < -1$, la suite est alternée, c’est-à-dire qu’elle change de signe entre deux termes consécutifs. Lorsque n tend vers l’infini, la valeur absolue |qn| tend vers l’infini.

Prenons le cas où $v$0v0​ est positif : pour n positif, $v$0 \times q^n tend vers $+\infty$ et pour $n$ négatif, $v_0 \times q^n$ tend vers $-\infty$.

La limite de $(v$n)(vn​) quand $n$ tend vers l’infini n’existe pas. De même pour $v$0 négatif.

Remarque :

Si $q = -1$. La suite est alternée car soit $n$ est pair et $q^n = 1$, soit $n$ est impair et $q^n=-1$.

La limite de $(v$n)(vn​) quand $n$ tend vers plus l'infini n'existe pas. Ici, quel que soit $n$, $v$n=v0 ou $-v$0.

Donc pour $q \leq -1$, la limite de la suite $(v_n)$ n’existe pas.

• cas n°3

Si $q >1$ :

• Si $V_0>0$

$\large \lim\limits${\stackrel{n \to +\infty}{q^n=+\infty}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{V0 \times q^n=+\infty}}\Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{V_n=+\infty}}

• Si $V_0<0$

$\large \lim\limits${\stackrel{n \to +\infty}{q^n=+\infty}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{V0 \times q^n=-\infty}}\Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{V_n=-\infty}}

• cas n°4

Si $-1 < q < 1$, pour cette démonstration, on effectue le changement de variable suivant :

Posons $p^n=\dfrac{1}{q^n}$

• Étudions d'abord $0 < q < 1$ 

D'après l'inégalité de Bernoulli, pour tout $x$, on a :
$(x+1)^n \geq nx+1$
Elle est donc vrai pour tout réel $a$ strictement positif :
$(a+1)^n \geq na+1$
Que l'on peut noter :
$p^n\geq na+1$

Dans ce cas, d'après le théorème de comparaison, on a :
$\large\lim\limits_{\stackrel{n \to +\infty}{p^n=+\infty}}$ car $p=a+1>1$

Alors : $\large \lim\limits${\stackrel{n \to +\infty}{\frac{1}{p^n}=0}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{|q|^n=0}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{v0 \times q^n=0}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{vn=0}}

• Enfin  $q = 0$ Si $q = 0$, quel que soit $n$.
  Alors :
  $\large \lim\limits${\stackrel{n \to +\infty}{q^n=0}} \Leftrightarrow v0 \times q^n=0 \Leftrightarrow v_n=0

On peut conclure que pour tout $n$ et pour tout $v$0v0​, la limite de $(v$n) quand $n$ tend vers $+\infty$ est $0$ quand $q=0$.