Afin de démontrer ce théorème, nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :

• La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.
• La fonction exponentielle est strictement positive.
• Soit $a$ un réel, $exp(-a)=\dfrac{1}{exp(a)}$

Pour connaître les variations d'une fonction, on étudie le signe de sa dérivée.

On sait que la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. On a $(e^x)'=e^x$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$. Or la fonction exponentielle est strictement positive. Donc $(e^x)'$ est strictement positive, ce qui entraine que $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• Montrons à présent que la limite de la fonction exponentielle en $+\infty$ est infinie. On pose la fonction $g(x)=e^x-x$.
  Sa dérivée est $g'(x)=e^x-1$.

On peut dresser son tableau de variation :

On observe que $g(x)$ est toujours supérieure à $0$, donc : $g(x)=e^x-x>0$

Donc $e^x>x$ pour tout x appartenant à $\mathbb{R}$

Or $\lim \limits${x\to +\infty} {x}=+\inftyx→+∞lim​x=+∞ donc par comparaison, $\lim \limits${x\to +\infty} {{e^x}}=+\infty

• Montrons à présent que la limite de la fonction exponentielle en $-\infty$ est nulle.

On pose $X= -x$
On sait que $\lim \limits${X\to +\infty} {e^X}=+\inftyX→+∞lim​eX=+∞
De plus, $e^X=e^{-x}=\dfrac {1}{e^x}=+\infty$
Donc $\lim \limits${\stackrel{X\to +\infty}{e^X}}=\lim \limits{\stackrel{x\to -\infty}{e^{-x}}}=\lim \limits{\stackrel{x\to -\infty}{\frac{1}{e^x}}}=+\infty

Or si l'inverse d'une fonction de x tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$, alors cette fonction tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-\infty$.

On obtient donc bien $\lim \limits_{\stackrel{X\to -\infty} {e^x}}=0$