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Marianne

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Démonstration des limites d'une suite géométrique
Démonstration

Introduction

Nous avons appris à reconnaitre deux types de suites :

  • les suites arithmétiques qui s’écrivent pour tout entier naturel nn,un=n×r+u0un=n \times r +u0,
  • et les suites géométriques s’écrivent un=u0×qnun=u0 \times q^n, avec rr et qq respectivement les raisons des suites arithmétiques et géométriques.

Dans cette fiche, nous allons nous intéresser à la convergence des suites géométriques, en fonction de la valeur de leur raison qq.

Théorème : Limites d'une suite géométrique

Soit (vn)(vn) une suite géométrique de raison qq non nulle. Pour tout entier naturel nn, vn=v0×qnvn=v0 \times q^n , avec v0v0 le premier terme de la suite.

Voici la limite de la suite (vn)(vn) en fonction du signe de v0v0 et de la valeur de qq.

Alt texte

Prérequis

Afin de démontrer ces 4 cas de figures, nous aurons besoin de deux théorèmes pré-requis :

  • Le théorème de Bernoulli :
    Pour tout entier naturel nn et tout réel xx, nous avons (x + 1)n nx + 1(x + 1)^n \leq nx + 1
  • Le théorème de comparaison :
    Soit qRq \in \mathbb{R} et nNn \in \mathbb{N}. Si q>1q>1, alors
    limqn=+x+\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{q^n=+\infty}}

Soit (vn)(vn) une suite géométrique de raison q non nulle. Pour tout entier naturel nn, vn=v0×qnvn=v_0 \times q^n

Démonstration

  • cas n°1

Si q = 1q = 1qn = 1q^n = 1 quel que soit nn. Alors :
limqn=1n+limv0×qnv0n+limvn=v0n+\large \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{q^n=1}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{v0\times q^nv0}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{vn=v_0}}

  • cas n°2

Si q<1q < -1, la suite est alternée, c’est-à-dire qu’elle change de signe entre deux termes consécutifs. Lorsque n tend vers l’infini, la valeur absolue |qn| tend vers l’infini.

Prenons le cas où v0v0 est positif : pour n positif, v0×qnv0 \times q^n tend vers ++\infty et pour nn négatif, v0×qnv_0 \times q^n tend vers -\infty.

La limite de (vn)(vn) quand nn tend vers l’infini n’existe pas. De même pour v0v0 négatif.

Remarque :

Si q = 1q = -1. La suite est alternée car soit nn est pair et qn = 1q^n = 1, soit nn est impair et qn=1q^n=-1.

La limite de (vn)(vn) quand nn tend vers plus l'infini n'existe pas. Ici, quel que soit nn, vn=v0vn=v0 ou v0-v0.

Donc pour q1q \leq -1, la limite de la suite (vn)(v_n) n’existe pas.

  • cas n°3

Si q>1q >1 :

  • Si V0>0V_0>0

limqn=+n+limV0×qn=+n+limVn=+n+\large \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{q^n=+\infty}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{V0 \times q^n=+\infty}}\Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{V_n=+\infty}}

  • Si V0<0V_0<0

limqn=+n+limV0×qn=n+limVn=n+\large \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{q^n=+\infty}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{V0 \times q^n=-\infty}}\Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{V_n=-\infty}}

  • cas n°4

Si 1<q<1-1 < q < 1, pour cette démonstration, on effectue le changement de variable suivant :

Posons pn=1qnp^n=\dfrac{1}{q^n}

  • Étudions d'abord 0<q<10 < q < 1 

D'après l'inégalité de Bernoulli, pour tout xx, on a :
(x+1)nnx+1(x+1)^n \geq nx+1
Elle est donc vrai pour tout réel aa strictement positif :
(a+1)nna+1(a+1)^n \geq na+1
Que l'on peut noter :
pnna+1p^n\geq na+1

Dans ce cas, d'après le théorème de comparaison, on a :
limpn=+n+\large\lim\limits_{\stackrel{n \to +\infty}{p^n=+\infty}} car p=a+1>1p=a+1>1

Alors : lim1pn=0n+limqn=0n+limv0×qn=0n+limvn=0n+\large \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{\frac{1}{p^n}=0}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{|q|^n=0}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{v0 \times q^n=0}} \Leftrightarrow \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{vn=0}}

  • Enfin  q = 0q = 0 Si q =0q = 0, quel que soit nn.
    Alors :
    limqn=0n+v0×qn=0vn=0\large \lim\limits{\stackrel{n \to +\infty}{q^n=0}} \Leftrightarrow v0 \times q^n=0 \Leftrightarrow v_n=0

On peut conclure que pour tout nn et pour tout v0v0, la limite de (vn)(vn) quand nn tend vers ++\infty est 00 quand q=0q=0.