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Démonstration des variations de la fonction exponentielle et de ses limites en l'infini
Démonstration

Introduction

La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique etc. Dans cette fiche, nous allons étudier les variations de la fonction exponentielle et ses limites en ++\infty et -\infty.

Théorème :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R} et ses limites sont 00 en -\infty et ++\infty en ++\infty

Prérequis

Afin de démontrer ce théorème, nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :

  • La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.
  • La fonction exponentielle est strictement positive.
  • Soit aa un réel, exp(a)=1exp(a)exp(-a)=\dfrac{1}{exp(a)}

Démonstration

Pour connaître les variations d'une fonction, on étudie le signe de sa dérivée.

On sait que la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. On a (ex)=ex(e^x)'=e^x pour tout xx appartenant à R\mathbb{R}. Or la fonction exponentielle est strictement positive. Donc (ex)(e^x)' est strictement positive, ce qui entraine que exe^x est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Alt texte

  • Montrons à présent que la limite de la fonction exponentielle en ++\infty est infinie. On pose la fonction g(x)=exxg(x)=e^x-x.
    Sa dérivée est g(x)=ex1g'(x)=e^x-1.

On peut dresser son tableau de variation :

Alt texte

On observe que g(x)g(x) est toujours supérieure à 00, donc : g(x)=exx>0g(x)=e^x-x>0

Donc ex>xe^x>x pour tout x appartenant à R\mathbb{R}

Or limx+x=+\lim \limits{x\to +\infty} {x}=+\infty donc par comparaison, limx+ex=+\lim \limits{x\to +\infty} {{e^x}}=+\infty

  • Montrons à présent que la limite de la fonction exponentielle en -\infty est nulle.

On pose X=xX= -x
On sait que limX+eX=+\lim \limits{X\to +\infty} {e^X}=+\infty
De plus, eX=ex=1ex=+e^X=e^{-x}=\dfrac {1}{e^x}=+\infty
Donc limeXX+=limexx=lim1exx=+\lim \limits
{\stackrel{X\to +\infty}{e^X}}=\lim \limits{\stackrel{x\to -\infty}{e^{-x}}}=\lim \limits{\stackrel{x\to -\infty}{\frac{1}{e^x}}}=+\infty

Or si l'inverse d'une fonction de x tend vers ++\infty quand xx tend vers -\infty, alors cette fonction tend vers 00 quand xx tend vers -\infty.

On obtient donc bien limexX=0\lim \limits_{\stackrel{X\to -\infty} {e^x}}=0

Alt texte