Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :

• Écriture canonique d'un polynôme du second degré de la forme $z^2+bz+c=0$. Les nombres $a$, $b$ et $c$ sont des réels, avec $a\neq 0$
  $x^2+bx+c=a\Big((x+\dfrac{b}{2a})^2- \dfrac{\Delta}{4a^2}\Big)$
  avec $\Delta=b^2-4ac$
• Identité remarquable : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Soit, dans $\mathbb{C}$, l’équation $(E)$ : $az^2+bz+c=0$, les nombres $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a\neq 0$. On pose $\Delta =b^2-4ac$.

Nous connaissons les solutions d'une équation du second degré à coefficients réels lorsque $\Delta$ est positif ou nul.

Pour déterminer la solution lorsque ∆ est négatif, nous nous servons des nombres complexes.

Si $\Delta<0$, alors$-\Delta>0$ On pose : $\Delta=-(-\Delta)=i^2(-\Delta)=(i\sqrt{-\Delta})^2$

Donc, l'écriture canonique devient :

$\begin {aligned}a\Big(\big(z+\dfrac{b}{2a}\big)^2-\dfrac{(i\sqrt-\Delta)}{4a^2}\big)&=0 \ \big(z+\dfrac{b}{2a}\big)^2-\Big(\dfrac{i\sqrt-\Delta}{4a^2}\Big)^2&=0 \end{aligned}$

À l'aide de l'identité remarquable, on obtient : $\big(z+\dfrac{b}{2a}-(\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)\big(z+\dfrac{b}{2a}+{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)=0$
$\big(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)\big(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)=0$

Or un produit de facteurs est nul, si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
$\big(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\big)=0$ ou $\big(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\big)=0$

soit : $z=\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ ou $z=\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

et donc , si $\Delta<0$, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $z$1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}z1​=2a−b+i−Δ​​ ou $z$2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}