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Marianne

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Démonstration des solutions complexes dans une équation du second degré
Démonstration

Introduction

Nous connaissons déjà la méthode pour trouver les racines d’un polynôme du second degré dans l’ensemble des réels. Ici, nous allons nous intéresser à sa solution dans l’ensemble des complexes, c’est-à-dire le cas où le discriminant Δ\Delta est négatif.

Propriété :

  • Résolution d’une équation du second degré dans C\mathbb{C} :

Soit, dans C\mathbb{C}, l’équation (E)(E) : az2+bz+c=0az^2+bz+c=0,
les nombres aa, bb et cc sont des nombres réels avec a0a\neq 0. On pose Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac et on appelle SS l’ensemble des solutions de (E)(E).

  • Si Δ>0\Delta>0, S={b+Δ2a;bΔ2a}S=\Big\lbrace \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a};\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\Big \rbrace
  • Si Δ=0\Delta =0, S=b2aS=\dfrac{-b}{2a}
  • Si Δ<0\Delta<0, S={b+iΔ2a;biΔ2a}S=\Big\lbrace \dfrac{-b+i\sqrt-\Delta}{2a};\dfrac{-b-i\sqrt-\Delta}{2a}\Big \rbrace

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :

  • Écriture canonique d'un polynôme du second degré de la forme z2+bz+c=0z^2+bz+c=0. Les nombres aa, bb et cc sont des réels, avec a0a\neq 0
    x2+bx+c=a((x+b2a)2Δ4a2)x^2+bx+c=a\Big((x+\dfrac{b}{2a})^2- \dfrac{\Delta}{4a^2}\Big)
    avec Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac
  • Identité remarquable : a2b2=(ab)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Démonstration

Soit, dans C\mathbb{C}, l’équation (E)(E) : az2+bz+c=0az^2+bz+c=0, les nombres aa, bb et cc sont des nombres réels avec a0a\neq 0. On pose Δ=b24ac\Delta =b^2-4ac.

Nous connaissons les solutions d'une équation du second degré à coefficients réels lorsque Δ\Delta est positif ou nul.

Pour déterminer la solution lorsque ∆ est négatif, nous nous servons des nombres complexes.

Si Δ<0\Delta<0, alorsΔ>0-\Delta>0 On pose : Δ=(Δ)=i2(Δ)=(iΔ)2\Delta=-(-\Delta)=i^2(-\Delta)=(i\sqrt{-\Delta})^2

Donc, l'écriture canonique devient :

a((z+b2a)2(iΔ)4a2)=0(z+b2a)2(iΔ4a2)2=0\begin {aligned}a\Big(\big(z+\dfrac{b}{2a}\big)^2-\dfrac{(i\sqrt-\Delta)}{4a^2}\big)&=0 \ \big(z+\dfrac{b}{2a}\big)^2-\Big(\dfrac{i\sqrt-\Delta}{4a^2}\Big)^2&=0 \end{aligned}

À l'aide de l'identité remarquable, on obtient : (z+b2a(iΔ2a)(z+b2a+iΔ2a)=0\big(z+\dfrac{b}{2a}-(\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)\big(z+\dfrac{b}{2a}+{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)=0
(z+b2aiΔ2a)(z+b2a+iΔ2a)=0\big(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)\big(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)=0

Or un produit de facteurs est nul, si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
(z+b2aiΔ2a)=0\big(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\big)=0 ou (z+b2a+iΔ2a)=0\big(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\big)=0

soit : z=b2aiΔ2az=\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a} ou z=b2a+iΔ2az=\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}

et donc , si Δ<0\Delta<0, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : z1=b+iΔ2az1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} ou z2=biΔ2az2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}