Introduction
Nous avons appris à reconnaitre deux types de suites :
- les suites arithmétiques qui s’écrivent pour tout entier naturel ,,
- et les suites géométriques s’écrivent , avec et respectivement les raisons des suites arithmétiques et géométriques.
Dans cette fiche, nous allons nous intéresser à la convergence des suites géométriques, en fonction de la valeur de leur raison .
Théorème : Limites d'une suite géométrique
Soit une suite géométrique de raison non nulle. Pour tout entier naturel , , avec le premier terme de la suite.
Voici la limite de la suite en fonction du signe de et de la valeur de .
Prérequis
Afin de démontrer ces 4 cas de figures, nous aurons besoin de deux théorèmes pré-requis :
- Le théorème de Bernoulli :
Pour tout entier naturel et tout réel , nous avons - Le théorème de comparaison :
Soit et . Si , alors
Soit une suite géométrique de raison q non nulle. Pour tout entier naturel ,
Démonstration
- cas n°1
Si , quel que soit . Alors :
- cas n°2
Si , la suite est alternée, c’est-à-dire qu’elle change de signe entre deux termes consécutifs. Lorsque n tend vers l’infini, la valeur absolue |qn| tend vers l’infini.
Prenons le cas où est positif : pour n positif, tend vers et pour négatif, tend vers .
La limite de quand tend vers l’infini n’existe pas. De même pour négatif.
Remarque :
Si . La suite est alternée car soit est pair et , soit est impair et .
La limite de quand tend vers plus l'infini n'existe pas. Ici, quel que soit , ou .
Donc pour , la limite de la suite n’existe pas.
- cas n°3
Si :
- Si
- Si
- cas n°4
Si , pour cette démonstration, on effectue le changement de variable suivant :
Posons
- Étudions d'abord
D'après l'inégalité de Bernoulli, pour tout , on a :
Elle est donc vrai pour tout réel strictement positif :
Que l'on peut noter :
Dans ce cas, d'après le théorème de comparaison, on a :
car
Alors :
- Enfin
Si , quel que soit .
Alors :
On peut conclure que pour tout et pour tout , la limite de quand tend vers est quand .